參數(shù)方程在拋物線弦長(zhǎng)問題中的應(yīng)用

張甲 郝建梅

[摘 要]拋物線弦長(zhǎng)問題同橢圓和雙曲線的弦長(zhǎng)問題很相似，它是圓錐曲線的一類基本問題。文章以焦點(diǎn)在[x]軸正半軸上的拋物線為例，利用拋物線的參數(shù)方程推導(dǎo)出了當(dāng)直線斜率存在與不存在兩種情況下相對(duì)應(yīng)的直線與拋物線相交時(shí)弦長(zhǎng)的一般計(jì)算公式，并結(jié)合四個(gè)具體實(shí)例強(qiáng)化兩個(gè)公式的應(yīng)用。

[關(guān)鍵詞]參數(shù)方程;拋物線;弦長(zhǎng)問題

[中圖分類號(hào)]? ? G633.6? ? ? ? [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]? ? A? ? ? ? [文章編號(hào)]? ? 1674-6058（2022）02-0017-03

圓錐曲線是由一平面去截二次錐面所得的一類曲線，包含橢圓、雙曲線和拋物線三類[1]。一直以來，有關(guān)圓錐曲線的問題均是高考的熱門考點(diǎn)，特別是有關(guān)圓錐曲線的弦長(zhǎng)問題?！肚髾E圓弦長(zhǎng)，方法知多少？》[2]一文給出了橢圓弦長(zhǎng)的一般計(jì)算公式。如果拋物線弦長(zhǎng)問題也有一般的計(jì)算公式，則計(jì)算量將會(huì)大大減少。拋物線同橢圓和雙曲線一樣，也可用教材中給出的求圓錐曲線弦長(zhǎng)的常用公式[d=1+k2x1+x22-4x1x2]（[k]表示直線的斜率，[x1]和[x2]分別表示直線與拋物線相交時(shí)兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)）來求解弦長(zhǎng)問題，但是想要求出公式中的[x1+x2]和[x1x2]，就要聯(lián)立直線與拋物線的方程，再運(yùn)用韋達(dá)定理求解[3]，因此計(jì)算量較大。此外，在解決過拋物線焦點(diǎn)的弦長(zhǎng)問題時(shí)，根據(jù)拋物線的定義，常用焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式，即[d=x1+x2+p]（[p]表示拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離）。但是在使用該公式時(shí)必須要知道直線與拋物線兩交點(diǎn)橫坐標(biāo)的和，即[x1+x2]，所以，如果能推導(dǎo)出已知直線方程和拋物線方程，就能求出直線與拋物線相交時(shí)的弦長(zhǎng)，使得問題迎刃而解。

高中數(shù)學(xué)系列選修教材中引入了參數(shù)方程，參數(shù)方程的應(yīng)用是解決動(dòng)點(diǎn)軌跡等問題常用的一類解題方法。一般地，曲線參數(shù)方程的定義可表述為，若某一曲線[l]上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)[（x， y）]可表示為某一變量[t]的函數(shù)，其中

[x=ft，y=gt，] （1）

在[t]的允許取值范圍內(nèi)，每一個(gè)[t]所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)[M（x， y）]都在曲線[l]上，則稱式（1）為曲線 [l]的參數(shù)方程。根據(jù)以上敘述，本文考慮用拋物線的參數(shù)方程去求解拋物線的弦長(zhǎng)問題，為敘述方便，本文先給出拋物線[y2=2px]（[p>0]）的參數(shù)方程[4]：

[x=2pt2，y=2pt ，] （2）

[t∈（-∞， 0）?（0，+∞）]，參數(shù)[t]表示拋物線上除原點(diǎn)以外的任何一點(diǎn)與原點(diǎn)連線斜率的倒數(shù)。

一、拋物線弦長(zhǎng)的一般計(jì)算公式

（一）當(dāng)直線斜率存在且不等于0時(shí)

如圖1，已知直線[y=kx+m]（[k]為直線斜率，且[k≠0]）與拋物線[y2=2px（p>0）]交于[A]，[B]兩點(diǎn)，[C-mk， 0]為直線與[x]軸的交點(diǎn)，求弦長(zhǎng)[AB]。

可根據(jù)上述拋物線的參數(shù)方程，求解拋物線弦長(zhǎng)問題，具體過程如下：

首先，設(shè)[A]，[B]兩點(diǎn)的坐標(biāo)為[A2ptan2A，2ptan A]，[B2ptan2B，2ptanB]，則線段[AB]的斜率可表示為

[k=2ptan A-2ptan B2ptan2A-2ptan2B]，

即[1k2ptan A-2ptan B=2ptan2A-2ptan2B]。

根據(jù)平面上兩點(diǎn)間的距離公式，得

[AB=2ptan B-2ptan A2+2ptan2B-2ptan2A2]

[=2ptan B-2ptan A2+1k22ptan A-2ptan B2]

