非線性調(diào)頻信號激勵下非線性系統(tǒng)的最優(yōu)共振響應*

宮濤 楊建華 單振 王志樂 劉后廣

(中國礦業(yè)大學機電工程學院,江蘇省礦山機電裝備重點實驗室,徐州 221116)

非線性調(diào)頻(NLFM)信號在雷達、通信、信號處理中應用廣泛,該類信號所激勵下的非線性系統(tǒng)響應有著豐富的信息,通過共振來增強NLFM 信號具有一定實際意義與價值.本文主要研究了受到不同類型NLFM信號所激勵的非線性系統(tǒng)共振現(xiàn)象,提出了實時尺度變換方法來處理高頻NLFM 信號,克服人為選擇造成信號輸出響應較差的缺點.同時,提出實時譜放大因子作為共振評價指標,準確評價NLFM 信號激勵下的系統(tǒng)共振響應,討論系統(tǒng)參數(shù)對系統(tǒng)最優(yōu)共振響應的影響,參數(shù)選擇在合理的區(qū)間內(nèi)即可實現(xiàn)最優(yōu)共振響應,不僅實現(xiàn)信號特征的大幅增強,還保持信號時頻特征的連續(xù)性.最后,將實時尺度變換方法和固定尺度變換方法進行對比,說明所提方法處理NLFM 信號的優(yōu)越性.

1 引言

共振是系統(tǒng)響應中一種典型的動力學現(xiàn)象.通常來講,對于簡諧激勵,當外激勵頻率接近于振動系統(tǒng)固有頻率時會發(fā)生共振現(xiàn)象,此時系統(tǒng)振動振幅會急劇增強.不同于傳統(tǒng)意義的共振,隨機共振(stochastic resonance,SR)[1]、振動共振(vibrational resonance,VR)[2]得到廣泛研究,利用其獨特的動力學特性可以增強微弱的信號.其中隨機共振是在微弱低頻信號、噪聲和非線性系統(tǒng)協(xié)同作用下使得系統(tǒng)輸出得到顯著增強的一種動力學現(xiàn)象,最初由意大利學者Benzi 提出[3],之后在信號處理中得到廣泛應用[4-6].隨機共振發(fā)生的基本條件是輸入的微弱信號滿足小參數(shù)條件,即信號頻率遠小于1.而實際中的信號大部分不滿足小參數(shù)條件,為了實現(xiàn)大參數(shù)信號的隨機共振,一些尺度變換方法被引入,比如二次采樣[7]、頻移尺度變換[8]、歸一化尺度變換[9]、普通尺度變換[10].振動共振與隨機共振類似,區(qū)別是輸入的噪聲被高頻輔助信號代替,尺度變換方法與隨機共振的方法一致.而單個信號激勵下的系統(tǒng)共振[11]是指不需要輔助信號,依靠系統(tǒng)參數(shù)變化實現(xiàn)系統(tǒng)輸出增強的一種現(xiàn)象,該現(xiàn)象有一定實際意義與價值,在信號增強方面,無需額外的高頻輔助信號、噪聲即可實現(xiàn)信號的增強,操作方便,實現(xiàn)過程簡單.

在信號處理領(lǐng)域,利用共振現(xiàn)象來增強不同類型的信號具有獨特的優(yōu)勢,相較于其他信號處理算法,如經(jīng)驗模態(tài)分解[12]、變分模態(tài)分解[13]、小波變換[14]、信號濾波[15]等方法,該類方法不僅可以增強信號,而且可以有效抑制干擾噪聲.因此,基于共振的方法在信號處理中應用廣泛.許多學者利用最優(yōu)共振現(xiàn)象來增強和處理各類信號,比如簡諧信號[16]、非周期二進制信號[17]、M-ary 信號[18]、頻率調(diào)制(frequency modulation,FM)信號[19,20]等.其中FM 信號在雷達[21]、通信[22]、信號處理[23]中應用廣泛,該類信號的特點是頻率受到調(diào)制,按照其瞬時頻率變化的規(guī)律主要分為線性調(diào)頻(linear frequency modulation,LFM)信號和非線性調(diào)頻(nonlinear frequency modulation,NLFM)信號,目前已有一些LFM 信號激勵下的非線性系統(tǒng)動力學行為的研究,但是針對NLFM 信號的相關(guān)研究很少,考慮到NLFM 信號[24-26]廣泛存在,如何實現(xiàn)NLFM 信號最優(yōu)共振增強效果及NLFM 信號激勵下的非線性系統(tǒng)最優(yōu)共振響應的研究是一個有實際意義與價值的問題.

