正交各向異性層合板殼耦合結(jié)構(gòu)的能量傳遞特性

李 翱， 陳海波， 鐘 強(qiáng)， 王 幸

(中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué) 近代力學(xué)系 中國(guó)科學(xué)院材料力學(xué)行為與設(shè)計(jì)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，合肥 230026)

板殼結(jié)構(gòu)廣泛應(yīng)用于汽車、船舶、航空航天等工程領(lǐng)域，其中很多采用的是復(fù)合材料層合結(jié)構(gòu)，且在許多服役狀態(tài)下都需要分析其高頻振動(dòng)響應(yīng)。板殼高頻振動(dòng)的一個(gè)顯著特征是結(jié)構(gòu)變形的波長(zhǎng)遠(yuǎn)小于結(jié)構(gòu)的整體尺寸，這意味著通過標(biāo)準(zhǔn)有限元建模計(jì)算成本高，非確定性因數(shù)較為敏感，因此計(jì)算魯棒性不強(qiáng)[1]。為了避免這兩個(gè)問題，多種能量方法已被提出，其中最流行的是統(tǒng)計(jì)能量分析(statistical energy analysis,SEA)以及它的擴(kuò)展方法能量有限元法(energy finite element method,EFEM)、能量輻射傳遞法(radiative energy transfer method，RETM)等[2]，它們大多基于彈性波在結(jié)構(gòu)中的運(yùn)動(dòng)進(jìn)行研究[3-4]。彈性波在傳播過程中，如遇結(jié)構(gòu)不連續(xù)處，即多結(jié)構(gòu)耦合處以及邊界處，會(huì)產(chǎn)生折反射且伴隨著入射功率在不同波場(chǎng)形式間的重新分配，這也意味著能量的重新分配。研究耦合處波的傳遞是一個(gè)傳統(tǒng)問題，它體現(xiàn)了能量在耦合處的分配，而能量傳遞系數(shù)則從數(shù)值上量化了這種分配[5]。因此，討論彈性波在結(jié)構(gòu)不連續(xù)處的透反射情況，研究能量在板殼結(jié)構(gòu)中的耦合傳遞系數(shù)是極為必要的，它是計(jì)算系統(tǒng)耦合損耗因子(coupling loss factor,CLF)的關(guān)鍵[6]。實(shí)際上采用功率流有限元等能量方法研究耦合結(jié)構(gòu)的振動(dòng)傳遞特性時(shí)，能量傳遞系數(shù)的計(jì)算是必須首先要解決的關(guān)鍵問題之一[7-8]。

目前，對(duì)耦合結(jié)構(gòu)能量傳遞特性的研究主要針對(duì)板結(jié)構(gòu)，如Le Bot推導(dǎo)了多板沿一條邊界耦合的能量傳遞系數(shù)，Langley等[9]針對(duì)多板耦合于梁的系統(tǒng)，研究了彈性波的傳遞特性。江民圣等[10]對(duì)任意夾角的耦合板能量傳遞系數(shù)進(jìn)行研究，討論了板厚及激勵(lì)頻率對(duì)L型耦合板能量傳遞系數(shù)的影響。葛月[11]計(jì)算了耦合板的能量傳遞系數(shù)，并將其應(yīng)用于對(duì)應(yīng)耦合結(jié)構(gòu)的能量邊界元分析中。Yan等[12-13]對(duì)復(fù)合材料板的耦合能量傳遞系數(shù)進(jìn)行推導(dǎo),然后基于此對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行能量有限元分析。Xie等[14]計(jì)算了只考慮彎曲波時(shí)正交各向異性加筋板的能量傳遞系數(shù)，對(duì)耦合系統(tǒng)的彎曲振動(dòng)能量有限元進(jìn)行了驗(yàn)證分析。

