結(jié)構(gòu)-聲強(qiáng)耦合腔振聲響應(yīng)預(yù)報(bào)研究

廖金龍， 朱海潮， 侯九霄

(海軍工程大學(xué) 振動(dòng)與噪聲研究所，船舶振動(dòng)噪聲重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，武漢 430033)

由彈性結(jié)構(gòu)和封閉腔組成的結(jié)構(gòu)-聲耦合系統(tǒng)廣泛地存在于生活和實(shí)際工程中，如起居臥室，船舶艙室，聲吶探測腔等，彈性結(jié)構(gòu)在外激勵(lì)下產(chǎn)生的聲輻射是艙室內(nèi)噪聲的主要來源。近年來，通過采用各種控制方案抑制艙內(nèi)聲場水平，提高艙室舒適性已成為聲學(xué)領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)[1-5]，因此如何準(zhǔn)確地預(yù)報(bào)外激勵(lì)源下結(jié)構(gòu)-聲耦合系統(tǒng)的響應(yīng)是進(jìn)行聲學(xué)設(shè)計(jì)和噪聲控制的關(guān)鍵，具有重要的工程應(yīng)用價(jià)值。

多年來，國內(nèi)外學(xué)者圍繞此問題開展了大量的理論和實(shí)驗(yàn)研究，Pan[6]最早提出采用模態(tài)耦合理論建立結(jié)構(gòu)-聲耦合系統(tǒng)模型，實(shí)現(xiàn)了系統(tǒng)響應(yīng)的預(yù)測。Kim等[7]以模態(tài)耦合理論為基礎(chǔ)，從阻抗和導(dǎo)納角度進(jìn)行了響應(yīng)分析，并通過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了預(yù)測的準(zhǔn)確性。Geng等[8]利用有限元工具獲取復(fù)雜封閉空間的聲模態(tài)，結(jié)合模態(tài)耦合理論研究了復(fù)雜封閉空間耦合系統(tǒng)在外力激勵(lì)和聲激勵(lì)作用下響應(yīng)和有源消聲問題，理論上可適用于任意封閉空間，在分析頻率較高時(shí)，由于網(wǎng)格質(zhì)量的要求，會(huì)耗費(fèi)大量的計(jì)算資源。張肅等[9]采用小波迦遼金法分析了復(fù)雜結(jié)構(gòu)-聲耦合系統(tǒng)的響應(yīng)，并通過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了方法的準(zhǔn)確性。上述有關(guān)結(jié)構(gòu)-聲耦合系統(tǒng)響應(yīng)預(yù)報(bào)的研究主要適用于空腔深度較深、腔內(nèi)介質(zhì)為非致密的弱耦合情形，當(dāng)空腔深度較淺、腔內(nèi)介質(zhì)具有較大的質(zhì)量密度時(shí)，結(jié)構(gòu)與聲場形成強(qiáng)耦合，由于采用剛性壁面聲模態(tài)函數(shù)和真空中結(jié)構(gòu)模態(tài)函數(shù)作為基函數(shù)，在彈性邊界處速度不連續(xù)，導(dǎo)致不能準(zhǔn)確地預(yù)報(bào)系統(tǒng)響應(yīng)。為此，Du等[10-11]通過引入輔助函數(shù)的方式對(duì)聲場聲壓和結(jié)構(gòu)位移傅里葉級(jí)數(shù)進(jìn)行改進(jìn)，使其滿足邊界連續(xù)性條件，實(shí)現(xiàn)了結(jié)構(gòu)-聲強(qiáng)耦合系統(tǒng)響應(yīng)預(yù)報(bào)，但是輔助函數(shù)參數(shù)的引入增加了公式復(fù)雜性和系統(tǒng)矩陣的尺寸。陳躍華等[12-13]在此基礎(chǔ)上，采用Chebyshev多項(xiàng)式級(jí)數(shù)替代改進(jìn)傅里葉級(jí)數(shù)對(duì)耦合系統(tǒng)進(jìn)行了建模，形式更加簡潔，不需要借助有限元工具就可以獲取耦合系統(tǒng)的固有頻率和模態(tài)，但是由于Chebyshev多項(xiàng)式是加權(quán)正交，在計(jì)算中包含大量高階積分項(xiàng)，計(jì)算速度較慢。Kim等[14]提出耦合系統(tǒng)建模降階方法，實(shí)現(xiàn)了強(qiáng)耦合系統(tǒng)響應(yīng)的準(zhǔn)確預(yù)報(bào)。

