管段沿線流量簡化前后水頭和流行時(shí)間差異性分析

李樹平

（同濟(jì)大學(xué) 環(huán)境科學(xué)與工程學(xué)院，上海 200092）

給水管網(wǎng)建模中，管網(wǎng)簡化是不可避免的。通過簡化，可以減少模型開發(fā)和維護(hù)工作量，提高運(yùn)行效率。相同直徑、材料和埋設(shè)年代的串聯(lián)管道合并是常用簡化方法之一。當(dāng)中間節(jié)點(diǎn)有需水量的多段串聯(lián)管道簡化為單一管段時(shí)，中間節(jié)點(diǎn)需水量稱作管段的沿線流量。這些沿線流量在管網(wǎng)建模中，常集中分配到管段的上端節(jié)點(diǎn)和下端節(jié)點(diǎn)，采用的方法是將沿線流量均分到兩端節(jié)點(diǎn)［1-2］。這種沿線流量均分方法優(yōu)點(diǎn)是簡單、易于操作，尤其在管段方向不定的情況下；缺點(diǎn)是在管段兩端節(jié)點(diǎn)分配流量后，引起的管段水頭損失與合并前在沿線流量下引起的管段水頭損失具有差異性。

因此，在管線沿線流量簡化處理中，需要解決管段沿線流量按怎樣的分配比例，才可滿足水力等效性的問題。針對該問題，1988年Hamberg等［3］利用謝才-曼寧公式，討論了管線中間單點(diǎn)出流量、等間距多點(diǎn)出流量下流量簡化處理問題。2013年Izquierdo等［4］利用達(dá)西-魏斯巴赫公式討論了管線內(nèi)等間距等出流的流量簡化處理及水力坡度線特征。

已有文獻(xiàn)很少結(jié)合給水管網(wǎng)管段沿線流量簡化處理討論管段內(nèi)水流時(shí)間的變化。通常管段內(nèi)水流時(shí)間越長，管段內(nèi)水質(zhì)越可能變差。此外，隨著給水管網(wǎng)水力模擬的技術(shù)進(jìn)步，希望計(jì)算的節(jié)點(diǎn)水頭和管段流速應(yīng)更接近實(shí)際情況。因此需要從理論上分析給水管網(wǎng)管段沿線流量簡化處理后帶來的影響。本研究首先分析管段內(nèi)一般沿線流量簡化處理前后的水頭與流行時(shí)間，然后分析管段內(nèi)均勻出流的流量簡化處理前后的水頭與流行時(shí)間。

1 管段內(nèi)一般沿線流量簡化

1.1 管道沿線水頭與流行時(shí)間

給水管網(wǎng)管道沿程水頭損失公式和水流時(shí)間計(jì)算公式分別為［5］

式（1）、（2）中：hf為管道沿程水頭損失，m；t為管道內(nèi)水流時(shí)間，s；k、n、m為參數(shù)，不同計(jì)算公式對應(yīng)的參數(shù)值見表1；Q為管道流量，m3·s－1；D為管道直徑，m；L為管道長度，m。

表1 管道沿程水頭損失計(jì)算公式參數(shù)［6］Tab.1 Pipe friction headloss formula parameters[6]

由式（1）和式（2）可以看出，當(dāng)管道內(nèi)流量Q和直徑D一定時(shí)，沿程水頭隨管道長度線性下降，水流時(shí)間隨管道長度線性增加。

設(shè)管段總長度為L，直徑為D，上端節(jié)點(diǎn)水頭為H0，進(jìn)流量為Qin。管段內(nèi)N個(gè)出流點(diǎn)距上端節(jié)點(diǎn)的距離依次為L1，L2，…，LN（0＜L1＜L2＜…＜LN＜L）。各出流點(diǎn)相應(yīng)需水量分別為Qi（Qi＞0，i=1，2，…，N）。設(shè)QL為各出流點(diǎn)需水量之和，即QL=為沿線流量占比，0≤γ≤1。

忽略局部水頭損失，則距管段上端節(jié)點(diǎn)距離為0，L1，L2，…，LN，L處的水頭，以及從上端節(jié)點(diǎn)到各處的水流時(shí)間見表2。流量差異使組成管段的各管道內(nèi)水頭和水流時(shí)間的變化斜率各不相同，整個(gè)管段上的水頭和水流時(shí)間將以多段折線形式變化。

表2 管段兩端和各出流點(diǎn)處的水頭，以及從管段上端節(jié)點(diǎn)至各處的水流時(shí)間Tab.2 Water heads of end nodes and outlets along the link,and traveling times from upstream nodes to each node or outlet