曲板與平板耦合、曲板與曲板耦合常見于飛機(jī)機(jī)身結(jié)構(gòu)中，例如，機(jī)翼-機(jī)身連接、地板-機(jī)身連接，但對(duì)于彈性波在此類耦合系統(tǒng)中的傳遞特性研究較少。Langley計(jì)算了彈性波在曲板耦合系統(tǒng)中的能量傳遞系數(shù)和耦合損耗因子，Tso等[15]研究了波在封閉圓柱殼與肋板周向耦合系統(tǒng)中的傳播，但均未涉及復(fù)合材料層合結(jié)構(gòu)。對(duì)層合曲板的研究目前主要針對(duì)其單個(gè)子系統(tǒng)的波數(shù)、模態(tài)密度和傳聲損失[16]，只有Lee討論了波在復(fù)合材料圓柱殼軸向和環(huán)向上的傳播。復(fù)合材料層合結(jié)構(gòu)在實(shí)際工程中的應(yīng)用日益廣泛，占比也越來越重，復(fù)合材料耦合結(jié)構(gòu)中的能量傳遞系數(shù)計(jì)算已成為耦合系統(tǒng)分析必須解決的基本問題之一[17]。簡(jiǎn)言之，研究波在復(fù)合材料層合板殼耦合系統(tǒng)中的能量傳遞特性，極具工程意義。

本文基于復(fù)合材料的力學(xué)性能對(duì)層合板殼結(jié)構(gòu)的平衡微分方程進(jìn)行推導(dǎo)，進(jìn)而根據(jù)波法的位移假設(shè)求解波數(shù)曲線，然后借鑒Langley提出的波動(dòng)剛度矩陣方法對(duì)正交各向異性層合板殼耦合結(jié)構(gòu)的能量傳遞系數(shù)進(jìn)行求解，并在此基礎(chǔ)上計(jì)算了層合板殼耦合系統(tǒng)的耦合損耗因子。本文的工作完善了層合板殼耦合結(jié)構(gòu)高頻振動(dòng)相關(guān)理論，為后續(xù)進(jìn)一步進(jìn)行能量預(yù)報(bào)奠定了基礎(chǔ)。

1 正交各向異性層合板殼的平衡微分方程

平衡微分方程是研究層合結(jié)構(gòu)耦合系統(tǒng)能量傳遞特性的關(guān)鍵，本文基于薄殼理論[18]和經(jīng)典層合板理論[19]推導(dǎo)正交各向異性層合板殼的平衡微分方程。

1.1 層合板殼的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系

圖1為正交各向異性單層板單元體。圖1中:x-y為偏軸坐標(biāo)系;1-2為材料主方向即正軸坐標(biāo)系;x軸與材料主方向1之間的夾角α為復(fù)合材料單層方向角。

圖1 一般正交各向異性板的兩個(gè)坐標(biāo)系

其正軸模量矩陣為

(1)

其偏軸模量矩陣為

(2)

(3)

對(duì)于一般復(fù)合材料層合結(jié)構(gòu)如圖2所示。

圖2 一般層合板殼的幾何結(jié)構(gòu)

其內(nèi)力-應(yīng)變關(guān)系為

(4)

(5)

式中:N、M為內(nèi)力矩陣;Nx、Ny為軸力;Nxy為切向力;Mx、My為彎矩;Mxy為扭矩;ε為中面應(yīng)變矩陣;κ為中面曲率矩陣。

1.2 層合板殼的平衡微分方程

對(duì)于圖3所示的層合殼結(jié)構(gòu)。

圖3 環(huán)向開敞層合柱殼單元

其中面應(yīng)變和曲率如下

(6)

式中:u、v、w為中面位移;R為柱殼的曲率半徑。通過式(5)和(6)可求解內(nèi)力矩陣式(4)，結(jié)合式(4)和式(7)

(7)

便可計(jì)算出剪力Qx、Qy及加上扭矩等效剪力后的總剪力Qxt、Qyt。

將內(nèi)力與剪力代入柱殼微元體的力平衡方程

(8)

式中,qx、qy、qz為層合柱殼所受載荷在x、y、z三個(gè)方向上的分量。

得層合柱殼的平衡微分方程

L(u)=0

(9)

(10)

(11)

(12)

