高中數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)質(zhì)量視角下的數(shù)學(xué)問(wèn)題及其解決策略

●幸世強(qiáng)

數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)質(zhì)量是應(yīng)該達(dá)成的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的目標(biāo)，是相應(yīng)考試命題的依據(jù)。解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的水平是數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)質(zhì)量水平評(píng)價(jià)的重要指標(biāo)。在實(shí)際命題中， 命題者會(huì)選擇合適的問(wèn)題情境為載體考查學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。問(wèn)題情境包括現(xiàn)實(shí)情境、數(shù)學(xué)情境、科學(xué)情境，每種問(wèn)題情境可以分為熟悉的、關(guān)聯(lián)的、綜合的；數(shù)學(xué)問(wèn)題是在問(wèn)題情境中提出的問(wèn)題，從學(xué)生認(rèn)識(shí)的角度分為簡(jiǎn)單問(wèn)題、較復(fù)雜問(wèn)題、復(fù)雜問(wèn)題[1]。對(duì)每一個(gè)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的考查，都要體現(xiàn)情境與問(wèn)題、知識(shí)與技能、思維與表達(dá)、交流與反思，這是教學(xué)和命題必須體現(xiàn)的。對(duì)于承載相應(yīng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)知識(shí)與技能的數(shù)學(xué)問(wèn)題，可以分為了解、理解、掌握（低階思維或低認(rèn)知目標(biāo)）、綜合、分析、評(píng)價(jià)、創(chuàng)造（高階思維或高認(rèn)知目標(biāo)）水平層次。數(shù)學(xué)問(wèn)題的設(shè)計(jì)應(yīng)結(jié)合情境突出內(nèi)容主線，反映數(shù)學(xué)本質(zhì)的核心概念、主要結(jié)論、通性通法、數(shù)學(xué)應(yīng)用和實(shí)際應(yīng)用。解決數(shù)學(xué)問(wèn)題要特別關(guān)注數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中思維品質(zhì)的形成（基本經(jīng)驗(yàn)），關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的能力（閱讀、語(yǔ)言、表達(dá)）。在實(shí)際教學(xué)工作中，數(shù)學(xué)教師都知道數(shù)學(xué)是思維的體操，數(shù)學(xué)問(wèn)題是訓(xùn)練思維的法寶，數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決質(zhì)量是評(píng)價(jià)教與學(xué)水平的標(biāo)尺。但有的數(shù)學(xué)教師對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題及解決問(wèn)題的內(nèi)涵認(rèn)知不足，理念有待厘清。

一、數(shù)學(xué)問(wèn)題的內(nèi)涵

（一）數(shù)學(xué)問(wèn)題就是一個(gè)系統(tǒng)

一個(gè)系統(tǒng)的全部元素、元素的性質(zhì)和元素之間的關(guān)系都是確定的，那么這個(gè)系統(tǒng)就是穩(wěn)定的系統(tǒng)。如果這個(gè)系統(tǒng)缺少一個(gè)元素、性質(zhì)或關(guān)系，那么這個(gè)系統(tǒng)就是問(wèn)題系統(tǒng)，這個(gè)問(wèn)題系統(tǒng)就是一個(gè)問(wèn)題。如果這個(gè)問(wèn)題系統(tǒng)的元素、性質(zhì)和關(guān)系都是與數(shù)學(xué)有關(guān)的，那么它就是一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題。數(shù)學(xué)問(wèn)題有結(jié)構(gòu)完善的問(wèn)題和結(jié)構(gòu)不良的問(wèn)題， 新課程改革背景下高考數(shù)學(xué)問(wèn)題中呈現(xiàn)出多元開(kāi)放的數(shù)學(xué)情境問(wèn)題，對(duì)學(xué)生綜合素養(yǎng)的考查要求較高。

（二）數(shù)學(xué)問(wèn)題的特征是形式化

通過(guò)情境和問(wèn)題，與數(shù)學(xué)知識(shí)、方法以及數(shù)學(xué)模型建立聯(lián)系，聯(lián)系的水平則表現(xiàn)了數(shù)學(xué)素養(yǎng)的水平。當(dāng)實(shí)際情境問(wèn)題變成數(shù)學(xué)問(wèn)題后， 都抽去了具體情境的物質(zhì)性，變成了純粹的形式化問(wèn)題，形式化的數(shù)學(xué)問(wèn)題的建立過(guò)程就是數(shù)學(xué)模型建立的過(guò)程。學(xué)生在學(xué)習(xí)時(shí)不但要解決純粹形式化的數(shù)學(xué)情境問(wèn)題，還要解決一些具有現(xiàn)實(shí)情境和科學(xué)情境的問(wèn)題，具有現(xiàn)實(shí)情境和科學(xué)情境的問(wèn)題需要學(xué)生閱讀、提取信息、歸納信息、建立模型，這種抽象有利于數(shù)學(xué)概念和數(shù)學(xué)命題的形成， 有利于學(xué)生理解和認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)本質(zhì)。

