“問(wèn)題導(dǎo)學(xué)”復(fù)習(xí)課問(wèn)題設(shè)計(jì)藝術(shù)
——以“圓錐曲線(xiàn)離心率求值與范圍問(wèn)題”教學(xué)為例

廣西南寧市第三中學(xué)（530021） 陶新軍 陳華曲

筆者曾有幸聽(tīng)了兩位教師教學(xué)“圓錐曲線(xiàn)離心率求值與范圍問(wèn)題”的同課異構(gòu)課，并從“如何設(shè)計(jì)問(wèn)題”這一角度進(jìn)行了點(diǎn)評(píng)。之所以選擇從“如何設(shè)計(jì)問(wèn)題”的角度進(jìn)行點(diǎn)評(píng)，是因?yàn)槲倚５狞S河清校長(zhǎng)在教學(xué)實(shí)踐中探索出了“問(wèn)題導(dǎo)學(xué)”教學(xué)法，其涉及新授課教學(xué)模式與復(fù)習(xí)課教學(xué)模式。其中，“問(wèn)題導(dǎo)學(xué)”復(fù)習(xí)課教學(xué)模式包括知識(shí)回顧、自主構(gòu)建、應(yīng)用探索、總結(jié)歸納四個(gè)環(huán)節(jié)。每一個(gè)環(huán)節(jié)都有導(dǎo)向性的問(wèn)題，教師合理設(shè)計(jì)問(wèn)題，才能更好地引導(dǎo)學(xué)生思考，進(jìn)而提高學(xué)生的思維能力。但是，提問(wèn)要與學(xué)生的智力水平和知識(shí)水平相適應(yīng)，讓學(xué)生“跳一跳，能摘到果子”。那么，教師怎樣才能在教學(xué)中問(wèn)到“點(diǎn)子”上呢？筆者以“圓錐曲線(xiàn)離心率求值與范圍問(wèn)題”的教學(xué)設(shè)計(jì)為例對(duì)如何設(shè)計(jì)問(wèn)題進(jìn)行評(píng)析。

“圓錐曲線(xiàn)離心率求值與范圍問(wèn)題”的教學(xué)設(shè)計(jì)如下：

一、教材分析

離心率是刻畫(huà)橢圓的扁平程度和雙曲線(xiàn)的開(kāi)口大小的一個(gè)量。求離心率的大小和范圍問(wèn)題是高考的熱點(diǎn)和難點(diǎn)。離心率問(wèn)題既可以考查圓錐曲線(xiàn)的定義和性質(zhì)，又可以綜合考查平面幾何、三角函數(shù)、平面向量等內(nèi)容，還可以考查考生的邏輯推理能力、運(yùn)算能力、空間想象能力，更可以考查數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸、函數(shù)與方程等數(shù)學(xué)思想方法。因此，它備受命題者青睞。在高考第一輪復(fù)習(xí)中，我們不僅要求“全”，而且要求“聯(lián)”。在高考第二輪復(fù)習(xí)中，我們不再要求“全”，而應(yīng)要求“變”。基于以上理念，筆者設(shè)計(jì)了本課教學(xué)。

本節(jié)課是求圓錐曲線(xiàn)離心率問(wèn)題的復(fù)習(xí)課，旨在通過(guò)精心設(shè)計(jì)課堂教學(xué)活動(dòng)，鞏固學(xué)生的基礎(chǔ)知識(shí)，完善學(xué)生的知識(shí)結(jié)構(gòu)，促進(jìn)學(xué)生掌握解決問(wèn)題的方法。

二、教學(xué)設(shè)計(jì)

（一）知識(shí)回顧

如圖1所示。

問(wèn)題1：在橢圓和雙曲線(xiàn)中哪些線(xiàn)段分別表示a,b,c？

設(shè)計(jì)意圖：復(fù)習(xí)橢圓、雙曲線(xiàn)a,b,c和對(duì)應(yīng)線(xiàn)段的關(guān)系，復(fù)習(xí)離心率的定義和范圍。