2 正交各向異性層合板殼耦合能量傳遞

針對(duì)各向異性結(jié)構(gòu)無法利用亥姆霍茲方程對(duì)平衡微分方程進(jìn)行解耦，這里直接基于波法給出位移表達(dá)式，由Snell折反射定律[20]得波數(shù)在耦合邊界上的投影相等，將位移代入平衡微分方程求解特征值和特征向量，最后基于耦合處力的平衡條件和位移連續(xù)性條件,對(duì)能量傳遞系數(shù)進(jìn)行求解。

2.1 正交各向異性層合板殼波數(shù)曲線

在圖3中，考慮曲率半徑的影響，對(duì)于x邊界，坐標(biāo)y為常數(shù)，其轉(zhuǎn)角為v/R-?w/?y。所以四個(gè)邊界位移可以寫成

d=S(u)

(13)

S是一個(gè)4×3的微分算子，其非零元素如下

(14)

同理，對(duì)應(yīng)的四個(gè)邊界力Nyx、Ny、Qyt、My可以寫成如下形式

t=T(u)

(15)

T的元素如下

(16)

(17)

(18)

(19)

基于波法，位移矩陣u的解可以假設(shè)為以下形式

u=αe-ikxx-ikyy+iωt

(20)

式中:ω為圓頻率;kx=kcosθ、ky=ksinθ分別為波數(shù)k在x和y方向的分量;θ為波的入射角;α為位移的復(fù)波幅向量。將式(20)代入平衡微分方程式(11)得

H(kx,ky,ω)α=0

(21)

H是一個(gè)3×3的矩陣，給定ω，可以計(jì)算出相應(yīng)的波數(shù)曲線。如圖4所示，曲線1，2代表彎曲波，曲線3代表剪切波，曲線4代表縱波(也叫拉壓波)。對(duì)層合柱殼只有當(dāng)ω增大到一定值時(shí)才會(huì)出現(xiàn)縱波，否則只存在剪切波和彎曲波。

2.2 耦合系統(tǒng)的能量傳遞系數(shù)

令λ=-iky，式(21)可以寫為

H(kx,λ,ω)α=0

(22)

由Snell定律可知，kimcosθim=kjncosθjn(m、n為結(jié)構(gòu)編號(hào)；i、j=1,2,3,4為圖4中波的編號(hào))，即每個(gè)子結(jié)構(gòu)中的波沿耦合邊界具有相同的運(yùn)動(dòng)，它們?cè)趚方向的波數(shù)分量kx相等。 當(dāng)給定ω和kx，沿y軸正向可以解出四個(gè)有效特征值λj，及對(duì)應(yīng)的四個(gè)特征向量αj。每個(gè)λj值對(duì)應(yīng)一個(gè)有效波，即位移受多個(gè)波場(chǎng)的影響，且每個(gè)λj所對(duì)應(yīng)的單位幅值的波的功率為

(23)

其中，Sj和Tj分別由式(14)和式(16)～(19)給出，式中?/?x由-ikx替代，?/?y由λj替代。一旦四個(gè)有效λj值確定，位移向量便可以寫成以下形式

(24)

式中:Aj對(duì)應(yīng)第j個(gè)有效波的幅值;A0為入射波的幅值;λ0,α0為入射波在式(22)中的解。聯(lián)立等式(13)和(14),則邊界位移可以寫成

d=P1A+d0

(25)

t=P2A+t0

(26)

聯(lián)立式(25)、(26)，邊界位移和力的關(guān)系式如下

(27)

式中:K為結(jié)構(gòu)的波動(dòng)剛度矩陣;f為入射波引起的動(dòng)力載荷。

在圖5所示的半無限層合板殼耦合系統(tǒng)中，第n個(gè)子系統(tǒng)在連接處的切線方向與全局坐標(biāo)軸yg的夾角為Φn，其局部坐標(biāo)系中的耦合處邊界位移為dn，邊界力為tn。 設(shè)全局坐標(biāo)系中連接處的位移dg，合力為tg。

圖5 半無限層合板殼耦合系統(tǒng)示意圖

根據(jù)耦合處位移連續(xù)性，dn與dg的轉(zhuǎn)換關(guān)系如下

(28)

(29)