二、數(shù)學(xué)問(wèn)題的結(jié)構(gòu)

數(shù)學(xué)問(wèn)題由條件、運(yùn)算和目標(biāo)或者條件信息、運(yùn)算信息和目標(biāo)信息三部分構(gòu)成。

（一）數(shù)學(xué)問(wèn)題的條件

條件或條件信息是指問(wèn)題構(gòu)成數(shù)學(xué)知識(shí)的對(duì)象、關(guān)系和模型或者是問(wèn)題的狀態(tài)。數(shù)學(xué)最為關(guān)心的是數(shù)學(xué)關(guān)系，數(shù)學(xué)關(guān)系是指數(shù)量關(guān)系、圖形關(guān)系、運(yùn)算法則和隨機(jī)規(guī)律等條件的限制，它可以是已知條件之間的關(guān)系，可以是已知條件與未知條件的關(guān)系。問(wèn)題的狀態(tài)就是問(wèn)題的最初表達(dá)形式， 它是問(wèn)題所涉及的范圍內(nèi)，解決問(wèn)題過(guò)程中某一時(shí)刻的表達(dá)形式。對(duì)問(wèn)題狀態(tài)的不同理解和認(rèn)知，就決定了解決問(wèn)題的方法不同，得到的結(jié)果就可能不同。在很多情況下，數(shù)學(xué)問(wèn)題的條件不是明確給出來(lái)的，尤其是數(shù)學(xué)關(guān)系是隱蔽的，需要學(xué)生自己去挖掘、尋找。理解知識(shí)的復(fù)雜度和深度，以及解決問(wèn)題的難度和創(chuàng)新性等反映了數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)水平。

（二）數(shù)學(xué)問(wèn)題的目標(biāo)

目標(biāo)或目標(biāo)信息就是要解決的數(shù)學(xué)對(duì)象，數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的過(guò)程就是問(wèn)題的中間狀態(tài)，數(shù)學(xué)對(duì)象一旦解決，數(shù)學(xué)問(wèn)題就達(dá)到了穩(wěn)定狀態(tài)。數(shù)學(xué)問(wèn)題通常有兩種目標(biāo)狀態(tài)：在數(shù)學(xué)證明題中，目標(biāo)狀態(tài)是完全給定的，解決的中間過(guò)程沒(méi)給定，需要學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)和準(zhǔn)確的表述；在其他求解題中，目標(biāo)狀態(tài)不是完全給定的，求解過(guò)程也是沒(méi)給定的，這種問(wèn)題更多的是考查學(xué)生開(kāi)放多元的數(shù)學(xué)思維和經(jīng)驗(yàn)積累。

（三）數(shù)學(xué)問(wèn)題的運(yùn)算信息

運(yùn)算或運(yùn)算信息就是邏輯運(yùn)算、數(shù)學(xué)推理和數(shù)學(xué)推導(dǎo)的根據(jù)。在證明題中，運(yùn)算或運(yùn)算信息是指用于推理的法則、定義、定理、公理、數(shù)學(xué)公式和法則等算理。在問(wèn)題解決過(guò)程中，運(yùn)算可以改變數(shù)學(xué)問(wèn)題的狀態(tài)，把數(shù)學(xué)運(yùn)算運(yùn)用于解題的各個(gè)狀態(tài)，就可改變問(wèn)題的狀態(tài)，逐漸向目標(biāo)狀態(tài)過(guò)渡。運(yùn)算或運(yùn)算信息是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的基礎(chǔ)， 是問(wèn)題由初始狀態(tài)向目標(biāo)狀態(tài)轉(zhuǎn)化的理論依據(jù)。

運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言和數(shù)學(xué)方法來(lái)理解數(shù)學(xué)理論，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型和解決問(wèn)題。數(shù)學(xué)問(wèn)題是由條件、運(yùn)算、目標(biāo)三部分組成，也就是構(gòu)成數(shù)學(xué)問(wèn)題的三要素。解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，全面認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)問(wèn)題的組成，對(duì)最終完成數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決具有非常重要的意義。