目前關(guān)于系統(tǒng)共振的研究,主要針對周期信號,其信號頻率固定,通過尺度變換方法即可滿足共振的小參數(shù)要求,調(diào)整合適的系統(tǒng)參數(shù)可實現(xiàn)最優(yōu)共振響應.但是對于復雜NLFM 信號,其頻率隨時間非線性變化,此類信號的頻率變化復雜,信號在頻譜圖中表現(xiàn)為連續(xù)頻帶,而且之前所用的尺度變換方法沒有考慮頻率的變化性,采用傅里葉變換方法無法準確描述信號特征,需要借助一些時頻分析方法來描述.因此,針對NLFM 信號激勵下的最優(yōu)共振響應研究具有一定的難度與復雜性,采用的技術(shù)較周期信號的研究也更為復雜,采用固定尺度系數(shù)的尺度變換方法來處理NLFM 信號顯然不能滿足要求,無法實現(xiàn)最優(yōu)參數(shù)匹配,系統(tǒng)輸出響應效果較差.同時,NLFM 信號激勵下的系統(tǒng)共振響應有一定的理論研究價值,對于實現(xiàn)NLFM 信號增強有一定的意義.基于此,本文研究了NLFM 信號激勵下的非線性系統(tǒng)最優(yōu)共振響應,提出了一種時變尺度系統(tǒng)共振方法有效實現(xiàn)復雜NLFM 信號的增強.該方法的基本原理是利用實時變化的尺度系數(shù)來匹配瞬時頻率變化的NLFM 信號和系統(tǒng)參數(shù),以盡量保證在每一時刻信號的瞬時頻率滿足最優(yōu)小參數(shù)條件,通過調(diào)整系統(tǒng)參數(shù)和尺度系數(shù)實現(xiàn)最優(yōu)共振響應.

本文提出了時變尺度系統(tǒng)共振理論,同時定義了新的共振評價指標-實時譜放大因子,可有效評價NLFM 信號的共振增強效果;處理了兩類典型的NLFM 信號,研究了相關(guān)參數(shù)對最優(yōu)共振響應的影響,在保證信號時頻特征連續(xù)性的同時,實現(xiàn)了信號的共振增強,與固定尺度變換方法相比,本文所提方法克服了尺度系數(shù)選擇人為性造成信號增強效果較差的缺點.

2 時變尺度系統(tǒng)共振理論

一種時變雙穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)共振模型的動力學方程表示如下:

其中a(t),b(t)分別為時變系統(tǒng)參數(shù) (a(t),b(t)?1),系統(tǒng)為雙穩(wěn)態(tài)系統(tǒng).x(t) 為系統(tǒng)的輸出,s(t) 為輸入的NLFM 信號.NLFM 信號s(t) 的瞬時頻率f(t)隨時間不斷變化,為實現(xiàn)尺度系數(shù)與信號s(t)及系統(tǒng)參數(shù)a(t),b(t)相匹配,引入時變尺度系數(shù)β(t),表達式為

其中β0為尺度系數(shù)常數(shù),f1(t)為s(t)的瞬時頻率f(t)的離散化表示,β(t) 滿足條件β(t)?1.同時,系統(tǒng)參數(shù)a(t),b(t)與時變尺度系數(shù)β(t)滿足以下關(guān)系:

其中a1?1,b1?1,(5)式滿足系統(tǒng)共振小參數(shù)條件.(5)式相較(1)式,NLFM 信號s(t)幅值縮小到1/β(t),將(5)式的NLFM 信號幅值乘以β(t),變?yōu)?/p>

若系統(tǒng)共振發(fā)生在(6)式中,則系統(tǒng)共振也發(fā)生在(7)式中:

(7)式為一個大參數(shù)共振模型,可檢測任意大頻率的信號.

