軌道不平順對(duì)單軌橇車結(jié)構(gòu)動(dòng)力影響分析

孫其會(huì)，夏有財(cái)，袁子洋，商青包

(中國(guó)華陰兵器試驗(yàn)中心， 陜西 華陰 714200)

1 引言

火箭橇是采用火箭發(fā)動(dòng)機(jī)為動(dòng)力，以橇車為載具推動(dòng)被試品在軌道上滑行，以模擬被試品運(yùn)行狀態(tài)的地面動(dòng)態(tài)試驗(yàn)設(shè)備[1-2]，如圖1所示?；鸺猎囼?yàn)系統(tǒng)通常包括火箭橇軌道、橇車(包含發(fā)動(dòng)機(jī))、外測(cè)設(shè)備、數(shù)據(jù)處理設(shè)備、控制設(shè)備等。使用火箭橇開展試驗(yàn)的優(yōu)點(diǎn)是能夠真實(shí)模擬被試品加速過(guò)程，速度、姿態(tài)可控，重復(fù)試驗(yàn)的一致性好，便于設(shè)置電磁、紅外干擾等特定環(huán)境條件。由于火箭橇橇車通過(guò)滑靴與軌道連接并在軌道滑行[3]，其狀態(tài)與實(shí)際飛行的區(qū)別在于橇車與軌道接觸中產(chǎn)生振動(dòng)，且由于部分被試品如導(dǎo)引頭、引信等對(duì)振動(dòng)有嚴(yán)格要求，振動(dòng)幅度過(guò)大將導(dǎo)致被試品損壞。因此，有效控制橇車在運(yùn)行過(guò)程中的振動(dòng)是非常有必要的。

圖1 美國(guó)單軌火箭橇圖

火箭橇軌道不平順是橇車運(yùn)行過(guò)程中振動(dòng)的主要原因。張立乾等分別基于梁跨周期諧波激勵(lì)及美國(guó)六級(jí)軌道譜的隨機(jī)不平順開展橇車動(dòng)力響應(yīng)分析，計(jì)算單軌橇車的垂向加速度[4]。趙華等依據(jù)剛體動(dòng)力學(xué)理論，推導(dǎo)建立火箭橇動(dòng)力學(xué)方程組，通過(guò)三角級(jí)數(shù)法將軌道不平順功率譜轉(zhuǎn)化為空間域的不平順，完成橇車垂向振動(dòng)的計(jì)算[5]。夏洪利等運(yùn)用顯式動(dòng)力學(xué)分析理論，加載滑靴間隙、軌道不平順等模擬真實(shí)環(huán)境，仿真分析了火箭橇滾轉(zhuǎn)特性[6]。楊珍等在激光跟蹤儀測(cè)試軌道不平順并建立3階多段樣條曲線的基礎(chǔ)上，利用有限元結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)軟件對(duì)滑靴振動(dòng)量進(jìn)行分析[7]。董龍雷等以滑軌的動(dòng)態(tài)響應(yīng)作為火箭橇的基礎(chǔ)激勵(lì)條件，計(jì)算橇車的位移響應(yīng)譜，并轉(zhuǎn)換為軌道的空間譜，完成軌道的路譜特性分析[8]。

軌道不平順的測(cè)試與分析是開展試驗(yàn)方案擬制、橇車結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)等工作的重要基礎(chǔ)。研究表明軌道不平順是一個(gè)隨機(jī)過(guò)程[9]。由于在軌道測(cè)量中通常采用固定間隔方式進(jìn)行取點(diǎn)測(cè)試，雖然在理論上可以采取減小間隔以提高擬合精度，但是在橇車高速運(yùn)行時(shí)，單位長(zhǎng)度需參與計(jì)算的不平順數(shù)據(jù)點(diǎn)值將大幅增加，僅依賴測(cè)量值無(wú)法完成運(yùn)算。而采用插值擬合不能準(zhǔn)確反映軌道的隨機(jī)特征。隨機(jī)過(guò)程的能量一般是無(wú)限的，但其平均功率是有限的，因此多采用功率譜密度進(jìn)行描述[10-14]。

通過(guò)建立橇車、軌道有限元模型并進(jìn)行橇車動(dòng)力計(jì)算的方法結(jié)果精度高，但僅適用于特定速度、短距離(數(shù)量級(jí)為米)運(yùn)行分析。對(duì)于橇車從靜止開始加速的長(zhǎng)距離運(yùn)行全程，由于軌道單元數(shù)量過(guò)大造成計(jì)算時(shí)間偏長(zhǎng)，因此采取簡(jiǎn)化橇車部分結(jié)構(gòu)特征并進(jìn)行理論計(jì)算，可有效提高關(guān)鍵參數(shù)的計(jì)算效率。

本文對(duì)某火箭橇軌道垂向不平順檢測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，獲取其功率譜密度函數(shù)，利用諧波函數(shù)疊加法進(jìn)行垂向不平順重構(gòu)。選取垂向位移、俯仰角度、軸向位移等為廣義變量，開展了橇車運(yùn)行速度、垂向加速度等動(dòng)力特征參數(shù)的計(jì)算。