式中,Rn為坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣。根據(jù)耦合處力的平衡可得

(30)

式中,N為耦合系統(tǒng)中子系統(tǒng)總數(shù)。根據(jù)式(27)可知tn=Kndn-fn。當(dāng)入射波作用在第m個(gè)子系統(tǒng)上時(shí)，式(30)可寫為

(31)

(32)

所以產(chǎn)生的各個(gè)波在傳遞時(shí)攜帶的能量為

(33)

式中,Pyj由式(23)給出。從而可以計(jì)算出入射波傳遞到結(jié)構(gòu)耦合處所產(chǎn)生的各個(gè)波的能量傳遞系數(shù)為

τijmn=Pijmn/Pim

(34)

式中:Pim為在結(jié)構(gòu)m中入射i型波的功率;Pijmn為結(jié)構(gòu)m中的i型波傳遞到結(jié)構(gòu)n中產(chǎn)生j型波的功率。當(dāng)m≠n時(shí)，τijmn表示結(jié)構(gòu)m中的i型波傳遞到結(jié)構(gòu)n中產(chǎn)生j型波的能量透射系數(shù)；當(dāng)m=n時(shí)，τijmm表示結(jié)構(gòu)m中的i型波經(jīng)過耦合處反射到結(jié)構(gòu)m中產(chǎn)生j型波的能量反射系數(shù)。所有的能量傳遞系數(shù)總和為1。

2.3 耦合損耗因子CLF

式(23)代表波沿y方向傳播的功率流，同理可以計(jì)算出波沿x方向傳播的功率流Pxj。所以能量傳播角為

θe=arctan(Pyj/Pxj)

(35)

又總能量密度

(36)

所以波群速度為

(37)

方向?yàn)椴〝?shù)曲線的外法線方向，如圖6所示。

圖6 波與能量的傳播方向

群速度在y方向和θ方向的投影分別為

cgy=cgsinθe,cgθ=cgcos(θ-θe)

(38)

對(duì)于面積為L(zhǎng)x×Ly的層合板殼結(jié)構(gòu)，每個(gè)模態(tài)頻率對(duì)應(yīng)的網(wǎng)格面積為π2/(LxLy)，所以圖6所示波數(shù)曲線與坐標(biāo)軸圍成的面積包含的模態(tài)數(shù)為

(39)

模態(tài)密度為

(40)

又波速c=ω/k，式(38)中θ方向的波群速度也可以由cgθ=dω/dk得到，所以式(40)可變換為如下形式

(41)

所以給定ω時(shí)，模態(tài)密度隨入射角的變化為

(42)

相應(yīng)的模態(tài)能量為

(43)

式中，E為結(jié)構(gòu)振動(dòng)總能量。所以在整個(gè)耦合邊界上，由結(jié)構(gòu)m中入射i型波傳遞到結(jié)構(gòu)n中轉(zhuǎn)換為j型波的總能量流為

(44)

式中,Ljunction為耦合邊界的長(zhǎng)度。

在SEA理論中，qijmn=ηijmnωEim，ηijmn為耦合損耗因子。所以，對(duì)于圖5所示的線耦合結(jié)構(gòu)，由式(44)可計(jì)算出能量傳遞系數(shù)和耦合損耗因子之間存在如下關(guān)系

(45)

式中,τijmn由式(34)給出。

當(dāng)我們將能量傳遞系數(shù)應(yīng)用于耦合系統(tǒng)的能量預(yù)報(bào)時(shí)，基于混響場(chǎng)假設(shè)需要對(duì)能量傳遞系數(shù)進(jìn)行如下平均

(46)

當(dāng)材料為各向同性時(shí)，式(46)便可簡(jiǎn)化為我們常見的標(biāo)準(zhǔn)各向同性混響場(chǎng)平均傳遞系數(shù)計(jì)算公式

(47)