（二）自主構(gòu)建

問(wèn)題2：你們能解答下面的題目，并比較它們的相同點(diǎn)和不同點(diǎn)嗎？

設(shè)計(jì)意圖：這兩道題目的共同點(diǎn)是可以直接求解a,c，也可以直接求解離心率；不同點(diǎn)是第（1）題已知a,b，可以求c；第（2）題已知b,c，可以求a。

［例1］若雙曲線(xiàn)(a＞0,b＞0)的一條漸近線(xiàn)被圓(x-2)2+y2=4 所截得的弦長(zhǎng)為2，則橢圓C的離心率為_(kāi)_______。

［思路引導(dǎo)一］

師：例1和前面兩題有什么區(qū)別？

生：前面兩題直接可以求解a,b,c,例1 不能直接求解。

師：如何尋找關(guān)于a,b,c的等量關(guān)系？

生：可以從幾何圖形中尋找。

師：請(qǐng)?jiān)谌切伪尘跋聦ふ谊P(guān)于a,b,c的等量關(guān)系。如圖2，在△OAB中，AB=2，OB=2，可以求解哪條線(xiàn)段的長(zhǎng)度？

圖2

生：通過(guò)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式可以列出關(guān)于a,b,c的方程。

［思路引導(dǎo)二］

師：觀(guān)察△OAB，它有何特點(diǎn)？

生：△OAB是正三角形。

師：在△OAB中，∠AOB是多少？

生：∠AOB=。

師：∠AOB和雙曲線(xiàn)中的a,b,c如何建立關(guān)系？

生：tan∠AOB=。

問(wèn)題3：通過(guò)以上題目，你能歸納出求離心率大小的基本步驟嗎？

設(shè)計(jì)意圖：例1 不能直接求a,b,c的值，如何建立關(guān)于a,b,c的等量關(guān)系？通過(guò)教師的引導(dǎo)，學(xué)生探索發(fā)現(xiàn)，建立等量關(guān)系。學(xué)生歸納總結(jié)，教師再補(bǔ)充完善，歸納、總結(jié)求離心率大小的基本步驟：（1）通過(guò)已知條件畫(huà)出幾何圖形；（2）通過(guò)幾何圖形列出關(guān)于a,b,c的等式；（3）解等式（?；癁閍，c的齊次式）。

（三）應(yīng)用探索

圖3

［例2］雙曲線(xiàn)(a＞0,b＞0)的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，若P為雙曲線(xiàn)上的一點(diǎn)，且求雙曲線(xiàn)C離心率的取值范圍。

［思路引導(dǎo)一］

師：例2和例1有何不同？

生：例1是求離心率的大小，例2是求離心率的取值范圍。

師：例2中哪些條件是固定的？

生：|PF1|=2|PF2|。

師：例2中哪些條件是變化的？

生：P為雙曲線(xiàn)上的一動(dòng)點(diǎn)。

師：動(dòng)點(diǎn)意味著變化，變化就會(huì)產(chǎn)生不等關(guān)系，本題中動(dòng)點(diǎn)P在哪些位置有變化？

生：P點(diǎn)從右上方運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)，||PF2的長(zhǎng)度逐漸變??；從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到右下方，||PF2的長(zhǎng)度逐漸變大。

