默會知識視域下小學(xué)數(shù)學(xué)尺規(guī)作圖教學(xué)探究

江蘇江陰市長涇實驗小學(xué)（214411） 張燁棟

縱觀小學(xué)數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的關(guān)鍵詞從“雙基”到“三維目標(biāo)”再到“核心素養(yǎng)”的演變，課標(biāo)目標(biāo)始終在從“知識技能”向“知識見識（智慧）”持續(xù)變化，課程的要求從“學(xué)會”向“會學(xué)”轉(zhuǎn)變，課程的導(dǎo)向不斷在強調(diào)動手實踐等學(xué)習(xí)方式的重要性。尺規(guī)作圖作為《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022 版）》（以下簡稱《課程標(biāo)準(zhǔn)》）新增的教學(xué)內(nèi)容，它不僅豐富了知識的表征方式，還原了知識的產(chǎn)生過程，應(yīng)用了知識的基本原理，還為抽象的數(shù)學(xué)知識直觀化、可視化創(chuàng)造了條件，成為促進(jìn)學(xué)生深度理解數(shù)學(xué)知識的一條重要路徑。但尺規(guī)作圖具有很強的“默會性”，需要默會知識的支撐，對教師和學(xué)生都有一定的挑戰(zhàn)性?；诖?，筆者以“作等長線段”“畫三角形”“三角形三邊關(guān)系”三個尺規(guī)作圖內(nèi)容為例，對默會知識視域下小學(xué)數(shù)學(xué)尺規(guī)作圖教學(xué)進(jìn)行探究。

一、厘清：默會知識和尺規(guī)作圖的內(nèi)涵

1.默會知識的內(nèi)涵及特征

默會知識最早由波蘭尼提出，他認(rèn)為人類知識分為顯性知識（明確知識）和默會知識（隱性知識、緘默知識）兩類。前者指的是能用語言、符號加以表述的知識，后者指的是不能被表述出來的知識。任何認(rèn)知活動都根植于默會知識，顯性知識的獲得也依賴于個體的“默會能力”。有研究者指出人類知識大部分屬于默會知識，它對行為支配和實踐結(jié)果有決定性作用。默會知識具有情境性、個人性、實踐性和不可言傳性的特征。

因此，默會知識與個體的認(rèn)知、實踐和情感有密切關(guān)系，它對個體的學(xué)習(xí)起著至關(guān)重要的作用。學(xué)生對知識的真正理解本質(zhì)上就是一種“默會認(rèn)識”，對默會知識的培養(yǎng)具有非常重要的意義。

2.小學(xué)數(shù)學(xué)尺規(guī)作圖的詮釋

尺規(guī)作圖是幾何作圖的重要內(nèi)容，它是指用無刻度的直尺和圓規(guī)進(jìn)行作圖。教師引導(dǎo)學(xué)生在學(xué)習(xí)任務(wù)的引領(lǐng)下利用直尺和圓規(guī)通過操作、觀察、探究來發(fā)現(xiàn)及論證數(shù)學(xué)知識、建構(gòu)數(shù)學(xué)概念、探索數(shù)學(xué)規(guī)律和解決數(shù)學(xué)問題。無刻度的直尺和圓規(guī)既是操作的工具，也是數(shù)學(xué)思維的工具模型。從學(xué)習(xí)方式上看，尺規(guī)作圖能將數(shù)學(xué)上原本抽象、乏味的符號知識直觀化，讓學(xué)生具身參與操作，有助于學(xué)生深度理解數(shù)學(xué)知識，培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念、幾何直觀和推理意識。從文化視角上看，尺規(guī)作圖背后蘊藏著數(shù)學(xué)理性精神、數(shù)學(xué)美學(xué)等豐富的文化要素。

在對默會知識的內(nèi)涵特征和小學(xué)數(shù)學(xué)尺規(guī)作圖的詮釋中不難看出：默會知識和小學(xué)數(shù)學(xué)尺規(guī)作圖有著重要聯(lián)系，學(xué)生在尺規(guī)作圖時需要默會知識支撐，而尺規(guī)作圖也是培育默會知識、提升核心素養(yǎng)的有效途徑。

二、審視：默會知識支撐尺規(guī)作圖

結(jié)合默會知識與尺規(guī)作圖的內(nèi)涵意義及教學(xué)實踐，筆者發(fā)現(xiàn)默會知識能支撐學(xué)生在尺規(guī)作圖的實際情境中完成對應(yīng)任務(wù)。尺規(guī)作圖需要默會知識的支撐，主要原因可歸結(jié)為以下三個方面。