譜放大因子是經(jīng)典的共振性能評價指標,針對NLFM 信號,信號的瞬時頻率非線性變化,利用譜放大因子難以刻畫NLFM 信號的共振效果.因此,本文定義了一種實時譜放大因子η來刻畫NLFM信號激勵下的系統(tǒng)共振效果,如下式:

其中η為系統(tǒng)輸出的特征頻帶的放大程度,N為總數(shù)據(jù)點數(shù),M為頻率曲線f(t) 兩側(cè)的頻帶寬度m對應數(shù)據(jù)點數(shù),X(·) 和S(·) 分別為輸入信號和輸出信號的離散短時傅里葉變換譜值,p(f(ti)) 為ti時刻信號的瞬時頻率處點的位置.核心是在STFT 頻譜上定義譜放大因子,將輸出信號STFT 頻譜圖中信號時頻一定范圍內(nèi)的能量之和與輸入NLFM 信號的時頻圖中脊線能量之比作為評價指標,綜合考慮NLFM 信號的時頻特征,描述系統(tǒng)的共振響應更準確、可靠.若η＞ 1,說明NLFM 信號被有效增強.

3 幾種不同NLFM 信號增強仿真分析

3.1 分段NLFM 信號

分段NLFM 信號較為典型,在機械設(shè)備信號處理中十分常見,由軸承、齒輪等零件經(jīng)過復雜路徑產(chǎn)生的信號為FM 信號,按照轉(zhuǎn)速變化的特征,會產(chǎn)生反映零件運行狀態(tài)的LFM 信號和NLFM信號.其中與分段NLFM 信號頻率特征相對應的信號也很常見,比如文獻[27,28]中這類轉(zhuǎn)速工況,礦井提升機運行的典型轉(zhuǎn)速工況為速度曲線線性上升-平穩(wěn)-線性下降,反映出提升過程是線性加速-穩(wěn)速-線性減速,這樣的轉(zhuǎn)速是人為控制的,關(guān)鍵部位的軸承故障特征信號均為此類分段NLFM 信號;流水線上的工業(yè)機器人的零件運行工況所產(chǎn)生的信號也為此類NLFM 信號,在故障診斷領(lǐng)域該類信號很常見,應用廣泛,此類信號具有一定的代表意義.

一種典型的分段NLFM 信號s1(t)的頻率f(t)隨時間變化的分段函數(shù)為

其中f0為起始頻率,γ為頻率變化率,t1,t2分別為頻率規(guī)律發(fā)生變化的時刻.對應余弦函數(shù)的NLFM信號s1(t)描述為

其中A為信號幅值,φ為初始相位,s1(t)的頻率變化規(guī)律為線性上升-不變-線性下降.

圖1 給出了該NLFM 信號的相關(guān)信息,圖1(a),(b)分別為信號的時域波形圖和STFT 頻譜圖,在STFT 頻譜圖中可以觀察到信號的頻率特征曲線在0—3 s 內(nèi)從0 Hz 增大到150 Hz,然后保持至7 s,最后降到0 Hz.

針對圖1 中的信號,圖2 分別給出了不同尺度系數(shù)下的系統(tǒng)輸出實時譜放大因子η隨系統(tǒng)參數(shù)a1的變化曲線,選取的固定尺度系數(shù)有β=β0×10,β0× 75,β0× 150,時變尺度系數(shù)有β=β0×f1(t),在固定尺度系數(shù)方法下的系統(tǒng)輸出實時譜放大因子η隨著尺度系數(shù)的增大而增強,在最大值處實現(xiàn)了NLFM 信號最優(yōu)系統(tǒng)共振響應.同時,在時變尺度系數(shù)方法下的系統(tǒng)輸出實時譜放大因子最大值ηmax比β=β0× 150 時的最大值略小,但是區(qū)別不大.