師：你能用a,b,c來(lái)表示這些變化嗎？

生：|PF2|≥c-a。

［思路引導(dǎo)二］

師：觀(guān)察△PF1F2，你能用a,b,c來(lái)表示這些變化嗎？

［思路引導(dǎo)三］

師：我們學(xué)習(xí)了雙曲線(xiàn)的第二定義，|PF2|的長(zhǎng)度如何表示？

師：參考思路引導(dǎo)一，我們能用a,b,c來(lái)表示嗎？

師：本題中雙曲線(xiàn)的范圍是多少？

生：x0≥a，亦即x0=≥a。

問(wèn)題4：通過(guò)以上思路，你能否歸納出求離心率范圍的基本步驟？

設(shè)計(jì)意圖：例2 是求離心率的取值范圍。解答例2 的關(guān)鍵在于確定a,b,c的不等關(guān)系。題目只給了兩焦半徑的等量關(guān)系，難點(diǎn)在于挖掘題目中的隱含條件，確定不等關(guān)系。一方面，可通過(guò)幾何圖形定性分析，找到邊的不等關(guān)系；另一方面，可通過(guò)定量計(jì)算，利用雙曲線(xiàn)的性質(zhì)，由方程過(guò)渡到不等式，從而確定不等關(guān)系。教師引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)歸納出求離心率取值范圍的基本步驟：（1）通過(guò)已知條件畫(huà)出幾何圖形；（2）通過(guò)幾何圖形列出關(guān)于a,b,c的不等式；（3）解不等式（常化為a，c的齊次式）。

設(shè)計(jì)意圖：將圓錐曲線(xiàn)類(lèi)型由雙曲線(xiàn)改為橢圓，其他條件不變，離心率的取值范圍又會(huì)怎樣變化呢？題目的變式，旨在考查學(xué)生在條件變化后對(duì)離心率取值范圍問(wèn)題的掌握情況，滿(mǎn)足不同層次學(xué)生的學(xué)習(xí)需求，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。

（四）總結(jié)歸納

問(wèn)題7：本節(jié)課我們復(fù)習(xí)了哪些知識(shí)？用到了哪些數(shù)學(xué)思想方法？

1.求離心率大小的基本步驟：

（1）通過(guò)已知條件畫(huà)出幾何圖形；

（2）通過(guò)幾何圖形列出關(guān)于a,b,c的等式；

（3）解等式（?；癁閍,c的齊次式）。

2.求離心率取值范圍的基本步驟：

（1）通過(guò)已知條件畫(huà)出幾何圖形；

（2）通過(guò)幾何圖形列出關(guān)于a,b,c的不等式；

（3）解不等式（?；癁閍,c的齊次式）。

3.用到了數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸、函數(shù)與方程等數(shù)學(xué)思想方法。

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生通過(guò)總結(jié)歸納，完善數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)，掌握數(shù)學(xué)思想方法，培養(yǎng)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。

三、教學(xué)反思

復(fù)習(xí)課是比較常見(jiàn)的課型。復(fù)習(xí)是完善學(xué)生知識(shí)結(jié)構(gòu)的關(guān)鍵環(huán)節(jié)。復(fù)習(xí)中，教師應(yīng)設(shè)計(jì)一系列具有遞進(jìn)性、挑戰(zhàn)性和探究性的問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)，進(jìn)行高水平的思維訓(xùn)練。這樣，學(xué)生既可以鞏固數(shù)學(xué)知識(shí)，促進(jìn)知識(shí)內(nèi)化，又可以培養(yǎng)去偽存真、舉一反三的思維能力，逐步提升數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。

以“問(wèn)題”為載體，以學(xué)生的“學(xué)”為目標(biāo)，以教師的“導(dǎo)”為主線(xiàn)組織課堂教學(xué)，是“問(wèn)題導(dǎo)學(xué)”教學(xué)模式的核心。教師在進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，既要考慮知識(shí)之間的聯(lián)系，又要考慮知識(shí)的變化，還要考慮學(xué)情。為此，教師會(huì)對(duì)專(zhuān)業(yè)的知識(shí)進(jìn)行深入的探討和研究，久而久之，教師的專(zhuān)業(yè)水平會(huì)得到極大的提升。

