基于多尺度L-P法的三次非線性包裝系統(tǒng)跌落沖擊解析解

霍銀磊， 宋曉東

(河南科技大學(xué) 包裝工程系，河南 洛陽 471000)

非線性系統(tǒng)的響應(yīng)問題廣泛存在于生產(chǎn)生活的各個(gè)方面。例如緩沖包裝系統(tǒng)中所用的緩沖包裝材料就往往表現(xiàn)出較強(qiáng)的非線性，因此包裝系統(tǒng)的許多非線性力學(xué)問題的數(shù)學(xué)模型都可以歸結(jié)為三次非線性方程(Duffing方程)。 由于三次強(qiáng)非線性系統(tǒng)的精確的解析解在多數(shù)情況下是不可能獲得而解析解的物理意義又不夠明確，故而不少學(xué)者開始關(guān)注其近似解析解。在很多非線性問題的近似求解中，攝動(dòng)法被證明是有效的[1-2]。然而，傳統(tǒng)攝動(dòng)方法的不足之一是方程中需要一個(gè)小參數(shù)或需要人為地在方程中引入小參數(shù)，對(duì)于某些物理參數(shù)較大的強(qiáng)非線性系統(tǒng)，這些近似解一般不再有效。

然而，對(duì)于系統(tǒng)的跌落沖擊問題，由于初始條件的差別，以上的針對(duì)非線性系統(tǒng)振動(dòng)響應(yīng)的求解方法對(duì)跌落沖擊問題的適應(yīng)性并不好。近年來，針對(duì)跌落沖擊工況下簡單非線性系統(tǒng)近似解的討論引起了不少學(xué)者的注意：向紅等[26]將L-P攝動(dòng)法與包裝動(dòng)力學(xué)的能量法相結(jié)合，得到了系統(tǒng)沖擊響應(yīng)的包含基頻與高頻成分的一次漸近解，通過引入一個(gè)調(diào)節(jié)基頻與高頻成分的比例關(guān)系的振幅修正系數(shù)改善了一次漸進(jìn)解的精度。嚴(yán)敏等[27-28]用變分迭代理論與包裝動(dòng)力學(xué)能量分析法結(jié)合分別分析斜支撐及三次非線性包裝系統(tǒng)跌落沖擊問題，獲得包含基頻與高頻成分一階迭代近似解；隨后他們又基于簡單積分法[29]，牛頓諧波平衡法(NHB)[30]和何氏頻率-振幅(HFAF)關(guān)系[31]討論了三次非線性包裝系統(tǒng)的跌落沖擊。李宏衛(wèi)等[32]采用解決何氏參數(shù)展開法得到跌落沖擊動(dòng)態(tài)方程的僅包含基頻成分的一階近似修正解，形式簡單；他們還提出一種新的非線性分析方法[33]，并以三次非線性和瓦楞紙板型的混合非線性跌落沖擊模型為例，分析了近似解析解的獲取方法；同倫攝動(dòng)法也被他們用于正切型非線性包裝系統(tǒng)的跌落沖擊響應(yīng)問題[34-35]。為了提高以上方法的精度，通常需要基于沖擊過程中的能量變化對(duì)所得解析解的幅值和頻率進(jìn)行修正。最近，Song[36]提出了一種改進(jìn)的同倫攝動(dòng)方法，并且給出了利用此法求解高階非線性諧振子的一般思路；Song[37]還針對(duì)貨物的空投過程，基于熱力學(xué)理論研究了通過調(diào)制空投過程中降落傘的溫度來調(diào)節(jié)物品落地速度及加速度，減弱甚至完全避免沖擊和振動(dòng)的發(fā)生，確是一個(gè)很有趣的研究方向。

考慮到跌落沖擊的短時(shí)特性，系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)才是關(guān)注的重點(diǎn)，本文將結(jié)合多尺度法和L-P攝動(dòng)法來討論三次強(qiáng)非線性包裝系統(tǒng)在發(fā)生跌落沖擊時(shí)的響應(yīng)問題，以期為此類問題的求解提供參考。

1 系統(tǒng)模型及運(yùn)動(dòng)方程

圖1 包裝系統(tǒng)跌落動(dòng)力學(xué)模型

由牛頓第二定律可知系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程

(1)

引入小參數(shù)ε

(2)

式(1)寫為

(3)

其中,ε?1

對(duì)于跌落沖擊，系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)初始條件

(4)