[=1+1k22ptan B-2ptan A2]? ? （3）

又因?yàn)榫€段[AB]與[AC]有相同的斜率，所以

[k=2ptan A2ptan2A+mk]，即[2kptan2A-2ptan A+m=0]，

將上式看作關(guān)于[1tan A]的一元二次方程，解得

[1tan A=2p±4pp-2km4kp]? ? ?（4）

因?yàn)橹本€與拋物線交于[A]，[B]兩點(diǎn)，所以[4pp-2km>0]，即式（4）中的兩個(gè)值一定是[A]，[B]兩點(diǎn)與原點(diǎn)連線斜率的倒數(shù)，將其代入式（3），得

[AB=]

[1+1k22p2p+4pp-2km4kp-2p2p-4pp-2km4kp2]

[=2k21+k2pp-2km]? ? ?（5）

（二）當(dāng)直線斜率不存在時(shí)

如圖2，已知直線[x=m]與拋物線交于[A]，[B]兩點(diǎn)，求弦長(zhǎng)[AB]。

設(shè)[A]，[B]兩點(diǎn)的坐標(biāo)為[A2ptan2A ， 2ptan A]，[B2ptan2B，2ptan B]。因?yàn)橹本€方程為[x=m]，所以[AB⊥x軸]，即[2ptan2A=m?tan2A=2pm]，從而[AB2=4AC2=16p2tan2A=8pm]，即[AB=22pm]。 （6）

二、例題解析

[例1]設(shè)拋物線[y2=4x]與直線[y=2x-4]相交于[A]，[B]兩點(diǎn)，求弦長(zhǎng)[AB]。

解法一：由[y2=4x，y=2x-4，]聯(lián)立得[4x2-20x+16=0]，化簡(jiǎn)得[x2-5x+4=0]。

設(shè)[A]，[B]兩點(diǎn)的坐標(biāo)為[（x1， y1）]，[（x2， y2）]，根據(jù)韋達(dá)定理，得[x1+x2=5]，[x1x2=4]，

所以，弦長(zhǎng)[AB=1+2252-4×4=35]。

解法二：根據(jù)式（5），可得

弦長(zhǎng)[AB=2k21+k2pp-2km=]

[2221+22×2×2-2×2×-4=35]。

點(diǎn)評(píng)：本題拋物線方程和直線方程均已給出，是一道常規(guī)的求拋物線弦長(zhǎng)的題目。傳統(tǒng)的方法需要聯(lián)立兩個(gè)方程來求解，在聯(lián)立方程利用韋達(dá)定理計(jì)算時(shí)比較容易出錯(cuò)。

[例2]過拋物線[y2=2px（p>0）]的焦點(diǎn)[F]作一條直線，且直線的傾斜角為[π4]，該直線與拋物線所交的弦為[AB]，已知弦長(zhǎng)[AB=8]，求[p]。

解法一：由[y2=2px ，y=x-p2，]聯(lián)立得[x2-3px+p24=0]。解得[x1=3p+22p2]，[x2=3p-22p2]，分別為兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，代入焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式[d=x1+x2+p]得：[8=3p+22p2+3p-22p2+p]，即[p=2]。

解法二：該直線方程為[y=x-p2]，根據(jù)式（5），可得弦長(zhǎng)[AB=2k21+k2pp-2km=] [21+1pp-2×1×-p2=8]，解得[p=2]。

點(diǎn)評(píng)：本題是已知拋物線與直線相交的弦長(zhǎng)，求拋物線的方程。雖然例1和例2的解題思路都一樣，但例2引入了未知數(shù)[p]，利用圓錐曲線的弦長(zhǎng)公式計(jì)算時(shí)難度會(huì)更大一些。比較兩種計(jì)算方法，發(fā)現(xiàn)解法二利用式（5）更簡(jiǎn)便。

[例3]求拋物線[y2=2px（p>0）]的通徑長(zhǎng)[AB]。

解法一：由[y2=2px ，x=p2，]得[y2=p2]，所以兩交點(diǎn)的坐標(biāo)分別為[p2， p]，[p2，-p]，即通徑長(zhǎng)[AB=p-（-p）=2p]。

解法二：根據(jù)式（6）可求得通徑長(zhǎng)[AB=22pm=22p×p2=2p]。

點(diǎn)評(píng)：本題涉及拋物線通徑長(zhǎng)度的求解。解法一是根據(jù)拋物線通徑的相關(guān)性質(zhì)，聯(lián)立拋物線方程和通徑所在的直線方程求解。解法二是根據(jù)式（6）直接計(jì)算，進(jìn)一步顯示出拋物線弦長(zhǎng)的一般計(jì)算公式的簡(jiǎn)便性。