1.認(rèn)知維度默會知識，提供程序支撐

認(rèn)知維度的默會知識是顯性知識獲得的基礎(chǔ)，它對個體的行為有重要影響，在尺規(guī)作圖中主要表現(xiàn)為：作圖的直覺方法、工具的合理利用、結(jié)論的嚴(yán)謹(jǐn)推演等。雖然個體難以發(fā)現(xiàn)自身的認(rèn)知模式，但認(rèn)知模式對個體的行為卻有重要影響。如通過作圖認(rèn)識三角形的周長，認(rèn)知維度的默會知識能幫助學(xué)生明確三角形各邊長與周長的關(guān)系，學(xué)生能生成將三角形周長轉(zhuǎn)化成一維線段長度之和的直覺，進(jìn)而獲得合理利用直尺和圓規(guī)將三角形三條邊畫到一條直線上的探究方案，從中進(jìn)一步感悟知識的本質(zhì)。

2.實踐維度默會知識，提供遷移支撐

實踐維度的默會知識與問題解決有著重要聯(lián)系，它能助推個體在具體情境中順利解決問題，屬于默會知識領(lǐng)域中的技能。實踐維度的默會知識往往依附于個體，隨著個體認(rèn)知的提升而提升，需要個體在實踐中不斷積累，進(jìn)而遷移到新的任務(wù)中。尺規(guī)作圖是學(xué)生在教師的引導(dǎo)下運用無刻度直尺和圓規(guī)，在手腦相協(xié)同的過程中，通過動手操作來體驗數(shù)學(xué)知識、感悟數(shù)學(xué)思想、發(fā)展核心素養(yǎng)的學(xué)習(xí)方式，具有很強的實踐性和遷移性。比如學(xué)生在利用尺規(guī)作等長線段的過程中獲得的方法和技能就屬于實踐維度的默會知識，當(dāng)學(xué)生遇到利用尺規(guī)作圖將三角形三邊畫到一條直線上的問題時，就能將此默會知識遷移過來應(yīng)對。

3.情感維度默會知識，提供方向支撐

情感維度的默會知識主要是指個體在無意識情況下調(diào)節(jié)或轉(zhuǎn)變個人情感態(tài)度的默會知識。研究表明，學(xué)生的認(rèn)知過程與其情感密切相關(guān)，認(rèn)知內(nèi)容、方式方法等都受到情感維度的默會知識的影響。情感維度的默會知識能引領(lǐng)自身向積極的方向前進(jìn)。義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程第三學(xué)段尺規(guī)作圖在教學(xué)提示中指出“要引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷基于給定線段用直尺和圓規(guī)畫三角形的過程”，這個任務(wù)中三角形第三個頂點的確定比較困難，但情感維度的默會知識豐富的學(xué)生能在不斷嘗試、試錯、調(diào)整中向積極的方向前行，最終探究出作圖方法、掌握作圖原理。

三、探尋：默會知識視域下尺規(guī)作圖教學(xué)的路徑

基于以上各維度默會知識對尺規(guī)作圖的支撐分析及筆者對尺規(guī)作圖的教學(xué)實踐，在默會知識視域下尺規(guī)作圖教學(xué)可以從以下三方面入手。

1.選定原點：提煉核心問題，激活認(rèn)知維度默會知識

核心問題是一節(jié)課中最重要的問題，相對而言也是大問題，它是課堂的主線，是引領(lǐng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的關(guān)鍵，教師的“教”與學(xué)生的“學(xué)”都圍繞核心問題的解決而展開。核心問題不僅能串聯(lián)和銜接課堂教學(xué)，而且直指數(shù)學(xué)知識本質(zhì)，能促進(jìn)學(xué)生從概念表層向數(shù)學(xué)本質(zhì)深入，從而逐步理解所學(xué)知識，發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。在高觀點統(tǒng)領(lǐng)下審視尺規(guī)作圖的內(nèi)容，提煉統(tǒng)攝性、內(nèi)核性的核心問題，把零散的知識、技能串聯(lián)起來，可以有效激活學(xué)生認(rèn)知維度的默會知識。