3 數(shù)值算例分析

3.1 頻散曲線

以石墨/環(huán)氧樹脂復(fù)合材料為例，其材料參數(shù)如表1所示。計(jì)算圖3所示的層合柱殼的頻散曲線并與Ghinet的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比驗(yàn)證。各層材料方向角:[0°/45°/-45°/90°/-45°/45°/0°]。每層材料厚度為2 mm，單曲率環(huán)向開敞層合柱殼的曲率半徑為2 m。厚徑比為0.007，小于0.05，可視為薄殼。

表1 石墨/環(huán)氧復(fù)合材料參數(shù)

(a) θ=0°

3.2 模態(tài)密度

本節(jié)以三層碳纖維/環(huán)氧樹脂復(fù)合材料為例(每層鋪設(shè)角度如圖8所示)，其材料參數(shù)如表2所示。分別就層合板和環(huán)向開敞層合柱殼的模態(tài)密度進(jìn)行計(jì)算，并討論兩者的異同之處。每層材料厚度為1 mm,面積為1 m×1 m,柱殼的厚徑比為0.01。

圖8 三層碳纖維/環(huán)氧方向示意圖

表2 碳纖維/環(huán)氧復(fù)合材料參數(shù)

圖9中，在頻率較低時(shí)，環(huán)向開敞層合柱殼的彎曲波與剪切波模態(tài)密度要比相同表面積和厚度的層合板小，此時(shí)層合柱殼不存在縱波。曲率的引入相當(dāng)于增大了層合柱殼的剛度，使得其模態(tài)數(shù)減少，即出現(xiàn)曲率的剛化效應(yīng)，這與各向同性柱殼的特性類似。

(a) 彎曲波

隨著頻率增加，層合柱殼的彎曲波及剪切波模態(tài)密度也隨之急劇增加，并超過相對(duì)應(yīng)的層合板模態(tài)密度。當(dāng)頻率增大至環(huán)頻率fr=1 698 Hz時(shí)，層合柱殼的縱波開始出現(xiàn)，且遠(yuǎn)大于層合板的縱波模態(tài)密度。在環(huán)頻率fr附近層合柱殼的彎曲波和剪切波模態(tài)密度出現(xiàn)峰值，此后層合柱殼的模態(tài)密度開始向?qū)雍习暹^渡，隨著頻率的增大兩者趨于一致。對(duì)于層合板的彎曲波，其模態(tài)密度基本不隨頻率變化，保持在0.041 67 (rad·s-1)-1,而層合板的面內(nèi)剪切波和縱波模態(tài)密度則隨頻率呈線性增加，即式(41)中對(duì)應(yīng)的面內(nèi)波速度與群速度的乘積關(guān)于入射角的積分在頻率增大到一定值后開始收斂。此外，從以上三個(gè)對(duì)比結(jié)果來看，曲率半徑對(duì)剪切波的影響相較彎曲波和縱波小。

3.3 能量傳遞系數(shù)

以層合板與環(huán)向開敞層合柱殼沿x軸耦合為例，計(jì)算在層合板上分別入射彎曲波、剪切波、縱波時(shí)的能量傳遞系數(shù),如圖10所示。耦合角度φ=90°，φ=|Φm-Φn|，結(jié)構(gòu)都為三層碳纖維/環(huán)氧樹脂復(fù)合材料，每層材料厚度為1 mm，材料方向角為[0°/90°/0°]，結(jié)構(gòu)2的厚徑比為0.01。激勵(lì)頻率4 000 Hz，結(jié)構(gòu)1，2的波數(shù)曲線分別如圖11和圖12所示。兩個(gè)結(jié)構(gòu)的臨界值kx1、kx2基本重合，kx1=3.252 3為縱波的臨界值，kx2=11.930 8為剪切波的臨界值。kx4為結(jié)構(gòu)2彎曲波在x方向的最大波數(shù)值，即曲線1，2的分界點(diǎn)。能量傳遞系數(shù)隨kx的變化情況如圖13所示。

圖10 層合板殼耦合系統(tǒng)