1.2 沿線流量分配到管端兩端

設(shè)管段沿線流量為QL，經(jīng)簡化處理，將其分配到管段兩端。令α為管段沿線流量QL的上端節(jié)點(diǎn)流量分配比，則通過管段的流量為Qin-αQL=(1-αγ)Qin。于是管段下端節(jié)點(diǎn)的水頭H′(L)和水流時(shí)間T′(L)分別為

當(dāng)將沿線流量平均分配到管段上下兩端節(jié)點(diǎn)時(shí)，上端節(jié)點(diǎn)流量分配比α=0.5，則由式（3）和式（4），得到管段下端節(jié)點(diǎn)的水頭H"(L)和水流時(shí)間T"(L)分別為

由式（3）～（6）可知，當(dāng)沿線流量分配到管段兩端節(jié)點(diǎn)后，沿管段的水頭和水流時(shí)間將以線性形式變化，不再是多段折線形式。

1.3 示例1

如圖1所示，某管段進(jìn)流量Qin=400 L·s－1，內(nèi)部節(jié)點(diǎn)（1）距離上端節(jié)點(diǎn)（0）為250 m，需水量為60 L·s－1；內(nèi)部節(jié)點(diǎn)（2）距離上端節(jié)點(diǎn)（0）為400 m，需水量 為180 L·s－1；于 是 可 知 沿 線 流 量 占 比γ=節(jié)點(diǎn)（0）處水頭H0=80 m，管段總長為500 m，海曾-威廉系數(shù)C取110，管段直徑D為500 mm。試分析將內(nèi)部節(jié)點(diǎn)（1）和（2）的需水量分配至上端節(jié)點(diǎn)（0）和下端節(jié)點(diǎn)（3）情況下的管段水頭和流行時(shí)間。

圖1 內(nèi)部兩個(gè)出流節(jié)點(diǎn)的管段示意圖Fig.1 Schematic diagram of two outlets along the link

1.3.1 簡化處理前水頭和水流時(shí)間

1.3.2 沿線流量等分后水頭和水流時(shí)間

當(dāng)將內(nèi)部節(jié)點(diǎn)（1）和節(jié)點(diǎn)（2）的流量等分至節(jié)點(diǎn)（0）和節(jié)點(diǎn)（3）后，由式（5）和式（6）得節(jié)點(diǎn)（3）水頭H"(500)=77.56 m，該值大于表3中所列水頭76.42 m，說明采用流量等分方法將會(huì)樂觀估計(jì)管段下端節(jié)點(diǎn)的水頭。

表3 各節(jié)點(diǎn)水頭和從節(jié)點(diǎn)（0）算起的水流時(shí)間Tab.3 Water heads of nodes and traveling times from node(0)

從節(jié)點(diǎn)（0）至節(jié)點(diǎn)（3）的水流時(shí)間T"(500)=350 s，該值大于表3中所列的流行時(shí)間332 s，說明采用流量等分方法時(shí)水在管段內(nèi)的停留時(shí)間將增長，水質(zhì)分析時(shí)可能得出較差的水質(zhì)結(jié)果。

1.3.3 水力等效條件下水頭和水流時(shí)間

為滿足水力等效性，使沿線流量分配到管段兩端節(jié)點(diǎn)后下端節(jié)點(diǎn)（3）處的水頭與簡化處理前相等，則式（3）中H′(500)=76.42 m。解得管段上端節(jié)點(diǎn)流量分配比α=0.23。說明水力等效性條件下，節(jié)點(diǎn)（0）分配23%的沿線流量（56 L·s－1），節(jié)點(diǎn)（3）分配77%的沿線流量（184 L·s－1）。

由式（4），管段內(nèi)水流時(shí)間計(jì)算為T′(500)=286 s，該值小于表3中所列的流行時(shí)間332 s，說明采用水力等效方式簡化處理后，水在管段內(nèi)的停留時(shí)間縮短，會(huì)樂觀估計(jì)管段水質(zhì)。

由示例1可知，采用沿線流量平均分配到管段兩端節(jié)點(diǎn)時(shí)，計(jì)算出的下端節(jié)點(diǎn)水頭和水流時(shí)間均與簡化處理前不同。水力等效條件盡管是在滿足管段下端節(jié)點(diǎn)水頭相同條件下的簡化處理，但計(jì)算出的水流時(shí)間與簡化處理前存在差異。此外水力等效性盡管滿足簡化處理前后管段上端和下端節(jié)點(diǎn)水頭相同，但由于管段沿程水頭在簡化處理前為多段折線下降，而在簡化處理后呈直線下降，所以造成管段內(nèi)部的水頭在簡化處理前后產(chǎn)生差異。