（1）梳理情境脈絡(luò)，確定思維起始點

默會知識具有情境性的特征。波蘭尼認(rèn)為感知是從整體上對線索的把握，任何認(rèn)識活動人們都需要注意到認(rèn)識的整體情境，默會知識需要在情境中獲得，個體默會知識也需要在具體情境中被激活。雖然教材將數(shù)學(xué)知識按學(xué)段分散編排，但數(shù)學(xué)知識具有結(jié)構(gòu)化、連貫性和整體性的特點，教師教學(xué)之前應(yīng)該確定知識的起點，從整體把握教學(xué)方向。比如，《課程標(biāo)準(zhǔn)》把“認(rèn)識三角形和四邊形，會根據(jù)圖形特征對三角形和四邊形進(jìn)行分類”安排在第二學(xué)段，把“知道三角形任意兩邊之和大于第三邊”安排在第三學(xué)段，在相應(yīng)單元分別增加了有關(guān)尺規(guī)作圖的內(nèi)容。默會知識的特征要求教師要對知識脈絡(luò)進(jìn)行整體梳理，確定學(xué)生思維的起點，進(jìn)而提煉核心問題。這樣，能充分激活學(xué)生認(rèn)知維度的默會知識，幫助學(xué)生溝通知識的來龍去脈，建立知識間的聯(lián)系。

（2）立足學(xué)科本質(zhì)，確定思維進(jìn)階點

學(xué)科本質(zhì)指某個教學(xué)主題中最原始、樸素、根本的觀念、思想和方法。數(shù)學(xué)教材是以“明線”的方式呈現(xiàn)知識，而數(shù)學(xué)本質(zhì)則以“暗線”的方式隱藏其中。教師教學(xué)時要找準(zhǔn)隱藏其間的“暗線”，把握其中的數(shù)學(xué)要素。尺規(guī)作圖不僅是一種操作的過程，更是數(shù)學(xué)思維直觀體現(xiàn)的過程，是聯(lián)系、重構(gòu)、內(nèi)化知識的過程，它是培養(yǎng)學(xué)生幾何直觀、推理意識和數(shù)學(xué)品格的重要渠道。立足學(xué)科本質(zhì)確立的核心問題往往具有內(nèi)核性，能引導(dǎo)學(xué)生深入探究知識的內(nèi)涵意義及背后的思想方法，激勵學(xué)生深入思考、深度體驗、深刻建構(gòu)，促使學(xué)生思維及對知識理解的進(jìn)階。

2.緊扣重點：巧設(shè)關(guān)鍵活動，積累實踐維度默會知識

默會知識具有實踐性的特征，實踐維度的默會知識需要個體在不斷的實踐中積累。教師要讓學(xué)生通過觀察、操作、歸納、類比、推理等數(shù)學(xué)活動，體驗到數(shù)學(xué)問題的探索性和挑戰(zhàn)性，在實踐中感受到數(shù)學(xué)思考的嚴(yán)謹(jǐn)性和數(shù)學(xué)結(jié)論的確定性。這些數(shù)學(xué)活動有助于學(xué)生實踐維度的默會知識的積累，能促進(jìn)學(xué)生思路與思維的銜接、直觀向抽象的跨越、學(xué)知向創(chuàng)造的轉(zhuǎn)化。

（1）恰當(dāng)?shù)幕顒臃绞?，促思路與思維銜接

恰當(dāng)?shù)幕顒臃绞侥芤龑?dǎo)學(xué)生在探究中實現(xiàn)數(shù)學(xué)內(nèi)涵的“再發(fā)現(xiàn)”，促進(jìn)學(xué)生思路與思維的高效銜接。學(xué)生除了要掌握作圖技能，還要從中理解數(shù)學(xué)概念、探索規(guī)律、把握數(shù)學(xué)本質(zhì)、厘清思維路徑。因此，在尺規(guī)作圖教學(xué)中教師要選擇恰當(dāng)?shù)幕顒臃绞剑箤W(xué)生在思路與思維的銜接中積累實踐維度的默會知識。比如，在“作等長線段”的尺規(guī)作圖教學(xué)中，不能讓學(xué)生死記硬背作圖步驟或跟著教師亦步亦趨，而要鼓勵學(xué)生在不斷嘗試的過程中發(fā)現(xiàn)問題、及時調(diào)整，從中形成對圖形的感知，體會兩點確定一條線段的意義，在初步學(xué)會使用圓規(guī)的同時，感受尺規(guī)作圖的奇妙與趣味。

