應(yīng)用梯度連接層的層合電工鋼梁螺栓結(jié)合部簡化模型研究

關(guān)天賜， 王小鵬， 奚延輝

(西安交通大學(xué) 機械工程學(xué)院，西安 710049)

電工鋼片具有良好的導(dǎo)磁性能，廣泛應(yīng)用于變壓器、電機等電氣設(shè)備中。為了減小渦流損耗，變壓器鐵心由電工鋼片疊裝而成。如何計及電工鋼片層疊結(jié)構(gòu)對變壓器鐵心動力學(xué)特性的影響，是準確建立鐵心結(jié)構(gòu)有限元仿真模型的關(guān)鍵。

在變壓器鐵心的裝配過程中，電工鋼片疊裝后通過夾件與螺栓夾緊，電工鋼片之間接觸的表面為螺栓結(jié)合面[1]。由于變壓器鐵心是復(fù)雜的裝配體，存在著大量的螺栓結(jié)合面，無法通過模態(tài)試驗獲得變壓器鐵心整體的模態(tài)參數(shù)。因此，無法對變壓器鐵心仿真模型進行參數(shù)識別，導(dǎo)致進行鐵心整體靜動態(tài)特性分析時產(chǎn)生很大的誤差。如何對變壓器鐵心中電工鋼片之間的螺栓結(jié)合部進行等效建模，是提高變壓器鐵心建模精度的關(guān)鍵。

國內(nèi)外學(xué)者對于螺栓結(jié)合部的建模提出了多種方法，主要包括彈簧-質(zhì)量法[2]、薄層單元法[3-5]、虛擬材料建模法[6-8]等。Wang等[9]在傳統(tǒng)的彈簧質(zhì)量模型中引入隨應(yīng)變率變化的彈性模量，提出了一種組合螺栓連接的剛度和強度預(yù)測模型?？娸x等[10]在拉桿轉(zhuǎn)子的接觸界面應(yīng)用薄層單元模型，通過模態(tài)試驗數(shù)據(jù)修正了薄層單元的彈性參數(shù)。薄層單元的厚度對計算結(jié)果影響較大，Desai等[11]研究表明薄層單元厚度與長度的比值在0.01～0.1。張學(xué)良等[12]提出基于橫觀各向同性材料的螺栓結(jié)合部等效建模方法，基于接觸分形理論和結(jié)合部接觸剛度分形模型推導(dǎo)了虛擬材料的彈性參數(shù)。Zhao等[13]提出了一種非線性虛擬材料對螺栓結(jié)合部進行建模，通過使用不均勻的表面接觸應(yīng)力確定非線性虛擬材料的參數(shù)。孫清超等[14]提出一種材料參數(shù)隨位置坐標變化的梯度虛擬材料螺栓結(jié)合面等效模型。彈簧-質(zhì)量法適用于簡單結(jié)構(gòu)的建模，在復(fù)雜結(jié)構(gòu)中應(yīng)用困難。薄層單元法可以應(yīng)用于復(fù)雜結(jié)構(gòu)中，但是在螺栓結(jié)合部增加了薄層單元，會改變結(jié)構(gòu)的尺寸。等效虛擬材料模型在結(jié)合部接觸剛度分形模型的基礎(chǔ)上，應(yīng)用接觸分形理論推導(dǎo)虛擬材料彈性常數(shù)與密度。變壓器鐵心中電工鋼片表面涂覆絕緣涂層，使其結(jié)合面特性復(fù)雜，用解析模型求解虛擬材料參數(shù)十分困難。

連接層模型是模擬螺栓結(jié)合部動態(tài)行為的一種新的方法。這一模型將螺栓連接的減剛度效應(yīng)擴展到被連接結(jié)構(gòu)的指定區(qū)域，稱為連接層。與薄層單元法相比，連接層模型不改變結(jié)構(gòu)的尺寸，連接層的厚度沒有確定的取值。Shokrollahi等[15]在金屬結(jié)構(gòu)之間的螺栓結(jié)合部建立單連接層模型，Adel等[16]在金屬與復(fù)合材料結(jié)構(gòu)之間的螺栓結(jié)合部建立雙連接層模型，分別通過試驗結(jié)果對連接層的彈性參數(shù)進行了修正。但是，文獻中將連接層模型定義為均勻材料，沒有考慮螺栓結(jié)合部壓強分布不均勻的特點。