[例4]如圖3所示，拋物線[y2=2px（p>0）]的焦點(diǎn)[F]為圓[x2+y2-4x=0]的圓心，斜率為2且過焦點(diǎn)[F]的直線與拋物線交于[A]，[D]兩點(diǎn)，與圓交于[B]，[C]兩點(diǎn)，求[AB+CD]。

解法一：已知拋物線的焦點(diǎn)為圓[x2+y2-4x=0]的圓心，所以拋物線方程為[y2=8x];斜率為2的直線過拋物線的焦點(diǎn)，所以直線方程為[y=2x-4]。聯(lián)立直線方程和拋物線方程可得[4x2-24x+16=0]，化簡(jiǎn)得[x2-6x+4=0]。設(shè)[A]，[D]兩點(diǎn)的坐標(biāo)為[（x1， y1）]，[（x2， y2）]，根據(jù)韋達(dá)定理，得[x1+x2=6]，所以弦長(zhǎng)[AD=6+4=10]，即[AB+CD=10-4=6]。

解法二：根據(jù)題干求出拋物線的方程[y2=8x]和直線方程[y=2x-4]，由式（5）得，[AD=241+4×4×4+2×2×4=10]，所以[AB+CD=10-4=6]。

點(diǎn)評(píng)：通過仔細(xì)讀題并結(jié)合圖形可知，本題的解題關(guān)鍵是求出拋物線與直線相交的弦長(zhǎng)。題目讓計(jì)算[AB+CD]，實(shí)際就是計(jì)算拋物線弦長(zhǎng)減去圓直徑的長(zhǎng)度。

以上4個(gè)例題涵蓋了直線與拋物線相交時(shí)，直線斜率存在和直線斜率不存在且剛好過拋物線焦點(diǎn)的情況。通過分析以上4個(gè)例題可知，將式（5）和式（6）用于求解拋物線弦長(zhǎng)問題可避免在聯(lián)立直線方程和拋物線方程的過程中可能出現(xiàn)的計(jì)算失誤，同時(shí)達(dá)到簡(jiǎn)化計(jì)算的效果。若將以上兩個(gè)公式用于選擇題等小題的計(jì)算，則可以快速地解決問題。參數(shù)方程思想貫穿整個(gè)高中數(shù)學(xué)，是解決許多復(fù)雜問題的重要工具。對(duì)于許多復(fù)雜問題，引入?yún)?shù)方程進(jìn)行求解可大大降低解題難度。圓錐曲線的參數(shù)方程雖然在高考中占比不是很大，但如果能作為一種重要工具加以熟練運(yùn)用將會(huì)有不少的收獲。

拋物線的弦長(zhǎng)問題，看上去似乎不太復(fù)雜，可是一旦拋物線方程或者直線方程比較復(fù)雜時(shí)，再將兩個(gè)方程聯(lián)立用韋達(dá)定理求解會(huì)非常麻煩，大多數(shù)學(xué)生很難在較短時(shí)間內(nèi)準(zhǔn)確求解。本文將拋物線的參數(shù)方程應(yīng)用于拋物線弦長(zhǎng)問題，推導(dǎo)出了拋物線弦長(zhǎng)的一般計(jì)算公式，即式（5）和式（6）。這兩個(gè)公式涵蓋了直線與拋物線相交的所有情況。當(dāng)拋物線的焦點(diǎn)在[x]軸負(fù)半軸或者[y]軸的正半軸或負(fù)半軸時(shí)，推導(dǎo)方法與式（5）和式（6）類似，本文不再一一贅述?！肚髵佄锞€弦長(zhǎng)的一個(gè)公式》[3]一文利用拋物線的一般方程也給出了該公式的推導(dǎo)過程。對(duì)高中生而言，在解題的過程中運(yùn)用參數(shù)方程可能稍有難度，但經(jīng)過不斷努力熟練掌握該方法，在解題時(shí)就可以取得事半功倍的效果。訓(xùn)練學(xué)生應(yīng)用拋物線的參數(shù)方程求拋物線的弦長(zhǎng)，可有效發(fā)展學(xué)生的解題思維。

[? ?參? ?考? ?文? ?獻(xiàn)? ?]

[1]? 人民教育出版社，課程教材研究所，中學(xué)數(shù)學(xué)教材實(shí)驗(yàn)研究組.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書·數(shù)學(xué)：選修2-1[M].北京： 人民教育出版社，2007.

[2]? 鐘德光，蔡方明，陳宇鵬.求橢圓弦長(zhǎng)，方法知多少？[J].理科考試研究，2018（7）：21-23.

[3]? 廖炳江.求拋物線弦長(zhǎng)的一個(gè)公式[J].數(shù)學(xué)教學(xué)研究，1999（4）：22-23.

[4]? 人民教育出版社，課程教材研究所，中學(xué)數(shù)學(xué)教材實(shí)驗(yàn)研究組.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書·數(shù)學(xué)：選修4-4[M].北京： 人民教育出版社，2003.

（責(zé)任編輯 黃春香）

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