夯實(shí)基礎(chǔ) 感悟解法

趙倩倩

二次根式是初中數(shù)學(xué)“數(shù)與式”的主要內(nèi)容之一，也是中考考查的重點(diǎn)。因此，同學(xué)們除了要牢固掌握基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能和基本思想方法外，還要能正確熟練地運(yùn)用相關(guān)知識(shí)解決各類(lèi)問(wèn)題。

一、二次根式的概念

例1 若[x-1]有意義，則x的取值范圍是 。

【分析】本題考查二次根式[a]有意義的條件：被開(kāi)方數(shù)a≥0。

解：根據(jù)題意，得x-1≥0，解得x≥1。

故答案為x≥1。

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式有意義的條件，利用被開(kāi)方數(shù)是非負(fù)數(shù)得出不等式是解題關(guān)鍵。

例2 下列各組二次根式中，化簡(jiǎn)后是同類(lèi)二次根式的是（ ）。

A.[8]與[3] B.[2]與[12]

C.[5]與[15] D.[75]與[27]

【分析】本題考查同類(lèi)二次根式的概念，應(yīng)先將各選項(xiàng)化成最簡(jiǎn)二次根式，再根據(jù)被開(kāi)方數(shù)是否相同進(jìn)行判斷即可。

解：A選項(xiàng)，[8]=[22]，和[3]不是同類(lèi)二次根式，本選項(xiàng)不合題意;

B選項(xiàng)，[12]=[23]，和[2]不是同類(lèi)二次根式，本選項(xiàng)不合題意;

C選項(xiàng)，[5]與[15]不是同類(lèi)二次根式，本選項(xiàng)不合題意;

D選項(xiàng)，[75]=[53]，[27]=[33]，兩者是同類(lèi)二次根式，本選項(xiàng)符合題意。

故選D。

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了同類(lèi)二次根式的概念，解題的關(guān)鍵在于熟練掌握二次根式的化簡(jiǎn)及同類(lèi)二次根式的概念。

二、二次根式的性質(zhì)

例3 已知：a=（[12]）-1+（[-3]）0，b=（[3]+[2]）（[3]-[2]），則[a+b]= 。

【分析】本題考查二次根式的性質(zhì)（[a]）2=a（a≥0），平方差公式（a+b）（a-b）=a2-b2以及零指數(shù)冪、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的計(jì)算。先計(jì)算出a、b的值，然后代入所求式子即可求得相應(yīng)的值。

解：∵a=（[12]）-1+（[-3]）0=2+1=3，

b=（[3]+[2]）（[3]-[2]）=（[3]）2-（[2]）2=3-2=1，

∴[a+b]=[3+1]=[4]=2。

故答案為2。

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式的化簡(jiǎn)求值、平方差公式、零指數(shù)冪、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，解題的關(guān)鍵是明確它們各自的計(jì)算方法。

例4 2、5、m是某三角形三邊的長(zhǎng)，則[（m-3）2]+[（m-7）2]等于（ ）。

A.2m-10 B.10-2m C.10 D.4

【分析】直接利用三角形三邊關(guān)系得出m的取值范圍，再利用二次根式的性質(zhì)[a2]=[a]=[a（a≥0），-a（a<0），]化簡(jiǎn)得出答案。

解：∵2、5、m是某三角形三邊的長(zhǎng)，

∴5-2

故3

∴[（m-3）2]+[（m-7）2]=[m-3]+[m-7]=m-3+7-m=4。

故選D。

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了三角形三邊關(guān)系以及二次根式的化簡(jiǎn)，正確化簡(jiǎn)二次根式是解題關(guān)鍵。

三、二次根式的計(jì)算

例5 計(jì)算[24]-[65]×[45]的結(jié)果是 。

【分析】本題考查同類(lèi)二次根式的合并以及二次根式的乘法運(yùn)算。二次根式的乘法運(yùn)算法則：[a]×[b]=[ab]（a≥0，b≥0）。

解：原式=[26]-[65×45]=[26]-[36]=[-6]。

故答案為[-6]。

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了二次根式的混合運(yùn)算，熟練掌握二次根式的乘法運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵。

例6 計(jì)算[8]-[92]的結(jié)果是 。

【分析】本題考查同類(lèi)二次根式的合并以及二次根式的除法運(yùn)算。二次根式的除法運(yùn)算法則：[a]÷[b]=[ab]（a≥0，b>0）。

解：[8]-[92]=[22][-92]

=[22][-32]=[22][-322]=[22]。

故答案為[22]。

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了二次根式的混合運(yùn)算，熟練掌握二次根式的除法運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵。

（作者單位：江蘇省豐縣初級(jí)中學(xué)）

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