四、教學(xué)評(píng)析

（一）問(wèn)題設(shè)計(jì)要激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣

好的開(kāi)端是成功的一半。若一節(jié)課的開(kāi)始，教師設(shè)計(jì)學(xué)生感興趣的問(wèn)題，會(huì)極大地激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情和學(xué)習(xí)興趣。怎樣才能設(shè)計(jì)學(xué)生感興趣的問(wèn)題呢？教師要在課前做足功課，根據(jù)教學(xué)內(nèi)容提前對(duì)問(wèn)題進(jìn)行預(yù)設(shè)。教師可以結(jié)合當(dāng)前的熱門(mén)事件設(shè)計(jì)問(wèn)題，可以根據(jù)數(shù)學(xué)的發(fā)展與歷史故事設(shè)計(jì)問(wèn)題，可以根據(jù)章頭提示設(shè)計(jì)問(wèn)題。本節(jié)課是高考第二輪復(fù)習(xí)課。復(fù)習(xí)課是教師依據(jù)學(xué)生的記憶規(guī)律，通過(guò)特定的教學(xué)活動(dòng)對(duì)學(xué)生已有的知識(shí)進(jìn)行鞏固、拓展的課型。復(fù)習(xí)課的“知識(shí)回顧”環(huán)節(jié)重點(diǎn)要激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。在教學(xué)中，甲、乙兩位教師一開(kāi)始都給出了近三年高考全國(guó)卷離心率的考點(diǎn)分布圖和離心率的公式。教師甲布置學(xué)生自己看離心率的考點(diǎn)分布圖，然后講解離心率公式。這樣導(dǎo)入課堂就顯得有些嚴(yán)肅，學(xué)生參與度不高。課堂一開(kāi)始，學(xué)生的積極性沒(méi)有被調(diào)動(dòng)起來(lái)，課堂氣氛有些沉悶。教師乙是布置學(xué)生讀有關(guān)離心率的考點(diǎn)，然后提問(wèn)：“離心率考了幾次？”學(xué)生答：“三次。”教師乙說(shuō)：“重要事情說(shuō)三遍，可見(jiàn)離心率很重要?！边@個(gè)提問(wèn)很簡(jiǎn)單，學(xué)生容易回答，一下就激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情和學(xué)習(xí)興趣。這樣的提問(wèn)，不僅有利于本節(jié)課教學(xué)的開(kāi)展，還間接強(qiáng)調(diào)了離心率的重要性。

（二）問(wèn)題設(shè)計(jì)要留夠?qū)W生思考時(shí)間

教師設(shè)計(jì)好問(wèn)題并提問(wèn)學(xué)生后要耐心等待，給學(xué)生足夠的時(shí)間思考、回答，不要?jiǎng)偺岢鲆粋€(gè)問(wèn)題，學(xué)生還沒(méi)回答，又馬上提出下一個(gè)問(wèn)題，導(dǎo)致課堂結(jié)束后還留下多個(gè)問(wèn)題給學(xué)生。有的學(xué)生課后沒(méi)有思考，久而久之也懶得思考，極大地影響了思考問(wèn)題的積極性。

建構(gòu)主義理論認(rèn)為，學(xué)習(xí)不應(yīng)被看成對(duì)教師所授予知識(shí)的被動(dòng)接受，而應(yīng)是學(xué)習(xí)者以自身已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)的主動(dòng)建構(gòu)活動(dòng)。這就要求教師合理引導(dǎo)，把學(xué)習(xí)自主權(quán)交給學(xué)生。下面對(duì)例1進(jìn)行點(diǎn)評(píng)。

點(diǎn)評(píng)：對(duì)于例1，教師用5 分鐘講了兩種解法，還寫(xiě)了板書(shū)，提了8 個(gè)問(wèn)題，時(shí)間很倉(cāng)促，學(xué)生沒(méi)有時(shí)間思考，更不用說(shuō)動(dòng)筆計(jì)算了。教師“滿(mǎn)堂灌”加“滿(mǎn)堂問(wèn)”，上完一節(jié)課，自己很累，而學(xué)生收獲不大。