在現(xiàn)有的文獻(xiàn)中，對(duì)于強(qiáng)耦合腔體的響應(yīng)預(yù)報(bào)研究并不多見，因此開展結(jié)構(gòu)-聲強(qiáng)耦合腔的振聲響應(yīng)分析具有重要意義。本文從能量角度出發(fā)，考慮結(jié)構(gòu)-聲耦合以及邊界力激勵(lì)的作用，對(duì)結(jié)構(gòu)-聲強(qiáng)耦合腔響應(yīng)進(jìn)行了分析。建立了彈性板-充水矩形背腔耦合模型，首先對(duì)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)和聲場及其滿足的邊界條件進(jìn)行了說明，根據(jù)能量原理用拉格朗日函數(shù)對(duì)耦合系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程進(jìn)行了描述，然后用權(quán)函數(shù)為1的 Legendre多項(xiàng)式級(jí)數(shù)分別將結(jié)構(gòu)位移函數(shù)和聲場聲壓函數(shù)進(jìn)行展開，采用Rayleigh-Ritz法對(duì)動(dòng)力學(xué)方程求解得到了耦合系統(tǒng)的振聲響應(yīng)，由于Legendre多項(xiàng)式滿足L2內(nèi)積正交性，使得方程中高重積分項(xiàng)簡化為低重積分或者直接乘積項(xiàng)，大大地提升了計(jì)算效率。通過與文獻(xiàn)和數(shù)值仿真結(jié)果對(duì)比，驗(yàn)證了本文方法的正確性。

1 理論推導(dǎo)

1.1 耦合系統(tǒng)模型

考慮如圖1的彈性板-矩形背腔耦合系統(tǒng)，背腔體積為V，腔內(nèi)充滿聲速為cc，密度為ρc的重介質(zhì)流體，其邊界由彈性板和剛性壁面組成，彈性板厚度為h，面積為S，邊界為Γ，材料密度為ρp，在簡諧外力激勵(lì)Fp的作用下，彈性壁面發(fā)生彎曲振動(dòng)并向腔體內(nèi)部輻射噪聲。由于腔內(nèi)介質(zhì)為重流體(比如水介質(zhì))，彈性邊界與封閉腔形成強(qiáng)耦合系統(tǒng)。

圖1 彈性板-矩形耦合腔

假設(shè)腔內(nèi)介質(zhì)在受到激勵(lì)前處于靜止?fàn)顟B(tài)，則聲壓分布p(x,y,z)滿足Helmholtz波動(dòng)方程及邊界條件

(1)

(2)

式中:?為拉普拉斯算子;ω為激勵(lì)頻率;w(x,y)表示彈性板的位移分布;n為彈性板外法線方向。

對(duì)于彈性板，在外激勵(lì)的作用下其位移振動(dòng)方程為

(D?4-ρphω2)w(x,y)=p(x,y)-

Fpδ(x-xext)δ(y-yext)

(3)

式中，D為結(jié)構(gòu)彎曲剛度。對(duì)于彈性壁面約束邊界條件可以用結(jié)構(gòu)彎曲振動(dòng)的彈簧剛度系數(shù)來描述，以邊界x=0為例，其邊界條件滿足

(4)

(5)

式中:η為材料泊松比;ax0和Ax0分別為x=0處平移彈簧剛度和旋轉(zhuǎn)彈簧剛度，通過設(shè)置平移彈簧剛度為無限大，旋轉(zhuǎn)彈簧剛度為零來表示簡支邊界條件，設(shè)置兩者均為無限大來表示固支邊界條件。

直接由Helmholtz波動(dòng)方程、振動(dòng)方程及其邊界條件求解聲壓分布和位移分布的理論解是困難的，本文從能量角度出發(fā)，采用拉格朗日函數(shù)對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程進(jìn)行描述，該耦合系統(tǒng)分為彈性板系統(tǒng)和封閉腔系統(tǒng)，其拉格朗日函數(shù)分別為

Lp=Up-Tp-Wext-Wctp

(6)

Lc=Uc-Tc-Wptc

(7)

