多思維切入 多方法破解
——一道不等式題的探究

廣西百色民族高級(jí)中學(xué)（533000） 萬(wàn)再興

函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的重要組成部分，雙變?cè)蚨嘧冊(cè)瘮?shù)代數(shù)式的最值問題是函數(shù)的一個(gè)重要題型，也是歷年高考數(shù)學(xué)的熱點(diǎn)問題，其變化多端，形式各樣，難度較大，備受關(guān)注。

一、試題呈現(xiàn)

【試題】（2021 年4 月浙江省高考科目考試紹興市適應(yīng)性數(shù)學(xué)試卷（二模）·8）已知a＞0，b＞0，a2+b2-ab=3，|a2-b2|≤3，則a+b的最小值是（ ）。

二、試題分析

這是一道限制條件下求解雙變?cè)瘮?shù)代數(shù)式的最值問題，這類問題在浙江省高考試卷以及全國(guó)各類數(shù)學(xué)競(jìng)賽試卷中經(jīng)常出現(xiàn)。此題以兩正數(shù)所滿足的二次關(guān)系式、二次絕對(duì)值不等式為問題背景，進(jìn)而確定一次雙變?cè)瘮?shù)代數(shù)式的最小值。

如何找到題目已知關(guān)系式與所求代數(shù)式之間的聯(lián)系，找準(zhǔn)思維視角合理切入最為關(guān)鍵，其中合理的變形與轉(zhuǎn)化是發(fā)現(xiàn)規(guī)律的重要一環(huán)。

三、破解方法

思維視角一：不等式角度

方法1：配方法一

解析：由|a2-b2|≤3，兩邊平方并配方整理可得(a2+b2)2-4a2b2≤9，

結(jié)合a2+b2=ab+3，可得(ab+3)2-4a2b2≤9，即3a2b2-6ab≥0，解得ab≥2，

又結(jié)合基本不等式有ab+3=a2+b2≥2ab，解得ab≤3，即ab∈[ 2,3 ]，

所以(a+b)2=a2+b2+2ab=ab+3+2ab=3ab+3 ∈[ 9,12 ]，即a+b∈

則a+b的最小值為3，故答案選B。

方法2：配方法二

解析：由于a＞0，b＞0，a2+b2-ab=3，|a2-b2|≤3，

結(jié)合基本不等式有3+ab=a2+b2≥2ab，解得ab≤3，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號(hào)成立，

則有(a+b)2=3+3ab，(a-b)2=3-ab，

由|a2-b2|≤3，可 得|(a+b)(a-b)|≤3，即(3+3ab)(3-ab) ≤9，解得2 ≤ab≤3，

所以(a+b)2=a2+b2+2ab=ab+3+2ab=3ab+3 ∈[ 9,12 ]，即a+b∈

則a+b的最小值為3，故答案選B。

點(diǎn)評(píng)：配方法處理，主要是根據(jù)題目中代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征，有效結(jié)合平方、等量變換、基本不等式等相關(guān)知識(shí)以實(shí)現(xiàn)巧妙配方。從不同視角來合理配方，借助條件關(guān)系式的變形代入，結(jié)合不等式的求解確定對(duì)應(yīng)的不等式，是解決問題的關(guān)鍵所在。

方法3：?jiǎn)巫兞繐Q元法

解析：設(shè)t=a+b＞0，

點(diǎn)評(píng)：?jiǎn)巫兞繐Q元法，往往是對(duì)所求的代數(shù)關(guān)系式或題目條件中的特殊代數(shù)關(guān)系式進(jìn)行整體化換元處理，合理引入?yún)?shù)進(jìn)行換元，進(jìn)而將相關(guān)其他變量均轉(zhuǎn)化為同一參數(shù)，結(jié)合關(guān)系式的變形與轉(zhuǎn)化，再加以分析與處理。以上方法中，引入?yún)?shù)t來表示所求的代數(shù)式a+b，借助單變量換元，結(jié)合已知條件中的關(guān)系式，合理構(gòu)建a2+b2，a+b，a-b及ab之間的關(guān)系，并全部表示為關(guān)于參數(shù)的關(guān)系式，再進(jìn)行分析與處理。

方法4：雙變量換元法

解析：設(shè)x=a+b＞0，y=a-b，則有2a=x+y＞0，2b=x-y＞0，則有-x＜y＜x，即|y|＜x，

點(diǎn)評(píng)：雙變量換元法是解決復(fù)雜代數(shù)式問題的一大方法技巧。關(guān)鍵是應(yīng)用整體思維，通過雙變量換元進(jìn)行化歸與轉(zhuǎn)化，進(jìn)而通過不等式組的求解來確定有關(guān)參數(shù)的最值。以上方法中，引入?yún)?shù)來表示所求的代數(shù)式，并借助雙變量換元，及結(jié)合已知條件中的關(guān)系式，合理構(gòu)建兩變量之間的關(guān)系，為進(jìn)一步的分析與處理打下基礎(chǔ)。