三、數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的策略

數(shù)學(xué)問(wèn)題解決是按照一定的思維對(duì)策進(jìn)行的一個(gè)思維過(guò)程，漸次地靠近目標(biāo)，最終達(dá)到目標(biāo)。在數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的過(guò)程中，要用到觀察、分析、思辨、抽象、歸納、類比、演繹、特殊化、一般化等邏輯思維形式，又要用到直覺(jué)、頓悟等非邏輯形式來(lái)探索尋求數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決路徑。數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決過(guò)程，就是尋求解決問(wèn)題的方案，是一個(gè)數(shù)學(xué)思維的策略問(wèn)題，其內(nèi)容是尋找對(duì)策，突出“如何思考”，基于此，思維策略是促進(jìn)探索、促進(jìn)發(fā)現(xiàn)的方法，它是達(dá)到目標(biāo)的正確計(jì)劃和方向。數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的策略包含以下幾個(gè)方面：

（一）理解探索解題方法的基本要素

1.展開(kāi)聯(lián)想，初步探索

我們解題時(shí)，閱讀問(wèn)題情境，與數(shù)學(xué)知識(shí)、方法、數(shù)學(xué)模型建立聯(lián)系，有序聯(lián)想一些問(wèn)題：見(jiàn)過(guò)這個(gè)問(wèn)題嗎？ 見(jiàn)過(guò)類似的（圖形類似，條件類似，結(jié)論類似）問(wèn)題嗎？ 能聯(lián)想起有關(guān)的定義、定理或公式嗎？ 已知是什么？ 未知是什么？[2]能夠用哪些數(shù)學(xué)的概念、結(jié)論、思想方法來(lái)解決問(wèn)題？

2.目標(biāo)導(dǎo)航，選擇路徑

解決數(shù)學(xué)問(wèn)題要始終盯住問(wèn)題目標(biāo)，把握問(wèn)題解決的方向。把探求過(guò)程中得到的中間狀態(tài)不斷與目標(biāo)狀態(tài)加以比較，逐漸減小已知和目標(biāo)的差異，及時(shí)調(diào)整自己的思考路徑。如果把注意力集中于問(wèn)題目標(biāo)，我們就會(huì)想方設(shè)法達(dá)到它：有什么方法能夠達(dá)到目標(biāo)？達(dá)到目標(biāo)的前提條件或信息是什么？能否先解決其中的某個(gè)前提條件？ 解決這個(gè)前提條件通常應(yīng)該做什么？ （再看看目標(biāo)，換一個(gè)方式來(lái)敘述這道題?；氐蕉x、定理、公式、法則或者是學(xué)過(guò)的典型問(wèn)題去看看，先試試解決一個(gè)特例。這個(gè)問(wèn)題的一般形式是什么？你能解決問(wèn)題的一部分嗎？你用了全部條件嗎？[2]）

（二）理解探索解題的主要方法

探索解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的主要方法是“變更問(wèn)題”，也就是利用“等價(jià)的敘述”恰當(dāng)?shù)匕褑?wèn)題轉(zhuǎn)化，使“已知的數(shù)學(xué)對(duì)象”和“所求的數(shù)學(xué)對(duì)象”越來(lái)越近。實(shí)現(xiàn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化的基本方法包括：改變問(wèn)題的已知和結(jié)論；使問(wèn)題特殊化；使問(wèn)題一般化；找到恰當(dāng)?shù)妮o助問(wèn)題；把已知條件重新關(guān)聯(lián)和組合。這些方法在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)一般都會(huì)被綜合使用到。

四、數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的思維過(guò)程

解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的思維活動(dòng)是一個(gè)觀察問(wèn)題、分析問(wèn)題、問(wèn)題識(shí)別、歸納、假設(shè)和驗(yàn)證的過(guò)程。心理學(xué)研究表明， 解決數(shù)學(xué)問(wèn)題首先是對(duì)問(wèn)題加以識(shí)別，根據(jù)數(shù)學(xué)問(wèn)題的特征進(jìn)行歸類， 便于使用恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)解題方法解決數(shù)學(xué)問(wèn)題。在數(shù)學(xué)問(wèn)題解決中，識(shí)別和歸類包括提出假設(shè)和驗(yàn)證假設(shè)的過(guò)程。對(duì)那些不易識(shí)別和歸類的問(wèn)題， 就要認(rèn)真閱讀和分析題目的條件和結(jié)論，結(jié)合自己積累的基本數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)，聯(lián)系已學(xué)數(shù)學(xué)原理和已解決的不同類型的問(wèn)題提出新的解題設(shè)想，然后對(duì)此設(shè)想進(jìn)行驗(yàn)證。如果提出的解題設(shè)想經(jīng)過(guò)驗(yàn)證是正確的，問(wèn)題就會(huì)得以解決；否則就要重新審視問(wèn)題，提出新的方案，繼續(xù)對(duì)新的方案進(jìn)行驗(yàn)證，直至問(wèn)題解決。對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的識(shí)別和歸類的基本方法就是對(duì)數(shù)學(xué)模式的辨認(rèn)。學(xué)生如果能夠從所給的問(wèn)題情境中辨認(rèn)出符合問(wèn)題目標(biāo)的某個(gè)熟悉的“模式”，那就能提出相應(yīng)的解決問(wèn)題的方法。學(xué)生如果不能完成對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的“模式”識(shí)別和歸類，可能是學(xué)生本身知識(shí)欠缺，也可能是關(guān)聯(lián)不暢通，這就需要教師去彌補(bǔ)，去改進(jìn)教學(xué)方式。