式中:Up為彈性結(jié)構(gòu)彎曲振動(dòng)時(shí)的總勢能;Tp為總動(dòng)能;Wext為外激勵(lì)對(duì)彈性結(jié)構(gòu)做的功;Wctp為彈性結(jié)構(gòu)與聲場交界處聲壓對(duì)結(jié)構(gòu)做的功；Uc為聲場的總勢能;Tc為聲場的總動(dòng)能;Wptc為彈性結(jié)構(gòu)與聲場交界處結(jié)構(gòu)振動(dòng)對(duì)聲場做的功，由牛頓第三定理可知Wctp=-Wptc。具體的表達(dá)式為

(8)

(9)

Wext=Fpw(xext,yext)

(10)

(11)

(12)

(13)

1.2 動(dòng)力學(xué)方程求解

利用Rayleigh-Ritz法對(duì)耦合系統(tǒng)的拉格朗日函數(shù)方程進(jìn)行求解，在求解時(shí)需要選擇一組試函數(shù)對(duì)聲場聲壓和結(jié)構(gòu)位移函數(shù)進(jìn)行展開。通常，要求選擇的試函數(shù)在對(duì)聲場聲壓和結(jié)構(gòu)位移展開時(shí)能滿足任何可能的邊界條件?？紤]試函數(shù)條件及聲模態(tài)函數(shù)和結(jié)構(gòu)模態(tài)函數(shù)的正交特性，選擇正交多項(xiàng)式簇中Legendre多項(xiàng)式對(duì)聲場聲壓函數(shù)和結(jié)構(gòu)位移函數(shù)進(jìn)行展開，由于Legendre多項(xiàng)式的定義區(qū)間為[-1,1]，在對(duì)聲壓函數(shù)和位移函數(shù)進(jìn)行展開時(shí)需要進(jìn)行坐標(biāo)變換，假設(shè)笛卡爾坐標(biāo)系下x,y,z的定義區(qū)間分別為[0,Lx],[0,Ly],[0,Lz]，則坐標(biāo)變換公式為

α=(2x-Lx)/Lx

β=(2y-Ly)/Ly

γ=(2z-Lz)/Lz

(14)

聲壓函數(shù)和位移函數(shù)表達(dá)式分別為

(15)

(16)

式中，Blmn和Cjq分別為(l,m,n)階聲壓展開系數(shù)和(j,q)階位移展開系數(shù);Pl(α)為Legendre多項(xiàng)式。Pl(α)的表達(dá)式為

(17)

應(yīng)當(dāng)說明的是，相比于其他正交多項(xiàng)式，除了有良好的完備性和遞推性之外，選擇使用Legendre多項(xiàng)式作為試函數(shù)還有一個(gè)明顯的優(yōu)點(diǎn)。Legendre多項(xiàng)式在定義區(qū)間內(nèi)L2內(nèi)積滿足權(quán)函數(shù)為1的正交條件

(18)

式中，δll′為克羅內(nèi)克函數(shù)，當(dāng)l=l′時(shí)為1，否則為0。這將簡化耦合系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程中矩陣元素的運(yùn)算。

將聲壓函數(shù)展開式(15)和位移函數(shù)展開式(16)代入式(8)～(13)，聯(lián)立式(6)和(7)，按照Rayleigh-Ritz法，使彈性板系統(tǒng)和封閉腔系統(tǒng)的拉格朗日函數(shù)分別對(duì)聲壓展開系數(shù)和位移展開系數(shù)取極值

(19)

整理即可得到耦合系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程

(20)

式中:B為聲壓展開系數(shù)組成的列向量;C為位移展開系數(shù)組成的列向量;W為作用在彈性結(jié)構(gòu)上的外激勵(lì)向量;Kp和Mp分別為彈性結(jié)構(gòu)的剛度矩陣和質(zhì)量矩陣;Kc和Mc分別為聲腔聲場的剛度矩陣和質(zhì)量矩陣;Kptc為彈性結(jié)構(gòu)對(duì)聲腔聲場的耦合作用矩陣。由于Legendre多項(xiàng)式L2內(nèi)積滿足正交性，各矩陣元素中高重積分項(xiàng)可簡化為低重積分或者直接乘積項(xiàng)，具體表達(dá)式為

(21)

(22)

(23)

(24)

(25)