（三）問(wèn)題設(shè)計(jì)要注意嚴(yán)謹(jǐn)性

數(shù)學(xué)是一門(mén)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)科，教師要利用有限的課堂時(shí)間培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性。教師可以設(shè)計(jì)問(wèn)題，讓學(xué)生回答，學(xué)生回答問(wèn)題時(shí)可能知識(shí)運(yùn)用不嚴(yán)謹(jǐn)，也可能思維不嚴(yán)謹(jǐn)，還可能表述不嚴(yán)謹(jǐn)。教師要不斷發(fā)現(xiàn)學(xué)生存在的問(wèn)題并完善學(xué)生的解答。下面繼續(xù)對(duì)例1進(jìn)行點(diǎn)評(píng)。

點(diǎn)評(píng)：對(duì)于例1，教師先畫(huà)圖，由弦長(zhǎng)是2，半徑是2，可知△AOB是等邊三角形，然后提問(wèn)：“直線(xiàn)的傾斜角為多少？”筆者認(rèn)為這樣提問(wèn)不合理、不嚴(yán)謹(jǐn)。因?yàn)闈u近線(xiàn)有2 條，教師只畫(huà)出了一條。若教師把2 條漸近線(xiàn)都畫(huà)出來(lái)，構(gòu)圖成等邊三角形，然后再提問(wèn)：“漸近線(xiàn)的傾斜角為多少？”這樣更嚴(yán)謹(jǐn)，學(xué)生也不至于漏解。

（四）問(wèn)題設(shè)計(jì)要體現(xiàn)開(kāi)放性

教師設(shè)計(jì)問(wèn)題，不要僅局限于記憶類(lèi)的問(wèn)題，要設(shè)計(jì)一些開(kāi)放性的問(wèn)題，讓學(xué)生“想探索、能探索”，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維。下面對(duì)例2進(jìn)行點(diǎn)評(píng)。

點(diǎn)評(píng)：對(duì)于例2，求離心率范圍，關(guān)鍵是建立a,b,c的不等式，也就是建立|PF2|≥|AF2|=c-a這一關(guān)鍵不等式。教師提問(wèn)：“這里有哪個(gè)特殊點(diǎn)??？”學(xué)生答：“A，F(xiàn)2?！苯處熡謫?wèn)：“哪個(gè)點(diǎn)更特殊？”學(xué)生回答：“A點(diǎn)。”教師再問(wèn)：“難道往無(wú)窮大處就不特殊嗎？”教師的提問(wèn)往答案處引導(dǎo)，這樣和告訴學(xué)生答案類(lèi)似，限制了學(xué)生的思維。本題P點(diǎn)是動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)2是定點(diǎn)，若教師提問(wèn)：“怎樣確定||PF2的范圍？”則更開(kāi)放，更能引發(fā)學(xué)生思考，更有利于提高學(xué)生的思維能力，真正實(shí)現(xiàn)學(xué)科育人。

（五）問(wèn)題設(shè)計(jì)要體現(xiàn)多樣性

教師設(shè)計(jì)問(wèn)題要多樣化，如一節(jié)有記憶類(lèi)的提問(wèn)，有開(kāi)放性的提問(wèn)，還有針對(duì)不同層次學(xué)生的提問(wèn)，避免單一提問(wèn)。如果只問(wèn)成績(jī)好的學(xué)生，成績(jī)不好的學(xué)生就會(huì)想：“反正老師也不會(huì)問(wèn)我，我不用思考了。”這樣，連公平、公正都做不到，非常不利于學(xué)生的成長(zhǎng)。

設(shè)計(jì)問(wèn)題要注意質(zhì)量。有的教師就常問(wèn)“是不是”“對(duì)不對(duì)”，學(xué)生也習(xí)慣性地回答“是”“對(duì)”。這樣的提問(wèn)沒(méi)什么效果。

總之，通過(guò)聽(tīng)課、評(píng)課讓筆者受益匪淺，學(xué)習(xí)他人長(zhǎng)處，提高自我。每次學(xué)習(xí)都讓筆者意識(shí)到自己還有需要提高的地方，這種感覺(jué)讓筆者找到了作為教師有別于其他行業(yè)的責(zé)任感與幸福感。