對(duì)數(shù)學(xué)“模式”的識(shí)別和歸類，與學(xué)生積累的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)和數(shù)學(xué)問(wèn)題本身的復(fù)雜程度有關(guān)。就代數(shù)結(jié)構(gòu)和幾何圖形的“模式”而言，是否是簡(jiǎn)單的常態(tài)的代數(shù)結(jié)構(gòu)或圖形， 是否是變化后的較復(fù)雜的代數(shù)結(jié)構(gòu)或圖形， 是否是多個(gè)代數(shù)結(jié)構(gòu)或圖形交錯(cuò)重疊的組合的代數(shù)結(jié)構(gòu)或圖形等，都會(huì)給數(shù)學(xué)“模式”識(shí)別與歸類帶來(lái)不同的影響。因此，要形成正確而迅速的數(shù)學(xué)“模式”識(shí)別和辨認(rèn)能力，需要培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括能力，善于從問(wèn)題情境中提煉出數(shù)學(xué)信息，將有關(guān)的數(shù)學(xué)要素組織起來(lái)， 從不同的角度和各種關(guān)聯(lián)要素中去考察，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)“模式”的辨認(rèn)。

學(xué)生從問(wèn)題情境中識(shí)別數(shù)學(xué)“模式”，是一個(gè)積極主動(dòng)的思維過(guò)程，需要學(xué)生積累正確的經(jīng)驗(yàn)和正確的方法。通常采用“順推”和“逆推”的思維探索策略，從所給的條件和所求的結(jié)論兩方面進(jìn)行分析，辨認(rèn)出有關(guān)的數(shù)學(xué)“模式”。對(duì)簡(jiǎn)單或較為熟悉的數(shù)學(xué)問(wèn)題宜采用“順推”策略，對(duì)復(fù)雜或不熟悉的數(shù)學(xué)問(wèn)題宜采用“逆推”的策略。在實(shí)際解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程中，學(xué)生主要采用的是分析與綜合方法，分析與綜合總是相生相伴的。解決一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題，首先是對(duì)問(wèn)題的結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析，看題目的條件是什么、結(jié)論是什么，然后比較條件和結(jié)論，尋找條件和結(jié)論之間的聯(lián)系和差異，尋找消除差異的方法，也就是綜合。分析是“執(zhí)果索因”，綜合是“由因?qū)Ч?，是“剖析”和“組合”的意思。

在數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的思維過(guò)程中，學(xué)生首先要認(rèn)真閱讀數(shù)學(xué)題，理解題意，全面認(rèn)識(shí)和把握問(wèn)題的條件和運(yùn)算推理信息，提出解題的各種設(shè)想并選擇最佳的路徑，制定解題方案，也就是通過(guò)分析和綜合，提出解題設(shè)想，制定解題計(jì)劃，揭示條件和結(jié)論之間的本質(zhì)聯(lián)系，形成新的結(jié)構(gòu)，孕育新的解題途徑。

一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決受問(wèn)題情境（問(wèn)題的不同類型及難度、問(wèn)題陳述方式及圖式認(rèn)知的難易程度）、個(gè)人特點(diǎn)（知識(shí)經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)、個(gè)性品質(zhì)、數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力）和認(rèn)知策略（能否突破常規(guī)，能否克服套路改變思考的方向，能否多角度多方位思考問(wèn)題，能否準(zhǔn)確抓住問(wèn)題的要點(diǎn)，能否回到有關(guān)的數(shù)學(xué)概念、公式、法則去思考問(wèn)題）等諸多因素的影響。教師在數(shù)學(xué)教學(xué)中要重視用思維來(lái)架構(gòu)承載數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的知識(shí)和技能的學(xué)習(xí)，滲透數(shù)學(xué)思想方法，幫助學(xué)生積累良好的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，幫助學(xué)生克服刻板的習(xí)慣、固定的模式等解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的認(rèn)知障礙，優(yōu)化學(xué)生的思維品質(zhì)，提高學(xué)業(yè)質(zhì)量水平。