圖1 輸入的NLFM 信號 (a)時域波形圖;(b) STFT 頻譜圖 (仿真參數(shù)A=0.1,f0=0,γ=50,φ=0,t1=3,t2=10)Fig.1.The input NLFM signal:(a) The time domain waveform;(b) the STFT spectrum.The simulation parameters are A=0.1,f0=0,γ=50,φ=0,t1=3,t2=10.

圖2 不同尺度系數(shù)β=β0 × 10,β0 × 75,β0 × 150,β=β0 ×f1(t) 下的系統(tǒng)參數(shù)a1 與實時譜放大因子η 的關(guān)系圖(仿真參數(shù)為b1=1,β0=100,m=2)Fig.2.Curves of η-a1 are obtained under different scale coefficient β=β0 × 10,β0 × 75,β0 × 150,β=β0 ×f1(t).The simulation parameters are b1=1,β0=100,m=2.

為了探究系統(tǒng)參數(shù)對最優(yōu)共振響應的影響,圖3 給出了實時譜放大因子η與系統(tǒng)參數(shù)a1,b1的偽三維關(guān)系圖.其中η的大小表示共振響應的強弱程度,η值越大表示共振響應越強,在圖形中可以發(fā)現(xiàn)明顯的共振區(qū)域,在這個共振區(qū)域內(nèi)均可發(fā)生系統(tǒng)最優(yōu)共振響應,實現(xiàn)NLFM 信號增強.

圖3 實時譜放大因子η 與系統(tǒng)參數(shù)a1,b1 的關(guān)系圖 (仿真參數(shù)為m=2,β0=100)Fig.3.Contour plot of the real time spectral amplification factor η in the a1 -b1 plane.The simulation parameters are m=2,β0=100.

在圖2 中,當a1=0.32,b1=1 時,時變尺度方法對應的譜放大因子η取得最大值ηmax=6.4,與其對應的最優(yōu)系統(tǒng)共振響應如圖4 所示.圖4(a),(b)分別為響應的時域波形圖和STFT 頻譜圖,信號幅值得到明顯增強的同時保證了信號的連續(xù)性.

圖4 b1=1 時系統(tǒng)的共振輸出結(jié)果 (a) 時域波形圖;(b) STFT 頻譜圖(仿真參數(shù)為m=2,β0=100)Fig.4.The output response of system resonance when b1=1:(a) The time domain waveform;(b) the STFT spectrum.The simulation parameters are m=2,β0=100.

為說明時變尺度方法的必要性,將固定尺度系數(shù)變尺度方法和時變尺度系數(shù)變尺度方法的最優(yōu)輸出響應進行對比.本文選擇固定尺度系數(shù)為β=β0× 10,β0× 75,β0× 150,目的是模擬尺度系數(shù)較小、適中、較大的情況,尺度變換后信號的頻率變?yōu)閒(t)/β,在圖1 中f(t)的范圍為0 ≤f(t) ≤ 150,采用固定尺度系數(shù)變換后頻率范圍分別為0 ≤f(t)/(β0×10) ≤ (15/β0),0 ≤f(t)/(β0×75) ≤ (2/β0),0 ≤f(t)/(β0×150) ≤ (1/β0),尺度系數(shù)基數(shù)β0固定(文中取100),可以發(fā)現(xiàn)固定尺度系數(shù)為β0×10時,尺度變換后頻率達到0.15,此時雖然滿足系統(tǒng)共振小參數(shù)要求,但是沒有達到最優(yōu)輸出效果(見圖5),說明尺度變換后的頻率需要進一步降低;當尺度系數(shù)逐漸增大,尺度變換后的頻率逐漸減小,此時針對整個信號均可以滿足共振的小參數(shù)要求,實現(xiàn)最優(yōu)系統(tǒng)共振響應.