2 管段內(nèi)均勻出流的沿線流量簡化

2.1 水頭和流行時(shí)間

管段內(nèi)均勻出流為沿線出流的特例。設(shè)管段內(nèi)有N個(gè)等間距出流點(diǎn)，則各點(diǎn)需水量相同，為QL/N；管段兩端和各出流點(diǎn)到管段上端節(jié)點(diǎn)的距離依次為0，L/（N+1），2L/（N+1），…，NL/（N+1），L。令沿線流量占比γ=QL/Qin（0≤γ≤1），則管段兩端節(jié)點(diǎn)及各出流點(diǎn)水頭分別為

從上端節(jié)點(diǎn)至各出流點(diǎn)處的水流時(shí)間分別為

當(dāng)N→∞時(shí)，將沿管段連續(xù)均勻出流。令x為到管段上端節(jié)點(diǎn)的距離，則沿線dx長度內(nèi)水頭變化為

于是距離管段上端節(jié)點(diǎn)x（0≤x≤L）處的水頭為

同理可得當(dāng)N→∞時(shí)，沿管段連續(xù)出流下距離管段上端節(jié)點(diǎn)x（0≤x≤L）處的水流時(shí)間為

由式（13）和式（15）可知，在沿管段連續(xù)均勻出流情況下，整個(gè)管段內(nèi)水頭的下降和水流時(shí)間的增加均將以連續(xù)曲線形式變化。

2.2 管段上端節(jié)點(diǎn)流量分配比

為滿足水力等效性，在管段均勻出流情況下，使沿線流量分配到管段兩端節(jié)點(diǎn)后，下游節(jié)點(diǎn)處的水頭相等。由式（3）和式（9），令H′(L)=H(L)，得管段上端節(jié)點(diǎn)流量分配比為

式（17）說明，管段均勻出流水力等效簡化處理后，上端節(jié)點(diǎn)流量分配比α僅與管段內(nèi)部出流點(diǎn)個(gè)數(shù)N和沿線流量占比γ相關(guān)，而與管道直徑D、管段上端節(jié)點(diǎn)水頭H0、管段進(jìn)流量Qin、管段長度L和系數(shù)k無關(guān)。這樣，將管段沿線均勻出流的流量分配到兩端節(jié)點(diǎn)時(shí)，它不僅可用于穩(wěn)態(tài)模擬，也可用于H0、Qin隨時(shí)間變化的延時(shí)模擬。

當(dāng)N→∞時(shí)，管段連續(xù)均勻出流，為滿足水力等效性，由式（3）和式（14），令H′(L)=H(L)，得

式中：γ∈(0，1]。當(dāng)γ=1時(shí)，管段進(jìn)流量Qin全部沿本管段配水，沒有向下游管段轉(zhuǎn)輸?shù)亩嘤嗔髁?。?dāng)γ→0時(shí)，管段進(jìn)流量Qin在本管段分配流量很少，絕大部分流量轉(zhuǎn)輸至下游管段。當(dāng)n=2和n=1.852時(shí)，γ=1和γ→0時(shí)管段均勻出流的極限α值見表4。

表4 管段均勻出流的極限α值Tab.4 Limitsαof uniform flow along the link

式（17）中取不同N值和γ值，當(dāng)n=2和n=1.852時(shí)，管段上游節(jié)點(diǎn)流量分配比α的變化情況見圖2。

由圖2看出：①當(dāng)管段中出流點(diǎn)數(shù)量N不變時(shí)，上端節(jié)點(diǎn)流量分配比α隨沿線流量占比γ的增加而減小。α值總是小于極值0.5，即管段內(nèi)出流量總是按下端節(jié)點(diǎn)流量較大，上端節(jié)點(diǎn)流量較小的方式進(jìn)行水力等效簡化處理。γ值很小情況下，即管道內(nèi)流量主要是轉(zhuǎn)輸?shù)较掠喂芏味皇窃诒竟芏窝鼐€配水時(shí)，α接近0.5。②當(dāng)沿線流量占比γ不變時(shí)，上端節(jié)點(diǎn)流量分配比α隨管段中出流點(diǎn)數(shù)量N的增加而增加。③當(dāng)上端節(jié)點(diǎn)流量分配比α相同時(shí)，沿線流量占比γ隨管段中出流點(diǎn)數(shù)量N的增加而增加。