通過求解上述動(dòng)力學(xué)方程，可以得到聲壓展開系數(shù)和位移展開系數(shù)，分別代入式(15)和(16)，即可求得外激勵(lì)下結(jié)構(gòu)的位移振動(dòng)響應(yīng)和聲場的聲壓分布。由于結(jié)構(gòu)均方振速和聲場均方聲壓是從系統(tǒng)能量層面描述響應(yīng)水平的參量，在聲學(xué)設(shè)計(jì)和全局噪聲控制時(shí)更具有代表性，本文選擇其作為響應(yīng)分析目標(biāo)。由振速和位移的關(guān)系v(x,y)=jωw(x,y)，結(jié)合Legendre多項(xiàng)式的正交性，均方振速和均方聲壓分別可表示為

式中：Λp和Λc分別為結(jié)構(gòu)和聲場歸一化對(duì)角矩陣，由式(18)可得，其對(duì)角元素分別為

(28)

(29)

2 理論驗(yàn)證

2.1 收斂性和準(zhǔn)確性分析

考慮一彈性板-矩形腔強(qiáng)耦合腔模型，幾何參數(shù)為：Lx×Ly×Lz=0.35 m×0.29 m×0.14 m，四邊簡支，腔內(nèi)充滿水以使板腔形成強(qiáng)耦合。彈性板結(jié)構(gòu)參數(shù)為：密度ρp=2 700 kg/m3，泊松比η=0.3，板厚h=0.015 m，楊氏模量E=72 GPa，結(jié)構(gòu)阻尼ζp=0.01；水介質(zhì)參數(shù)為：密度ρc=1 000 kg/m3，聲速cc=1 500 m/s，介質(zhì)阻尼ζc=0.01，在板表面(0.039,0.272)m位置設(shè)置一幅值為1 N的法向簡諧點(diǎn)力。在實(shí)際的計(jì)算過程中，分別截取前Nj,Nq階和前Nl,Nm,Nn階Legendre多項(xiàng)式對(duì)聲壓函數(shù)和位移函數(shù)進(jìn)行展開。為確保求解結(jié)果的準(zhǔn)確性，需要對(duì)截?cái)嚯A數(shù)的收斂性進(jìn)行分析。根據(jù)板腔幾何參數(shù)，取Nj=Nq=Nl=Nm=2Nn=2N，以有限元計(jì)算結(jié)果為準(zhǔn)，分別構(gòu)建均方振速和均方聲壓截?cái)嗾`差函數(shù)為

(30)

(31)

式中：[fL,fH]為分析頻率范圍，由于0～350 Hz已經(jīng)包含足夠多的模態(tài)頻率，選擇該頻段進(jìn)行分析。截?cái)嗾`差隨截?cái)嚯A數(shù)的變化曲線如圖2所示，隨著截?cái)嚯A數(shù)增加，截?cái)嗾`差迅速減小，當(dāng)N=6時(shí)，均方振速和均方聲壓截?cái)嗾`差分別為2.50%和1.62%?？紤]計(jì)算資源，選擇截?cái)嚯A數(shù)為：Nj=Nq=Nl=Nm=2Nn=2N=12。均方振速和均方聲壓的理論計(jì)算結(jié)果與文獻(xiàn)[13]的方法以及有限元計(jì)算結(jié)果的對(duì)比如圖3所示，可以發(fā)現(xiàn)，在分析頻段內(nèi)，本文理論計(jì)算結(jié)果和文獻(xiàn)[13]以及有限元結(jié)果吻合良好。

圖2 截?cái)嗾`差曲線

(a) 均方聲壓

在選擇COMSOL-Multiphysics中聲-殼耦合模塊進(jìn)行有限元分析時(shí)，理論上要獲得可信的結(jié)果，最大網(wǎng)格尺寸應(yīng)小于分析頻段最短波長的1/6。本文中設(shè)置最大網(wǎng)格尺寸為0.008 m，對(duì)應(yīng)的上限分析頻率為31 250 Hz，對(duì)于本文分析的頻段是足夠的。為了進(jìn)一步分析網(wǎng)格尺寸對(duì)響應(yīng)預(yù)報(bào)的影響，考慮使用更小的網(wǎng)格尺寸0.006 m。圖4給出了兩種網(wǎng)格尺寸下系統(tǒng)均方振速響應(yīng)對(duì)比圖，可以看出兩者結(jié)果基本一致，驗(yàn)證了使用0.008 m的網(wǎng)格尺寸有限元計(jì)算結(jié)果作為對(duì)比的可靠性。