針對電工鋼片間的螺栓結(jié)合部導(dǎo)致變壓器鐵心無法準確建模的問題，本文提出了一種考慮結(jié)合面壓強分布不均勻的梯度連接層模型。根據(jù)螺栓結(jié)合部壓強分布，推導(dǎo)了梯度連接層彈性參數(shù)與結(jié)合部接觸壓強的關(guān)系表達式。以層合電工鋼梁試件為研究對象，通過試驗?zāi)B(tài)與計算模態(tài)對比獲得試件的等效材料參數(shù)。在此基礎(chǔ)上，兩根層合電工鋼梁由螺栓連接，在螺栓結(jié)合部建立梯度連接層模型。通過螺栓連接層合電工鋼梁試驗?zāi)B(tài)與計算模態(tài)對比，以對應(yīng)試驗頻率和計算頻率的差值最小化為目標函數(shù)，應(yīng)用遺傳算法修正了梯度連接層的彈性參數(shù)。

1 梯度連接層模型

Adel等提出一種模擬螺栓結(jié)合部的連接層模型，如圖1所示。該模型將螺栓連接的減剛度效應(yīng)擴展到兩個被連接結(jié)構(gòu)的指定區(qū)域，稱為連接層。在實際建模中，將材料相同的兩個被連接件的連接層作為整體進行計算。連接層的厚度沒有確定的取值，密度與被連接件相同，結(jié)構(gòu)的總體質(zhì)量和尺寸不變。通過改變連接層的彈性性能，可以改變結(jié)構(gòu)的局部剛度，從而在線性范圍內(nèi)研究螺栓連接對結(jié)構(gòu)的影響。連接層模型能夠應(yīng)用在復(fù)雜結(jié)構(gòu)的有限元仿真模型中，從而提高計算精度。

圖1 螺栓結(jié)合部連接層模型

連接層模型基于螺栓連接的減剛度效應(yīng)，螺栓結(jié)合部壓強分布不均勻會導(dǎo)致不同區(qū)域減剛度效應(yīng)不同。文獻[15-16]中提出的連接層模型無法準確表示螺栓結(jié)合部壓強分布不均勻的特點。因此，本文根據(jù)結(jié)合部壓強分布特點，將連接層模型劃分為3層，提出一種考慮結(jié)合部壓強分布不均勻的梯度連接層模型，如圖2所示。

圖2 螺栓結(jié)合部梯度連接層模型

首先，需要定義梯度連接層的本構(gòu)關(guān)系。由于梯度連接層模型使用了被連接結(jié)構(gòu)的部分區(qū)域，為了方便附加到有限元程序中，連接層與相鄰結(jié)構(gòu)的單元類型相同，均為三維實體單元。梯度連接層單元的剛度矩陣K如式(1)所示。

(1)

式中：C為材料的彈性矩陣；B為單元幾何矩陣；V為單元體積。

本文研究的層合電工鋼梁是一種復(fù)合結(jié)構(gòu)，因此將梯度連接層定義為正交各向異性材料，本構(gòu)方程如式(2)所示。

(2)

式中：σi和εi(i=x,y,z)為材料3個主軸方向的正應(yīng)力和正應(yīng)變；τij和γij(i=x,y,z;j=x,y,z;i≠j)為材料的切應(yīng)力和切應(yīng)變；Gij(i=x,y,z;j=x,y,z;i≠j)為材料的剪切模量；Cij(i=x,y,z;j=x,y,z)為剛度矩陣系數(shù)，由材料3個主軸方向的楊氏模量與泊松比確定，如式(3)～(9)所示

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

式中：Ei(i=x,y,z)為材料3個主軸方向的彈性模量；νij(i=x,y,z;j=x,y,z;i≠j)為材料的泊松比。其中，彈性常數(shù)存在以下關(guān)系

νijEj=νjiEi(i=x,y,z;j=x,y,z;i≠j)

(10)

因此，正交各向異性材料具有9個獨立的彈性參數(shù)。

螺栓結(jié)合面壓強分布不均勻，壓強分布可以簡化為空心圓錐體[17]，壓強沿徑向逐漸減小，如圖3所示。結(jié)合面的壓強分布如式(11)～(13)所示

(11)

圖3 螺栓結(jié)合部壓強分布示意圖

(12)

rm=rb+h·tanα

(13)

式中：P(r)為結(jié)合部不同位置的壓強；Pmax為結(jié)合部壓強最大值；Fb為螺栓預(yù)緊力；ri為螺栓孔半徑；rm為螺栓結(jié)合部壓強分布末端半徑；rb為螺栓頭半徑；h為被連接件厚度；α為螺栓頭和結(jié)合部壓強分布末端連線與螺栓中心線的夾角。

假設(shè)在均勻壓力下單位面積結(jié)合面的法向剛度Kn和切向剛度Kτ如式(14)～(15)所示[18]