圖11 結(jié)構(gòu)1的波數(shù)曲線

圖12 結(jié)構(gòu)2的波數(shù)曲線

(a) 入射彎曲波

圖13(a)中入射波為彎曲波，為方便起見，采用雙y軸坐標(biāo)進(jìn)行繪圖，后續(xù)部分繪圖亦如此。f1、f2分別為圖12中結(jié)構(gòu)2的彎曲波1、2。當(dāng)kx接近kx1(θ=88.13°)時(shí)，縱波的透射和反射能量系數(shù)τfl12、τfl11快速衰減并在kx1處完全終止，而彎曲波能量系數(shù)處于相對(duì)平穩(wěn)狀態(tài)。與此同時(shí)開始發(fā)生彎曲波向剪切波的波型轉(zhuǎn)換，并隨著kx的增大這種波型轉(zhuǎn)換逐漸增強(qiáng)。當(dāng)kx增大到kx2(θ=83.09°)時(shí)，剪切波終止，僅反射和透射彎曲波，且反射強(qiáng)于透射。當(dāng)kx為kx3=45.496 8(θ=58.16°)時(shí)，對(duì)應(yīng)兩個(gè)不同的ky，即開始在兩個(gè)不同的方向同時(shí)透射彎曲波τff112、τff212(當(dāng)頻率較大時(shí)不發(fā)生此現(xiàn)象)。在kx4=52.798 7(θ=42.87°)以后，不發(fā)生透射，為全反射狀態(tài)。

圖13(b)中入射波為剪切波，當(dāng)kx

圖13(c)中入射波為縱波，可以發(fā)現(xiàn)整體上反射回層合板內(nèi)的縱波占主導(dǎo)地位。當(dāng)入射角較大時(shí)，透射波以彎曲波為主，在很大范圍內(nèi)維持平穩(wěn)。彎曲波的反射系數(shù)與透射系數(shù)變化規(guī)律一致，但從右側(cè)坐標(biāo)刻度可以看出彎曲波反射系數(shù)很小。隨著kx的增大，反射的縱波逐漸衰減，當(dāng)kx>3后，反射回層合板內(nèi)的剪切波、透射到層合柱殼內(nèi)的剪切波和縱波先后到達(dá)峰值，且峰值點(diǎn)依次增大。另一方面，也反映出當(dāng)入射角較小時(shí)，透射能量占比較大，以面內(nèi)波能量為主。

從圖14中可以看到能量傳遞系數(shù)之間滿足互易性，即τijmn=τjinm。

圖14 能量傳遞系數(shù)滿足互易性

綜上所述，對(duì)于耦合角度為90°且材料相同的層合板殼耦合系統(tǒng)，在連接處波的能量反射強(qiáng)于透射。另外，可以發(fā)現(xiàn)三個(gè)圖中的能量傳遞系數(shù)總和恒為1，滿足保守耦合系統(tǒng)的能量守恒，這從側(cè)面證明了計(jì)算的正確性，且能量傳遞系數(shù)滿足互易性。

將圖10所示耦合結(jié)構(gòu)的材料退化為鋁合金進(jìn)行計(jì)算，鋁合金參數(shù)如表3所示。所得結(jié)果如圖15所示，這與Langley的計(jì)算結(jié)果圖10完全一致。

表3 鋁合金材料參數(shù)

圖15 在結(jié)構(gòu)1上入射彎曲波，ω=3 076.8 rad/s

本文還計(jì)算了如圖16所示三結(jié)構(gòu)耦合的情況，結(jié)構(gòu)材料及厚度與圖10所示的算例一致。激勵(lì)頻率為4 000 Hz，以在結(jié)構(gòu)1上輸入彎曲波為例，對(duì)各子系統(tǒng)間的能量傳遞系數(shù)進(jìn)行計(jì)算。如圖17所示，能量傳遞系數(shù)總和恒為1，同樣滿足了保守耦合系統(tǒng)的能量守恒。

圖16 三結(jié)構(gòu)耦合

圖17 能量傳遞系數(shù)

3.4 耦合角度和激勵(lì)頻率對(duì)CLF的影響

本節(jié)在3.3節(jié)分析的基礎(chǔ)上計(jì)算系統(tǒng)的耦合損耗因子，層合板和柱殼的面積尺寸均為1 m×1 m，分別討論其隨耦合角度和頻率的變化。