2.3 示例2

設(shè)管段進(jìn)流量Qin=100 L·s－1，長度L=1 000 m，直徑D=300 mm，上端節(jié)點(diǎn)處水頭H0=30 m；采用海曾-威廉公式計(jì)算沿程水頭損失，m=4.87，0.001 503。設(shè)沿線流量占比從0.01～0.90，N值分別取1，2，5和∞，試分析沿線均勻出流簡化處理后管段下端節(jié)點(diǎn)水頭和從管段起點(diǎn)到該點(diǎn)的水流時(shí)間。

由式（9）和式（12）計(jì)算沿線流量簡化處理前管段下端節(jié)點(diǎn)的水頭和水流時(shí)間。由式（17）獲得管段上端節(jié)點(diǎn)流量分配比后，再由式（3）和式（4）得到水力等效簡化處理后管段下端節(jié)點(diǎn)的水頭和流行時(shí)間。由式（5）和式（6）得到流量等分（即α=0.5）時(shí)下端節(jié)點(diǎn)水頭和流行時(shí)間。不同出流點(diǎn)個(gè)數(shù)N和不同沿線流量占比γ的計(jì)算結(jié)果如圖3、圖4所示。

由圖3和圖4看出，不同N值均勻出流情況下，簡化處理前后管段下端節(jié)點(diǎn)水頭和流行時(shí)間隨不同沿線流量比γ的變化趨勢相似。

圖3 不同N值管段下端節(jié)點(diǎn)水頭Fig.3 Downstream node water heads of the link at different N values

圖4 不同N值管段下端流行時(shí)間Fig.4 Downstream node traveling times of the link at different N values

（1）因?yàn)榈确至髁刻幚砜偸潜人Φ刃Ш喕幚碓诠芏蜗露斯?jié)點(diǎn)分配的流量要少，管段下端節(jié)點(diǎn)處簡化前的水頭（水力等效簡化處理后的水頭）總是小于等分流量處理后的水頭。

（2）等分流量處理后的管段流行時(shí)間高于水力等效簡化處理的但低于簡化處理前的。

（3）當(dāng)沿線流量占比γ＜0.2時(shí)，簡化處理前后管段下端節(jié)點(diǎn)水頭和管段流行時(shí)間相差不大。說明當(dāng)管段內(nèi)沿線分配流量遠(yuǎn)小于它的轉(zhuǎn)輸流量時(shí)（在供水管網(wǎng)距離水廠較近的管段內(nèi)比較常見），采用將沿線流量以水力等效方式或等分方式分配到管段的兩端節(jié)點(diǎn)具有合理性。當(dāng)沿線流量占比γ值較大時(shí)（距離水廠較遠(yuǎn)的供水管網(wǎng)末梢或多水廠供水分界線附近管段處比較常見），在簡化處理前后管段下端節(jié)點(diǎn)水頭和管段流行時(shí)間出現(xiàn)較大差異。

3 結(jié)論

相同直徑、材料和埋設(shè)年代的串聯(lián)管道合并是給水管網(wǎng)常用簡化方式之一。根據(jù)能量守恒原理，給出了單管段沿線流量利用水力等效方式或流量等分方式向兩端節(jié)點(diǎn)分配，簡化處理前后水頭損失和水流時(shí)間的計(jì)算方法。水力等效簡化處理前后僅保證了管段上端節(jié)點(diǎn)和下端節(jié)點(diǎn)的水頭是相同的，而管段內(nèi)部各處的水頭通常存在差異。

管段沿線均勻出流流量經(jīng)水力等效簡化處理后，上端節(jié)點(diǎn)流量分配比與管段內(nèi)部出流點(diǎn)個(gè)數(shù)和沿線流量占比相關(guān)，而與管段直徑、上端節(jié)點(diǎn)水頭、管段進(jìn)流量、管段長度和管段摩阻系數(shù)無關(guān)，使得該簡化處理方法適用于上端節(jié)點(diǎn)水頭或管段進(jìn)流量具有變化性的延時(shí)模擬模型。

管段沿線均勻出流情況下，距離水廠較近的管段沿線流量（當(dāng)管段內(nèi)部流量占比較小時(shí)）適合采用水力等效方式（或流量等分方式）簡化處理，沿線流量簡化處理前后管段水頭損失和水流時(shí)間差距均較小。而對于距離水廠較遠(yuǎn)的管網(wǎng)末梢或多水廠供水分界線附近（當(dāng)管段內(nèi)部沿線流量占比較大時(shí)），經(jīng)流量等分方式簡化處理后的管段水頭損失，以及經(jīng)水力等效方式（或流量等分方式）簡化處理后的水流時(shí)間，與簡化前相比差距均較大。