（2）合理的活動層次，促直觀向抽象躍遷

合理的活動層次能幫助學(xué)生在抽象概念的具體感知中獲得“再發(fā)現(xiàn)”，促進(jìn)學(xué)生由直觀向抽象有效躍遷。小學(xué)階段加入尺規(guī)作圖的重要意義是讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性，但小學(xué)階段的幾何內(nèi)容以描述性的直觀幾何為主。因此，在進(jìn)行尺規(guī)作圖教學(xué)時，活動的層次尤為關(guān)鍵。筆者在“作等長線段”的教學(xué)時設(shè)計了三個層次的關(guān)鍵活動：①作一條線段等于已知線段。②比一比哪個圖形周長更長。③找一找“寶物”在哪里。學(xué)生在“做數(shù)學(xué)”的過程中喚醒了原有認(rèn)知，感受到了兩點確定一條線段的意義；在“作比較”的過程中體悟到了線段的可加性；在找一找的過程中進(jìn)行深度思考……既為后續(xù)畫三角形做鋪墊，也明白了所運用到的尺規(guī)作圖的原理。三個關(guān)鍵活動層層遞進(jìn)，學(xué)生在動手和動腦的過程中思維不斷由直觀向抽象跨越，實踐維度的默會知識也得到不斷豐富。

（3）完整的探究過程，促學(xué)知向創(chuàng)造轉(zhuǎn)化

完整的探究過程能促使學(xué)生感悟數(shù)學(xué)“再發(fā)現(xiàn)”的一般過程，感悟數(shù)學(xué)中常用的思想方法，深刻理解數(shù)學(xué)知識，促進(jìn)學(xué)生由學(xué)習(xí)知識向創(chuàng)造知識轉(zhuǎn)化。比如，筆者在教學(xué)“三角形三邊關(guān)系”時，先讓學(xué)生對三角形的三邊關(guān)系進(jìn)行合理猜想，進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生通過圓規(guī)和直尺進(jìn)行驗證，最后組織學(xué)生交流表達(dá)驗證的方法及過程。在合理猜想、動手實踐、驗證猜想、歸納說理的完整探究過程中，學(xué)生深刻理解三角形的三邊關(guān)系，感悟數(shù)學(xué)探究常用的方法，學(xué)生對數(shù)學(xué)的認(rèn)知從概念表層向數(shù)學(xué)本質(zhì)進(jìn)階，學(xué)生的推理意識和創(chuàng)新意識得以發(fā)展。

3.架構(gòu)支點：適時感悟反思，豐盈情感維度默會知識

默會知識具有不可言傳性的特征，造成默會知識不可言傳的根本原因在于默會知識是一種身心合一的認(rèn)識活動，是一種整體的活動。默會知識的不可言傳性并不是指不能談?wù)?，它是可以通過實踐、體驗、感悟被傳遞和獲得的。因此，適時的感悟反思有助于豐盈學(xué)生情感維度的默會知識。感悟反思不是對尺規(guī)作圖的過程進(jìn)行籠統(tǒng)而簡單的回顧，而是要對尺規(guī)作圖過程中關(guān)鍵節(jié)點進(jìn)行具體回顧及結(jié)構(gòu)上的整體反思；不僅要感悟?qū)W會了怎樣的知識，還要從怎樣學(xué)會的反思中感悟數(shù)學(xué)思想；不僅要感悟取得了哪些成功發(fā)現(xiàn)，也要反思實踐過程中的錯誤、挫折及其調(diào)整的方法，從中體驗積極的情感態(tài)度，積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，為后續(xù)的學(xué)習(xí)提供研究方向的支撐。比如，筆者在“作三角形”的尺規(guī)作圖教學(xué)時發(fā)現(xiàn)學(xué)生能想到利用之前學(xué)過的知識將其中一條線段作為三角形的一條邊，但對于如何把另外兩條線段的端點連接起來得到三角形的第三個頂點有不小困難。教師要鼓勵學(xué)生把作圖過程中的困惑和感受表達(dá)出來，在表達(dá)交流中培育學(xué)生積極的情感態(tài)度，不斷豐盈學(xué)生的情感維度的默會知識。

綜上，尺規(guī)作圖具有豐富的育人價值，對學(xué)生默會知識的培育及數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的提升具有重要意義。因此，在尺規(guī)作圖教學(xué)中教師不光要讓學(xué)生掌握作圖方法，更要注重學(xué)生默會知識的激活及培養(yǎng)，幫助學(xué)生實現(xiàn)由直觀認(rèn)識到抽象推理的蛻變，使學(xué)生體會到數(shù)學(xué)思想的統(tǒng)一、推理過程的嚴(yán)謹(jǐn)、作圖痕跡的簡潔、細(xì)致操作的精準(zhǔn)，從而培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。