圖5 不同的固定尺度系數(shù)β 下的系統(tǒng)共振輸出結(jié)果 (a) β=β0 × 10 下系統(tǒng)輸出STFT 譜圖;(b) β=β0 ×10 下系統(tǒng)輸出時域波形圖;(c) β=β0 × 75 下系統(tǒng)輸出STFT 譜圖;(d) β=β0 × 75 下時域波形圖;(e) β=β0 ×150 下系統(tǒng)輸出STFT 譜圖;(f) β=β0 ×150 下時域波形圖 (仿真參數(shù)為β0=100)Fig.5.The output response of system resonance under different fixed scale coefficients β:(a) The output STFT spectrum under β=β0 × 10;(b) the output time domain waveform under β=β0 × 10;(c) the output STFT spectrum under β=β0 × 75;(d) the output time domain waveform under β=β0 × 75;(e) the output STFT spectrum under β=β0 × 150;(f) the output time domain waveform under β=β0 × 150.The simulation parameters are β0=100.

圖5 為不同固定尺度系數(shù)β下的最優(yōu)系統(tǒng)共振響應結(jié)果,當β=β0×10 時,系統(tǒng)最優(yōu)輸出響應變差,在圖5(a)中的信號幅值增強效果不顯著,圖5(b) 的時域波形圖中信號波形產(chǎn)生很大失真.當β分別為β0× 75,β0× 150 時,系統(tǒng)共振達到最優(yōu)輸出響應,與時變尺度方法下的最優(yōu)輸出響應區(qū)別不大.但是,固定尺度系數(shù)下系統(tǒng)最優(yōu)響應依賴于人為選擇的尺度系數(shù),一旦參數(shù)選擇不理想,共振輸出響應會變得很差,而時變尺度方法將系數(shù)定為NLFM 信號的離散化頻率f1(t),克服了人為選擇造成的系數(shù)最優(yōu)輸出響應不穩(wěn)定的缺點.

3.2 調(diào)幅-調(diào)頻NLFM 信號

在信號處理中,由正弦信號頻率調(diào)制和幅值調(diào)制的信號也是一種典型的NLFM 信號,該類信號特點是瞬時頻率隨時間波動,變化規(guī)律復雜,研究這類信號最優(yōu)系統(tǒng)共振響應及增強具有重要意義.因此,根據(jù)文獻[29],本文構(gòu)造了一種調(diào)幅-調(diào)頻的NLFM 仿真信號,如 (11) 式所示:

該仿真信號受到正弦幅值、雙正弦頻率調(diào)制,如圖6所示.圖6(a),(b) 分別為該信號的時域波形圖和STFT 頻譜圖,不同時刻信號的幅值發(fā)生變化,頻率也發(fā)生變化,頻率分布在10—75 Hz.黑色實線為NLFM 信號通過Hilbert 變換相位提取的瞬時頻率曲線,與時頻特征曲線相一致.對于此類NLFM信號而言,固定尺度變換方法不適用.

圖6 輸入的NLFM 信號 (a) 時域波形圖;(b) STFT 時頻圖Fig.6.The input NLFM signal:(a) The time domain waveform;(b) the STFT spectrum.

圖7 為a1=0.01 時不同尺度系數(shù)下實時譜放大因子η與系統(tǒng)參數(shù)b1的關(guān)系圖,在不同的尺度系數(shù)下,隨著b1的增大,η表現(xiàn)出先增大后減小的規(guī)律.對于時變尺度系數(shù)β=β0×f1(t),當b1=0.0001,a1=0.01 時,實時譜放大因子最大為101.1.對于固定尺度系數(shù)的情況,僅從數(shù)值上來看,其譜放大因子既可能比對應的實時尺度系數(shù)下共振輸出結(jié)果小,也可能比其大.