2 多尺度Lindstedt-Poincare法(MSLP)

考慮非線性常數(shù)α可能不為小量，系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的求解可采用改進(jìn)的L-P法，令τ=ωt，對(duì)式(3)進(jìn)行時(shí)間變換得

(5)

式中，“′”表示為對(duì)新時(shí)間變量τ的微分。

分別定義快變和慢變時(shí)間尺度

T0=τ,T1=ετ,T2=ε2τ

(6)

變換后的時(shí)間導(dǎo)數(shù)和因變量的多尺度展開分別為

(7)

基頻可定義為

(8)

將式(7)、(8)代入(5)得

ε2x2)+ε2μω[D0+εD1+ε2D2](x0+εx1+ε2x2)+

(ω2-εω1-ε2ω2)(x0+εx1+ε2x2)+

εα(x0+εx1+ε2x2)3=0

(9)

其中，ω0被替換為

(10)

分離參數(shù)ε各階，得到

(11)

系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的初始條件

(14)

由式(11)可方便得到系統(tǒng)的0次近似解

x0=AeiT0+cc

(15)

將式(15)代入式(12)得

(16)

令D1A=0，式(16)中消除久期項(xiàng)可得

(17)

考慮初始條件，式(16)有如下形式解

(18)

進(jìn)一步地，將式(15)和(18)代入式(13)得

(19)

令D2A=0可知ω2為復(fù)數(shù)，方程的解不可獲得。因此為消除久期項(xiàng)，此處令ω2=0，得：

(20)

(21)

分離實(shí)部和虛部，并利用初始條件(14)可解得

(22)

整理可得式(5)的一次漸進(jìn)解

(23)

其中

由式(8)及(17)可得

(24)

(25)

為使方程的解(23)收斂有效，要求

(26)

對(duì)于α較大的強(qiáng)非線性系統(tǒng)，由于ω是α的函數(shù)，振幅a隨時(shí)間衰減，上式左邊在t=0時(shí)取到最大，因此有

(27)

滿足收斂性要求。

3 算例分析與討論

為了檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷臏?zhǔn)確性，考察無阻尼系統(tǒng)的沖擊響應(yīng)并與文獻(xiàn)結(jié)果對(duì)比，令式(5)中的μ=0，由式(23)可得無阻尼系統(tǒng)響應(yīng)

(28)

其中

根據(jù)沖擊過程中的能量關(guān)系，由式(1)可得無阻尼系統(tǒng)(c=0)的最大位移響應(yīng)和加速度響應(yīng)分別為

(29)

聯(lián)立式(28)，即可得到關(guān)于修正后的幅值系數(shù)a和頻率ω的方程組

(30)

修正后的無阻尼系統(tǒng)響應(yīng)

(31)

為方便比較，利用文獻(xiàn)[26]的系統(tǒng)參數(shù)，緩沖泡沫材料等效初始彈性常數(shù)k=600 N/cm，非線性常數(shù)e=72 N/cm3；系統(tǒng)跌落高度H=0.6 m。得到跌落沖擊過程中無阻尼系統(tǒng)位移及加速度響應(yīng)如圖2所示(作為對(duì)比，阻尼取很小值c=10-6N·m/s時(shí)的阻尼系統(tǒng)響應(yīng)也在圖中給出)； 其中系統(tǒng)的最大位移響應(yīng)、加速度響應(yīng)以及誤差與其他文獻(xiàn)方法結(jié)果對(duì)比如表1所示?？梢钥闯觯?/p>

圖2 不同方法得到的系統(tǒng)跌落沖擊響應(yīng)結(jié)果對(duì)比

表1 不同方法計(jì)算的近似解與數(shù)值解的對(duì)比

對(duì)于無阻尼系統(tǒng)，考慮未修正的沖擊響應(yīng)，本文MSLP近似解(式(28)所得)與Runge-Kutta數(shù)值結(jié)果對(duì)比的相對(duì)誤差分別為1.4%和6.6%，加速度誤差較大，解析解的周期也較數(shù)值解略大；相比文獻(xiàn)[34]的同倫攝動(dòng)、文獻(xiàn)[35]的Li-He同倫法及文獻(xiàn)[29]的簡單近似法的結(jié)果精度都要高，顯示了文種方法的優(yōu)越性。經(jīng)過幅值修正后的近似解析解(式(31)所得)的相對(duì)誤差明顯減小，分別為0.58%和0.16%，精確度很高；與文獻(xiàn)[26]的計(jì)算結(jié)果對(duì)比相差也很小，表明能量修正對(duì)于無阻尼系統(tǒng)求解的必要性。