圖18為耦合損耗因子隨耦合角度的變化，頻率為4 000 Hz。如圖18(a)所示入射波為彎曲波，以ηff11和ηff112為主。當(dāng)φ≤15.75°和φ≥150.8°時(shí)，ηff11隨耦合角的增大而減小，當(dāng)15.75°<φ<150.8°時(shí)，ηff11整體趨勢(shì)單調(diào)遞增，透射到層合柱殼中的彎曲波耦合損耗因子ηff112變化情況則與之相反。并且在此頻率下，出現(xiàn)彎曲波多角度透射，ηff212分別在耦合角φ=4.5°、171°出現(xiàn)峰值，耦合角接近90°時(shí)，其值較小。此外與面內(nèi)剪切波、縱波對(duì)應(yīng)的耦合損耗因子占比很小，剪切波的透反射耦合損耗因子ηfs12、ηfs11大于縱波的ηfl12、ηfl11，在0°～180°間都出現(xiàn)三個(gè)極值點(diǎn)，且在0°～180°值為0。

(a) 入射彎曲波

如圖18(b)所示，入射剪切波時(shí)，以ηss11和ηss12為主。 隨著耦合角度的增加ηss12先急劇下降后緩慢增加，在61.2°到達(dá)最小值，在180°值最大，此時(shí)除ηss11外其余耦合損耗因子近似為0。耦合角度為0°時(shí)，面內(nèi)波之間存在波型轉(zhuǎn)換，不存在面內(nèi)波到離面彎曲波的轉(zhuǎn)換。隨著耦合角度的增加，ηsl12逐漸減小至0，ηsl11占比最小，ηss11先增后減在28.8°～133.2°之間占比最大，ηsf11、ηsf112存在兩個(gè)波峰，且先后在75.6°和79.2°達(dá)到最低。

如圖18(c)所示，入射縱波時(shí)，可以發(fā)現(xiàn)各耦合損耗因子的變換情況與入射剪切波時(shí)類似，當(dāng)φ≤18°和φ≥147.6°時(shí)以ηll12為主，其余耦合角度以ηll11為主，且ηlf112較大占比僅次于ηll11。

另外還發(fā)現(xiàn)無論耦合角度如何變化耦合損耗因子的總和都恒為定值，且入射彎曲波時(shí)耦合損耗因子比入射剪切波及縱波時(shí)小，即入射彎曲波時(shí)層合板殼之間的耦合作用明顯弱于入射面內(nèi)波時(shí)的情況，這與各向同性材料耦合結(jié)構(gòu)的規(guī)律一致。

圖19給出耦合損耗因子隨激勵(lì)頻率的變化，耦合角度φ=90°保持不變。從圖19三個(gè)結(jié)果圖來看，耦合損耗因子變化較為復(fù)雜的區(qū)域大致集中在5 000 Hz以前，且在這區(qū)域多數(shù)占比較大的耦合損耗因子衰減較快，在5 000 Hz以后衰減較為緩慢。當(dāng)頻率低于環(huán)向開敞層合柱殼的環(huán)頻率fr=3 032.5 Hz時(shí)，不存在透射的縱波耦合損耗因子。

如圖19(a)入射彎曲波時(shí)，當(dāng)頻率大于fr時(shí)，ηfl12開始出現(xiàn)隨后趨于穩(wěn)定，ηfs12也開始出現(xiàn)，并在6 760 Hz處出現(xiàn)突變，隨后緩慢遞減。ηfl11基本保持恒定值，ηff212存在較大波動(dòng)且主要集中在環(huán)頻率之前。總體上以彎曲波的透反射耦合損耗因子ηff11和ηff112為主，且ηff11占比最大。

入射剪切波時(shí)，如圖19(b)所示，主要以ηss11、ηss12、ηsf112為主，且反射的耦合損耗因子占比同樣大于透射。入射縱波時(shí)，如圖19(c)所示，ηll11全程占主導(dǎo)地位。入射面內(nèi)波時(shí)，耦合損耗因子的曲線較為光滑，而入射彎曲波時(shí)，曲線存在波折。