Kn=αn·P(r)βn

(14)

Kτ=ατ·P(r)βτ

(15)

式中:αn、βn為結(jié)合部法向特性參數(shù)；ατ、βτ為結(jié)合部切向特性參數(shù)。

根據(jù)材料力學(xué)中彈性模量和剪切模量與法向剛度和切向剛度的的關(guān)系，推導(dǎo)出梯度連接層的彈性模量和剪切模量與壓強的關(guān)系如式(16)～(17)所示。

(16)

(17)

式中：E(r)為梯度連接層不同位置的彈性模量；G(r)為梯度連接層不同位置的剪切模量；A為梯度連接層xy平面內(nèi)的面積；h為梯度連接層z軸方向上的厚度。

本文中將梯度連接層劃分為3個分層，每個分層的壓強取為平均接觸壓強，見圖2。梯度連接層為正交各向異性材料，由于螺栓連接的壓力沿z方向，根據(jù)文獻[12]，假設(shè)梯度連接層3個分層x方向的彈性模量相等，y方向的彈性模量相等，xy方向的剪切模量相等，z方向的彈性模量與xz、yz方向的剪切模量與接觸壓強關(guān)系如式(16)～(17)所示，3個方向泊松比與被連接結(jié)構(gòu)相同。梯度連接層的材料參數(shù)與螺栓預(yù)緊力、表面粗糙度與螺栓結(jié)合面材料等參數(shù)有關(guān)。

2 層合電工鋼梁螺栓結(jié)合部簡化建模

2.1 層合電工鋼梁的設(shè)計與參數(shù)識別

由于電工鋼片厚度通常小于0.5 mm，單獨兩片間的螺栓結(jié)合面研究比較困難。因此，本文首先制作了層合電工鋼梁試件，如圖4所示。試件由10片公稱厚度0.3 mm的電工鋼片沿Z軸堆疊并通過膠黏層粘接在一起，試件質(zhì)量為478.7 g。電工鋼片的幾何尺寸如圖5所示。由于電工鋼片的厚度公差為±0.015 mm，通過千分尺測量試件60個點的厚度，試件沿Z軸方向的厚度為3 mm，公差為±0.020 mm。由于試件沒有確定的材料參數(shù)，無法進行螺栓結(jié)合部的等效建模研究。因此，本文首先通過試驗?zāi)B(tài)與計算模態(tài)對比識別層合電工鋼梁的等效材料參數(shù)。

圖4 層合電工鋼梁試件

圖5 電工鋼片幾何尺寸

本文在自由-自由邊界條件下對層合電工鋼梁進行模態(tài)試驗，如圖6所示。通過沖擊錘(5800B3，DYTRAN)對試件施加脈沖激勵，試件表面等距布置23個測點。將三軸加速度傳感器(3333A2，DYTRAN)安裝在試件表面的A1點。由于加速度傳感器質(zhì)量遠小于試件質(zhì)量，忽略加速度傳感器對試驗的影響。每個測點重復(fù)測量4次，存儲平均頻響函數(shù)與相干函數(shù)。通過數(shù)據(jù)分析儀(m+p VibPilot)記錄試驗數(shù)據(jù)并進行模態(tài)試驗分析，獲得試件前6階試驗頻率如表1所示。從表1中可以看出，參數(shù)識別后層合電工鋼梁仿真計算的前4階固有頻率與試驗頻率之間的誤差均小于1%，并且準確地預(yù)測了未參與識別過程的第5和第6階固有頻率，說明識別后的材料參數(shù)可以用于層合電工鋼梁的仿真計算。

圖6 試件模態(tài)試驗設(shè)置

表1 試件試驗頻率與識別后計算頻率

層合電工鋼梁結(jié)構(gòu)具有各向異性，根據(jù)文獻[19]，層合電工鋼梁在x與y軸方向性能基本相同，可近似認為試件具有橫觀各向同性。因此，將層合電工鋼梁的材料定義為正交各向異性材料，材料參數(shù)之間的關(guān)系如式(18)～(21)所示

(18)

(19)

(20)

(21)

為了識別層合電工鋼梁的等效材料參數(shù)， 通過有限元計算與模態(tài)試驗獲得的固有頻率差值最小化來確定試件材料參數(shù)，目標函數(shù)如式(22)所示

(22)

(23)

(24)

(25)

(26)