對(duì)于阻尼近乎為0的情況(c=10-6N·m/s)，其數(shù)值解與無阻尼系統(tǒng)數(shù)值解相同，本文基于MSLP方法的位移、加速度近似解的相對(duì)誤差分別為1.4%和3.4%，精度較高，無需對(duì)幅值和頻率進(jìn)行基于能量的修正即滿足工程要求。

圖3給出了強(qiáng)(α=5×108)、弱(α=5×104)非線性小阻尼(μ=10-6)系統(tǒng)的沖擊位移響應(yīng)和加速度響應(yīng)?？梢钥闯觯簩?duì)于弱非線性系統(tǒng)，MSLP近似解與數(shù)值解高度吻合；對(duì)于強(qiáng)非線型系統(tǒng)，MSLP近似解的周期較數(shù)值解略有增加，近似解的位移、加速度最大峰值分別為0.026 m和-840 m/s2，與數(shù)值解的相對(duì)誤差分別為0.38%和4%，已是相當(dāng)準(zhǔn)確，考慮到有阻尼系統(tǒng)能量修正的復(fù)雜性，本文MSLP近似解可直接用于三次非線型問題的解析求解而不必進(jìn)行基于能量的幅值和頻率修正。

圖3 小阻尼系統(tǒng)的跌落沖擊響應(yīng)(ω0=50,ε=0.1,μ=10-6)

對(duì)于三次強(qiáng)非線性系統(tǒng)(α=107)，圖4 給出了不同阻尼作用時(shí)系統(tǒng)的跌落沖擊位移響應(yīng)和加速度響應(yīng)?？梢钥闯觯弘S著系統(tǒng)阻尼的增加，響應(yīng)幅值逐漸減小，這與線性系統(tǒng)結(jié)論一致；MSLP解析解的最大值和周期都較數(shù)值解略有增大，但總體吻合度還是較高的；只有當(dāng)阻尼很大時(shí)(μ=5 000)，解析解的最大位移響應(yīng)和加速度響應(yīng)分別為：0.036 8 m和-177.9 m/s2，與數(shù)值解(最大位移0.035 4 m、最大加速度-173.1 m/s2)的相對(duì)誤差分別為4.28%和2.77%。證明本文MSLP一階近似解對(duì)于含有較大阻尼的三次非線型問題同樣具有很好的適用性。

4 結(jié) 論

本文將多尺度法和改進(jìn)的L-P方法相結(jié)合應(yīng)用于含有阻尼的三次非線性包裝系統(tǒng)跌落沖擊的近似求解，并與數(shù)值解進(jìn)行對(duì)比，主要結(jié)論如下：

(1) MSLP方法可有效用于含有阻尼的三次非線性包裝系統(tǒng)的跌落沖擊響應(yīng)的近似解析求解，即便對(duì)于強(qiáng)非線性系統(tǒng)，其一次近似解也具有較高的精度。

(2) 不考慮阻尼得影響，三次強(qiáng)非線性系統(tǒng)基于MSLP方法的一階近似加速度解的最大值與數(shù)值解的相對(duì)誤差也僅有6%，利用沖擊過程中的能量關(guān)系對(duì)解析解中的幅值與頻率參數(shù)進(jìn)行修正，修正后一階近似解的位移、加速度最大值與數(shù)值解的相對(duì)誤差都在1%以內(nèi)。

(3) 對(duì)于有阻尼三次強(qiáng)非線性系統(tǒng)，基于MSLP方法的一階近似解也具有較好的精度，即便是阻尼很大時(shí)，其與數(shù)值解的相對(duì)誤差也僅有4.28%。無需能量修正也可滿足工程要求。

(4) 當(dāng)阻尼取很小值時(shí)，有阻尼系統(tǒng)MSLP方法的一階近似解比無阻尼時(shí)具有更高的精度，盡管兩種情況下數(shù)值解幾乎沒有差別。因此，對(duì)于無阻尼三次強(qiáng)非線性系統(tǒng)沖擊問題的求解，除了眾多文獻(xiàn)中提出的能量修正法，也可考慮通過對(duì)系統(tǒng)引入一個(gè)小阻尼來提高解析解的精度。