圖4 不同網(wǎng)格尺寸下均方振速有限元結(jié)果

2.2 計(jì)算效率分析

文獻(xiàn)[13]提出使用切比雪夫多項(xiàng)式級(jí)數(shù)對(duì)結(jié)構(gòu)位移函數(shù)和聲場聲壓函數(shù)進(jìn)行展開，與之相比，本文使用Legendre多項(xiàng)式級(jí)數(shù)描述聲壓和位移，由于其滿足L2內(nèi)積正交性，簡化了計(jì)算。在同等算力的計(jì)算機(jī)條件下使用代碼實(shí)現(xiàn)時(shí)，影響計(jì)算效率的主要是積分項(xiàng)的數(shù)量，下面從一重積分項(xiàng)的維數(shù)對(duì)兩種方法計(jì)算效率進(jìn)行分析，附錄給出了文獻(xiàn)[13]中剛度矩陣，質(zhì)量矩陣及耦合作用矩陣各元素的表達(dá)式。對(duì)于相同的分析模型，相同的截?cái)嚯A數(shù)，根據(jù)式(21)～(25)和附錄可得本文方法和文獻(xiàn)[13]的方法的積分項(xiàng)的總維數(shù)分別為

(32)

(33)

比較式(32)、(33)可以看出，對(duì)于相同的截?cái)?，在采用Legendre多項(xiàng)式級(jí)數(shù)描述聲壓和位移時(shí)，由于積分項(xiàng)得到了簡化，極大地減小了積分項(xiàng)的總維數(shù)，使得代碼處理更加容易，計(jì)算效率得到提升。

3 振聲響應(yīng)參數(shù)分析

彈性板-矩形背腔是典型的結(jié)構(gòu)-聲耦合系統(tǒng)，雖然其結(jié)構(gòu)簡單，但是當(dāng)腔內(nèi)介質(zhì)為重流體時(shí)，系統(tǒng)耦合程度增加，結(jié)構(gòu)和聲場的響應(yīng)趨于復(fù)雜，更難以預(yù)測，尋找系統(tǒng)參數(shù)的影響規(guī)律是進(jìn)行聲學(xué)設(shè)計(jì)的關(guān)鍵。選擇2.1節(jié)的彈性板-矩形腔模型，不改變激勵(lì)信息，分析彈性板邊界條件和背腔深度的變化對(duì)響應(yīng)的影響。

3.1 彈性板邊界條件

假設(shè)彈性板四邊具有一致的邊界條件，不同的邊界條件可通過設(shè)置平移彈簧剛度a和旋轉(zhuǎn)彈簧剛度A的不同組合來表示：平移彈簧剛度為無窮大，旋轉(zhuǎn)彈簧剛度為零代表簡支邊界，兩者均為無窮大代表固支邊界，這里計(jì)算時(shí)取1010表示無窮大。

圖5給出了耦合系統(tǒng)隨邊界條件和頻率變化的振聲響應(yīng)等高線圖，保持平移彈簧剛度為無窮大，旋轉(zhuǎn)彈簧剛度逐漸由零增加到無窮大，代表簡支向固支約束邊界的過渡。一般來講，相比于真空條件下，存在耦合作用的系統(tǒng)峰值頻率會(huì)產(chǎn)生一定的偏差，這也反映了耦合作用對(duì)系統(tǒng)特性的影響，可用系統(tǒng)第一階非零峰值頻率的偏差量與真空條件下第一階非零峰值頻率的比值來表征耦合作用的強(qiáng)度，即：

Δ=|fcoupled,1-fin-vacuo,1|/fin-vacuo,1

(34)

(a) 均方聲壓

耦合強(qiáng)度系數(shù)隨邊界旋轉(zhuǎn)彈簧剛度的變化如圖6所示，結(jié)合圖5和圖6可以看出，聲場均方聲壓與結(jié)構(gòu)均方振速響應(yīng)峰值頻率的變化趨勢是一樣的。邊界約束可按旋轉(zhuǎn)彈簧剛度大小分為三個(gè)階段：當(dāng)A=100～102趨近于簡支，當(dāng)A=102～105邊界約束由簡支向固支過渡，當(dāng)A=105～1010趨近于固支。當(dāng)邊界約束處于趨近于簡支和趨近于固支階段時(shí)，系統(tǒng)耦合強(qiáng)度系數(shù)基本不變，具體表現(xiàn)為耦合系統(tǒng)的響應(yīng)峰值幅值和頻率不隨邊界旋轉(zhuǎn)彈簧剛度的變化而變化；處于過渡階段時(shí)，隨著邊界旋轉(zhuǎn)彈簧剛度的增大，邊界約束由簡支逐漸轉(zhuǎn)變?yōu)楣讨В瑫r(shí)系統(tǒng)耦合強(qiáng)度逐漸減弱，具體表現(xiàn)為響應(yīng)峰值頻率向高頻偏移，但由于耦合作用變化量較小，響應(yīng)峰值幅值基本不變。