表2 試件材料參數(shù)初始值及變化范圍

通過遺傳算法對層合電工鋼梁的材料參數(shù)進行識別[20-21]。層合電工鋼梁材料參數(shù)的識別值如表3所示。

表3 試件材料參數(shù)識別值

2.2 螺栓連接層合電工鋼梁模態(tài)試驗

在識別后試件材料參數(shù)的基礎(chǔ)上，進一步研究層合電工鋼梁螺栓結(jié)合部簡化模型。將兩根本文中設(shè)計的層合電工鋼梁通過M10螺栓連接，兩根層合電工鋼梁尺寸相同，連接區(qū)域長度為60 mm，整個連接結(jié)構(gòu)幾何尺寸如圖7所示。

非布司他治療2型糖尿病腎病合并高尿酸血癥的臨床觀察…………………………………………………… 張春林等（4）：501

圖7 螺栓連接層合電工鋼梁幾何尺寸

為了獲得螺栓連接層合電工鋼梁的模態(tài)參數(shù)，在自由-自由邊界條件下對螺栓連接層合電工鋼梁進行模態(tài)試驗，如圖8所示。根據(jù)實際生產(chǎn)中變壓器鐵心的裝配壓強，施加的螺栓預(yù)緊扭矩為1.0 N·m。采用沖擊錘(5800B3，DYTRAN)對試件施加脈沖激勵，試件表面布置43個測點。將三軸加速度傳感器(3333A2，DYTRAN)安裝在試件表面的A2點。每個測點重復(fù)測量4次，存儲平均頻響函數(shù)與相干函數(shù)。

圖8 螺栓連接層合電工鋼梁模態(tài)試驗設(shè)置

通過數(shù)據(jù)分析儀(m+p VibPilot)記錄試驗數(shù)據(jù)并進行模態(tài)試驗分析，獲得螺栓連接層合電工鋼梁的頻響函數(shù)如圖9所示，前8階試驗振型如圖10所示，前8階固有頻率如表4所示。

圖9 螺栓連接層合電工鋼梁的頻率響應(yīng)函數(shù)

圖10 螺栓連接層合電工鋼梁的試驗振型圖

表4 螺栓連接層合電工鋼梁試驗頻率與初始計算頻率

2.3 螺栓連接層合電工鋼梁模態(tài)仿真

通過ANSYS有限元軟件對螺栓連接層合電工鋼梁進行模態(tài)仿真，有限元模型如圖11所示。兩根層合電工鋼梁之間建立梯度連接層模型并定義綁定接觸，分層1和2的直徑分別為24和36 mm，螺栓、螺母與墊圈(32 g)簡化為集中點質(zhì)量。連接層的厚度沒有確定取值，文獻[11]研究表明當(dāng)連接薄層長度與厚度比值為10～100時能取得較為準確的結(jié)果。因此，在梯度連接層的長度與厚度比值范圍內(nèi)，為了方便計算，本文將梯度連接層厚度設(shè)置為1 mm。

圖11 螺栓連接層合電工鋼梁的有限元模型

初始仿真中，層合電工鋼梁與梯度連接層應(yīng)用表3中識別后的材料參數(shù)。仿真模型中層合電工鋼梁與梯度連接層均使用20個節(jié)點的三維單元(solid186)，包括12 911個單元與70 116個節(jié)點。在仿真模型的y軸方向定義零位移約束，該約束可以避免模型的橫向彎曲(y-x平面內(nèi))與扭轉(zhuǎn)模態(tài)，保證在改變設(shè)計參數(shù)時不改變振型的階數(shù)。仿真計算后螺栓連接層合電工鋼梁的前8階振型如圖12所示。從圖12可以看出，仿真計算的模型前8階振型與圖10中模態(tài)試驗分析得到的前8階振型一致。

(a) 第1階振型

在振型一致的前提下，仿真模型計算的初始前8階固有頻率見表4。從表中可以看出，螺栓連接層合電工鋼梁的前8階試驗頻率均小于初始計算頻率，說明結(jié)合面的剛度小于結(jié)構(gòu)其它部分的剛度，仿真時定義綁定接觸與實際誤差較大。在研究變壓器鐵心的動態(tài)特性時，不考慮電工鋼片間的接觸，建立整體鐵心模型與實際誤差較大。此外，奇數(shù)階模態(tài)頻率誤差大于偶數(shù)階模態(tài)頻率誤差，因為偶數(shù)階模態(tài)中螺栓結(jié)合部被置于節(jié)點位置，不參與結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)。但是，對于奇數(shù)階模態(tài)，螺栓結(jié)合部位于振動的峰值處，會導(dǎo)致結(jié)合面發(fā)生微小滑移與分離，從而誤差較大。因此，需要對梯度連接層的彈性參數(shù)進行修正。