思維視角二：函數(shù)角度

方法5：三角換元法

則a+b的最小值為3，故答案選B。

點(diǎn)評(píng)：三角換元法是處理一些代數(shù)關(guān)系式問題時(shí)比較常用的一種方法，也是從函數(shù)角度處理此類問題的最常用方法之一。三角換元法往往利用雙變?cè)钠椒胶蜑? 等結(jié)構(gòu)特征加以合理構(gòu)建，配方處理是解決問題的關(guān)鍵。三角換元后，合理的三角恒等變形以及三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)的應(yīng)用是關(guān)鍵。以上方法中，根據(jù)題目條件中的平方關(guān)系式合理配方，進(jìn)行三角換元處理，為問題的進(jìn)一步處理提供條件。

方法6：比值換元法

解析：不失一般性，不妨設(shè)a≥b＞0，

根據(jù)已知條件可得a2-b2≤3=a2+b2-ab，解得a≤2b，即0 ＜b≤a≤2b，

點(diǎn)評(píng)：比值換元法是處理一些雙變?cè)鷶?shù)式關(guān)系時(shí)經(jīng)常用到的一種方法，技巧性強(qiáng)，通過比值換元以及變量代換，結(jié)合齊次化處理以及函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，很好地融合了相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)與能力。以上方法中，通過比值的設(shè)置，平方化處理所求的代數(shù)關(guān)系式，借助齊次化處理，轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，進(jìn)而巧妙利用相應(yīng)的函數(shù)來分析與處理。

思維視角三：幾何角度

方法7：構(gòu)造三角形法

則a+b的最小值為3，故答案選B。

點(diǎn)評(píng)：合理聯(lián)想，結(jié)合代數(shù)關(guān)系式的結(jié)構(gòu)特征，巧妙構(gòu)造相應(yīng)的平面幾何、平面向量、空間向量等相關(guān)模型，把代數(shù)問題幾何化。直觀分析，數(shù)形結(jié)合，是解決問題的常用方法。以上方法中，結(jié)合條件中的關(guān)系式聯(lián)想到三角形的余弦定理，構(gòu)造對(duì)應(yīng)的三角形，把代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題來分析與處理，思維巧妙，視角特殊。

四、規(guī)律總結(jié)

破解雙變?cè)蚨嘧冊(cè)瘮?shù)代數(shù)式的最值問題時(shí)，應(yīng)利用題目已知關(guān)系式與所求代數(shù)式之間的聯(lián)系合理配湊與巧妙轉(zhuǎn)化出滿足條件的關(guān)系式，從而有效破解問題。其中，比較常用的解題通法以及思維角度主要有以下幾種：

（1）不等式角度：分析題目條件或結(jié)論中對(duì)應(yīng)代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征，合理配湊，利用不等式的基本性質(zhì)、基本不等式、求解不等式（組）、一些重要不等式（柯西不等式、權(quán)方和不等式等）等來分析與轉(zhuǎn)化，進(jìn)而確定對(duì)應(yīng)函數(shù)的最值。

（2）函數(shù)角度：根據(jù)題目條件，通過巧妙轉(zhuǎn)化或合理?yè)Q元處理等引入新參數(shù)，構(gòu)建關(guān)于某個(gè)變量的函數(shù)關(guān)系式，利用函數(shù)（如二次函數(shù)、三角函數(shù)等）的圖像與性質(zhì)等來分析與求解函數(shù)的最值。

（3）幾何角度：根據(jù)題目條件，結(jié)合代數(shù)式的幾何性質(zhì)或幾何意義，合理抽象，以“形”助“數(shù)”，通過數(shù)形結(jié)合，將抽象的數(shù)量關(guān)系直觀形象化，從而分析與求解函數(shù)的最值。

從代數(shù)角度（函數(shù)或不等式等）或幾何角度等進(jìn)行分析與處理，是解決雙變?cè)瘮?shù)代數(shù)式的最值問題的常見技巧方法。具體解決問題時(shí)，要正確分析題目條件，從正確的思維視角切入，匹配與之對(duì)應(yīng)的特殊數(shù)學(xué)模型，從而形成技巧方法與解題策略，這才是解決問題的根本與目的所在，也是解題研究的最高境界。因而，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生在解題后學(xué)會(huì)舉一反三，靈活變通，真正達(dá)到融會(huì)貫通，從而有效提升學(xué)生的思維品質(zhì)和數(shù)學(xué)能力，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。