整體而言無論入射何種波，耦合損耗因子總和伴隨頻率增大而逐漸衰減，頻率越大衰減越緩慢。簡(jiǎn)言之，頻率越大子系統(tǒng)間的耦合作用越弱，且入射彎曲波時(shí)層合板殼之間的耦合作用同樣明顯弱于入射面內(nèi)波時(shí)，這同樣與各向同性材料耦合結(jié)構(gòu)的規(guī)律一致。

3.5 不同鋪設(shè)方式對(duì)能量總透射系數(shù)的影響

前文已對(duì)各種波的能量傳遞系數(shù)進(jìn)行了詳細(xì)討論，故本節(jié)重點(diǎn)分析鋪設(shè)方式對(duì)總的能量傳遞的影響。同樣以3.3節(jié)中層合板與環(huán)向開敞層合柱殼90°耦合為例，設(shè)置結(jié)構(gòu)1的材料鋪設(shè)角度為[0°/0°/0°]保持不變。分別入射彎曲波、剪切波和縱波，探究結(jié)構(gòu)2在不同鋪設(shè)方式下對(duì)能量總透射系數(shù)的影響。結(jié)構(gòu)1為三層碳纖維/環(huán)氧樹脂復(fù)合材料，結(jié)構(gòu)2為四層碳纖維/環(huán)氧樹脂復(fù)合材料，選擇對(duì)稱鋪設(shè)為[α/-α/-α/α],反對(duì)稱鋪設(shè)為[α/-α/α/-α]，鋪設(shè)角度為45°，每層材料厚度都為1 mm。

圖20～圖22計(jì)算了兩種鋪設(shè)方式下，三種入射波的能量總透射系數(shù)。從圖中可以發(fā)現(xiàn)，雖然不同鋪設(shè)方式對(duì)彎曲波能量的透射較面內(nèi)剪切波和縱波的影響略大，但兩種鋪設(shè)方式的計(jì)算結(jié)果整體來看相差甚小，即能量總透射系數(shù)對(duì)鋪設(shè)方式的敏感度較低。計(jì)算還表明，鋪設(shè)角度為30°和60°時(shí)的計(jì)算結(jié)果與45°結(jié)果的規(guī)律相同。

4 結(jié) 論

本文以正交各向異性層合板和柱殼為研究對(duì)象，基于薄殼和層合板理論推導(dǎo)了位移為基本變量的平衡微分方程，通過計(jì)算環(huán)向開敞層合柱殼的頻散曲線與已有研究進(jìn)行對(duì)比，驗(yàn)證本文理論推導(dǎo)的正確性。然后根據(jù)波動(dòng)剛度矩陣方法對(duì)耦合系統(tǒng)間的能量傳遞系數(shù)進(jìn)行求解，并結(jié)合模態(tài)密度推導(dǎo)耦合處的耦合損耗因子(CLF)。數(shù)值算例分析表明：

(1) 在頻率較低時(shí)，曲率的引入相當(dāng)于增大了層合柱殼的剛度，使得其模態(tài)數(shù)減少，即出現(xiàn)曲率的剛化效應(yīng)。但在環(huán)頻率以后，隨著頻率的增大層合板與柱殼的模態(tài)密度趨于一致。此外曲率半徑對(duì)剪切波的影響相較彎曲波和縱波小。

(2) 能量傳遞系數(shù)總和恒為1，滿足保守耦合系統(tǒng)的能量守恒，且能量傳遞系數(shù)具有互易性。對(duì)于材料相同的層合板殼90°耦合系統(tǒng)，在連接處波的能量反射強(qiáng)于透射。此外發(fā)現(xiàn)能量總透射系數(shù)對(duì)鋪設(shè)方式的敏感度較低。

(3) 耦合損耗因子CLF的總和不受耦合角度影響，且隨頻率增大而逐漸衰減，當(dāng)入射彎曲波時(shí)耦合損耗因子比入射剪切波及縱波時(shí)小，即入射彎曲波時(shí)層合板殼之間的耦合作用明顯弱于入射面內(nèi)波的時(shí)候。