3 梯度連接層參數(shù)修正

螺栓連接層合電工鋼梁的前8階試驗頻率與計算頻率誤差較大，需要使用試驗結(jié)果修正梯度連接層的材料參數(shù)。本文中參數(shù)修正方法的流程圖如圖13所示，其基本步驟如下：

圖13 梯度連接層參數(shù)修正流程圖

(1) 在有限元軟件ANSYS中對螺栓連接層合電工鋼梁進行建模，并在其螺栓結(jié)合部建立梯度連接層模型，仿真計算得到結(jié)構(gòu)初始計算頻率和模態(tài)振型；

(3) 設(shè)置約束條件，基于遺傳算法對梯度連接層的彈性參數(shù)進行修正；

(4) 目標函數(shù)滿足終止條件后，得到修正后的梯度連接層彈性參數(shù)。

由于螺栓連接的壓力沿z方向，根據(jù)文獻[12]，假設(shè)梯度連接層3個分層x方向的彈性模量相等，y方向的彈性模量相等，xy方向的剪切模量相等，z方向的彈性模量與xz、yz方向的剪切模量與接觸壓強關(guān)系如式(16)～(17)所示，3個方向泊松比與被連接結(jié)構(gòu)相同。梯度連接層的密度與被連接結(jié)構(gòu)相同。因此，在參數(shù)修正過程中梯度連接層3個分層彈性參數(shù)的關(guān)系如式(27)～(32)所示

(27)

(28)

(29)

(30)

(31)

(32)

目標函數(shù)與式(22)相同，梯度連接層材料參數(shù)的初始值及變化范圍如表5所示。通過遺傳算法對梯度連接層的材料參數(shù)進行修正，第5～8階固有頻率用來驗證修正后梯度連接層材料參數(shù)的準確性。目標函數(shù)迭代收斂過程如圖14所示。從圖中可看出，經(jīng)過18次迭代后收斂，每次迭代計算20個設(shè)計點。

表5 梯度連接層材料參數(shù)初始值及變化范圍

圖14 目標函數(shù)迭代收斂曲線

修正后梯度連接層的等效材料參數(shù)如表6所示，螺栓連接層合電工鋼梁模態(tài)仿真計算的固有頻率如表7所示。從表7中可以看出，修正后螺栓連接層合電工鋼梁的前4階計算頻率與試驗頻率之間的誤差均小于1%，未參與修正過程的第5～8階固有頻率誤差同樣小于1%，說明應(yīng)用修正后的梯度連接層模型能夠提高螺栓連接層合電工鋼梁的建模精度。

表6 梯度連接層材料參數(shù)修正值

表7 螺栓連接層合電工鋼梁修正后計算頻率

從表6中可以看出，修正后梯度連接層3個分層的彈性參數(shù)與初始值相比，下降幅度較大。分層1在x、y和z方向的彈性模量分別下降了24倍、29倍和22倍，在xy、yz和xz方向的剪切模量分別下降了66倍、20倍和42倍，說明結(jié)合面的剛度小于結(jié)構(gòu)其它部分的剛度。梯度連接層3個分層的彈性參數(shù)滿足結(jié)合部壓強分布關(guān)系，說明結(jié)合部剛度分布不均勻。通過應(yīng)用修正后的梯度連接層模型，能夠在線性范圍內(nèi)對螺栓連接層合電工鋼梁的結(jié)合部進行等效建模。

4 結(jié) 論

(1) 本文提出了一種考慮螺栓結(jié)合部壓強分布不均勻的梯度連接層模型。以層合電工鋼梁為研究對象，通過試驗?zāi)B(tài)與計算模態(tài)對比修正了層合電工鋼梁的等效材料參數(shù)，修正后試件前6階計算頻率與試驗頻率的誤差均小于1%。

(2) 在層合電工鋼梁的螺栓結(jié)合部建立梯度連接層模型。通過螺栓連接層合電工鋼梁的試驗?zāi)B(tài)與計算模態(tài)對比，應(yīng)用遺傳算法修正了梯度連接層的彈性參數(shù)。在振型一致的前提下，修正后對應(yīng)固有頻率的誤差在1%以內(nèi)，說明修正后的梯度連接層模型能準確反映層合電工鋼梁螺栓結(jié)合部的接觸性能。

(3) 修正后梯度連接層不同分層彈性參數(shù)滿足結(jié)合部壓強分布關(guān)系并且均小于初始值，說明修正后的梯度連接層參數(shù)能夠反映結(jié)合部剛度減小與壓強分布不均勻的物理特性。通過在變壓器鐵心中應(yīng)用修正后的梯度連接層模型，能夠提高計算精度。