圖7 不同尺度系數(shù)下的實時譜放大因子η 與系統(tǒng)參數(shù)b1 關(guān)系圖 (仿真參數(shù)為a1=0.01,m=5,β0=1000)Fig.7.Curves of η-b1 are obtained under different scale coefficients.The simulation parameters are a1=0.01,m=5,β0=1000.

在時變尺度方法處理下,其對應的最優(yōu)輸出信號如圖8 所示.圖8(a),(b) 分別為最優(yōu)系統(tǒng)共振響應時域波形圖和STFT 頻譜圖,信號幅值大幅增強,同時保證信號時頻特征的連續(xù)性.需要說明的是在圖8(b)中短時傅里葉譜能量計算范圍,黑色實線包圍區(qū)間表示響應信號的能量計算區(qū)間,該區(qū)間內(nèi)所有STFT 能量值之和作為輸出譜能量,輸入信號譜能量為NLFM 信號頻率曲線上STFT能量值之和.

圖8 時變尺度系數(shù)下最優(yōu)共振輸出結(jié)果 (a) 時域波形圖;(b) STFT 頻譜圖 (仿真參數(shù)為m=5,β0=1000)Fig.8.The output response of optimal resonance:(a) The time domain waveform;(b) the STFT spectrum.The simulation parameters are m=5,β0=1000.

雖然在圖7 實時譜放大因子η與系統(tǒng)參數(shù)b1的關(guān)系圖中,固定的尺度系數(shù)所導致的共振結(jié)果η(β=β0×40,β0×75)有的比時變尺度系數(shù)共振結(jié)果的η大,最優(yōu)共振結(jié)果如圖9 所示,但是固定尺度變換方法處理后的NLFM 信號的連續(xù)性很差,能量發(fā)散現(xiàn)象嚴重,遠沒有時變尺度共振效果好.

圖9 不同固定尺度系數(shù)β 下共振響應 (a) β=β0 × 10 下輸出STFT 譜圖;(b) β=β0 × 10 下輸出時域波形圖;(c) β=β0 ×40 下輸出STFT 譜圖;(d) β=β0 × 40 下輸出時域波形圖;(e) β=β0 × 75 下輸出STFT 譜圖;(f) β=β0 × 75 下輸出時域波形圖Fig.9.The resonance response under different fixed scale coefficient β:(a) The output STFT spectrum under β=β0 × 10;(b) the output time domain waveform under β=β0 × 10;(c) the output STFT spectrum under β=β0 × 40;(d) the output time domain waveform under β=β0 × 40;(e) the output STFT spectrum under β=β0 × 75;(f) the output time domain waveform under β=β0 × 75.

4 結(jié)論

1) 針對傳統(tǒng)的尺度變換方法不能匹配NLFM信號的時變頻率特征的問題,提出了隨信號瞬時頻率變化而變化的時變尺度共振方法,以實現(xiàn)每一時刻的最優(yōu)共振響應,進而增強NLFM 信號.

2) 針對傳統(tǒng)的共振效果評價指標-譜放大因子在NLFM 信號激勵下的系統(tǒng)共振響應評價方面存在一定局限性,定義了新的指標-實時譜放大因子,可準確評價NLFM 信號激勵下系統(tǒng)共振響應,同時保證了系統(tǒng)輸出信號時頻特征連續(xù)性.

3) 研究了非線性系統(tǒng)參數(shù)對共振輸出響應的影響,指出最優(yōu)共振響應發(fā)生在明顯的共振帶上,選擇位于共振帶的系統(tǒng)參數(shù)即可實現(xiàn)最優(yōu)非線性系統(tǒng)共振輸出,實現(xiàn)對NLFM 信號的增強.

本文實現(xiàn)了NLFM 信號的最優(yōu)非線性系統(tǒng)共振響應,為NLFM 信號增強及檢測提供參考,在信號增強方面有一定的實際意義與價值.同時,給出了NLFM 信號激勵下系統(tǒng)最優(yōu)輸出響應的相關(guān)影響規(guī)律,對研究復雜信號激勵下的系統(tǒng)動力學行為有一定的參考價值.