圖6 邊界旋轉(zhuǎn)彈簧剛度變化對(duì)耦合強(qiáng)度系數(shù)的影響

3.2 背腔深度

改變分析模型的背腔深度，保持模型其他參數(shù)不變，分析背腔深度對(duì)耦合系統(tǒng)響應(yīng)的影響。需要說明的是，為了保證求解精度，在利用Legendre多項(xiàng)式對(duì)聲壓函數(shù)進(jìn)行展開時(shí)，腔深方向上的截?cái)嚯A數(shù)應(yīng)當(dāng)隨腔深變化進(jìn)行調(diào)整，在計(jì)算中，當(dāng)0

圖7給出了耦合系統(tǒng)隨背腔深度和頻率變化的振聲響應(yīng)等高線圖。為了清楚的說明峰值響應(yīng)幅值的變化，圖8給出了前六階均方振速和均方聲壓峰值響應(yīng)幅值隨腔深的變化圖。同時(shí)根據(jù)式(34)，可以得到耦合強(qiáng)度系數(shù)隨邊界背腔深度的變化，如圖9所示，結(jié)合圖7～圖9可以看出，隨著背腔深度的增加，耦合強(qiáng)度系數(shù)迅速減小，具體表現(xiàn)為耦合系統(tǒng)的響應(yīng)峰值頻率隨背腔深度的增加迅速向高頻偏移，由于耦合作用迅速減小，由板傳遞到腔內(nèi)的能量減少，均方聲壓峰值幅值逐漸降低，均方振速峰值幅值逐漸增加，當(dāng)腔深進(jìn)一步增大，系統(tǒng)的耦合強(qiáng)度系數(shù)不再變化，振聲響應(yīng)峰值頻率和幅值也不再隨腔深的變化而變化。

圖7 不同背腔深度下的振聲響應(yīng)

4 結(jié) 論

本文提出一種基于能量原理的強(qiáng)耦合腔系統(tǒng)響應(yīng)計(jì)算方法，該方法利用Legendre多項(xiàng)式級(jí)數(shù)分別將聲場聲壓函數(shù)和結(jié)構(gòu)位移函數(shù)展開，結(jié)合Rayleigh-Ritz法對(duì)能量原理下拉格朗日函數(shù)形式的耦合系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程進(jìn)行了求解，得到聲場聲壓響應(yīng)和結(jié)構(gòu)振速響應(yīng)。分析了彈性板邊界條件和背腔深度對(duì)振聲響應(yīng)的影響，結(jié)果表明：

(1) 本方法能快速準(zhǔn)確的預(yù)測強(qiáng)耦合腔的振聲響應(yīng)，由于Legendre多項(xiàng)式L2內(nèi)積滿足正交性，簡化了動(dòng)力學(xué)方程中高重積分項(xiàng)的計(jì)算，大大提升了計(jì)算效率。

(2) 結(jié)構(gòu)邊界由強(qiáng)約束過渡到弱約束時(shí)會(huì)導(dǎo)致峰值頻率向低頻偏移，邊界條件的變化對(duì)峰值幅值的影響不明顯。

(3) 隨著背腔深度的增大，耦合系統(tǒng)峰值頻率向高頻偏移，同時(shí)聲場均方聲壓峰值幅值降低，結(jié)構(gòu)均方振速峰值幅值增加，由結(jié)構(gòu)傳遞到聲場的能量減少。背腔深度進(jìn)一步增大，耦合系統(tǒng)的振聲響應(yīng)不再改變。

附錄A

(A.1)

(A.2)

(A.3)

(A.4)

(A.5)

式中：Tl(α)為切比雪夫多項(xiàng)式，其表達(dá)式為：Tl(α)=cos(larccosα)