2 橇車動(dòng)力特性分析方法

2.1 軌道不平順的功率譜密度分析

隨機(jī)信號(hào)是時(shí)域無(wú)限信號(hào)，不具備積分條件，一般不能進(jìn)行傅里葉變換，但可以采用功率譜密度進(jìn)行譜分析。根據(jù)維納-辛欽定理，信號(hào)的功率譜密度等于該信號(hào)相關(guān)函數(shù)的傅里葉變換，即

(1)

式中：Sx(ω)為功率譜密度，Rx(τ)為自相關(guān)函數(shù)。由于在軌道檢測(cè)中，ω>0，因此使用單邊功率譜進(jìn)行表述:

Gx(ω)=2Sx(ω)

(2)

根據(jù)式(2)可推導(dǎo)得到：

(3)

式中：x為軌道長(zhǎng)度自變量，T為周期，y(x)為軌道垂向不平順。若檢測(cè)樣本數(shù)為N，采樣間隔為T/N，則式(3)積分可變換為求和，可得到周期圖算法公式[15]：

(4)

周期圖譜法分辨率較低，同時(shí)由于信號(hào)截?cái)?，造成頻譜能量泄露，產(chǎn)生旁瓣畸變。P.D.Welch提出改進(jìn)周期圖法，將采樣數(shù)據(jù)分段，并與窗函數(shù)相乘，分別算出功率譜密度，然后計(jì)算其平均值。Welch法集平均與平滑的優(yōu)點(diǎn)于一體，在控制譜估計(jì)偏差特性上更靈活，方差特性也較周期圖法有了較大改善，但譜線分辨率有所下降。其離散形式定義為：

(5)

式中：G(fk)為功率譜密度函數(shù)，M為子段點(diǎn)數(shù)，L為分段個(gè)數(shù)，當(dāng)相鄰子段間重疊M/2點(diǎn)時(shí)，

(6)

2.2 軌道不平順的重構(gòu)

選擇諧波法對(duì)軌道垂向不平順進(jìn)行重構(gòu)。以fk為中心頻率、范圍為[-Δf/2, Δf/2]的頻率區(qū)間的功率為G(fk)Δf；f0頻率區(qū)間為[0, Δf/2]。因此，每fk區(qū)間內(nèi)功率譜就是諧波Aksin(2πfkx)的譜值，可得：

(7)

在f=0時(shí)，

(8)

故軌道垂向不平順可表述為[13]：

(9)

式中：G(fk)為fk對(duì)應(yīng)的功率譜密度值，φk為[0，2π]的隨機(jī)值。故在得到G(fk)后，即獲得h(x)，該函數(shù)實(shí)質(zhì)上是一系列確定性諧波函數(shù)的疊加。

使用諧波疊加進(jìn)行軌道垂向不平順重構(gòu)，階數(shù)是重要的參數(shù)。階數(shù)越高，重構(gòu)的結(jié)果越好。但是隨著階數(shù)變高，重構(gòu)軌道不平順的計(jì)算量變大。同時(shí)由于高階頻率對(duì)應(yīng)的功率譜密度值遠(yuǎn)小于峰值，該區(qū)域頻率重構(gòu)結(jié)果的影響可以忽略。因此，通常需要綜合考慮功率譜密度幅值、計(jì)算時(shí)長(zhǎng)等因素，選擇適當(dāng)?shù)碾A數(shù)。

2.3 單軌橇車的動(dòng)力方程

使用拉格朗日方程法進(jìn)行橇車動(dòng)力分析。動(dòng)能T以及勢(shì)能V表示為：

(10)

(11)

對(duì)單軌撬車運(yùn)動(dòng)動(dòng)力過(guò)程進(jìn)行簡(jiǎn)化，軌道頂面為不平順表面，側(cè)面及底面為光滑表面。橇車簡(jiǎn)化為剛體桿狀結(jié)構(gòu)，通過(guò)滑靴與軌道接觸。計(jì)算過(guò)程中，考慮火箭發(fā)動(dòng)機(jī)推力、空氣阻力、摩擦阻力及阻尼力等。

選擇橇車質(zhì)心的軸向位移x、垂向位移z、軸向俯仰角度θ作為拉格朗日方程廣義坐標(biāo)。取橇車初始位置為軸向坐標(biāo)原點(diǎn)，勢(shì)能位與軌道頂面基準(zhǔn)面一致。橇車的動(dòng)能T及勢(shì)能分別表示為：

(12)

(13)

式中，x為橇車軸向位移，z為橇車質(zhì)心垂向位移，I為以過(guò)橇車質(zhì)心并垂直于橇車軸向的線為軸的橇車轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，θ為橇車俯仰角度，k為滑靴的彈性系數(shù)，zf為前滑靴與軌道作用產(chǎn)生的變形量，za為后滑靴與軌道作用產(chǎn)生的變形量。

對(duì)應(yīng)于z的垂向上，橇車受到的廣義力包括升力、前后滑靴受到的阻尼力；對(duì)應(yīng)于x的軸向上，橇車受到的力包括發(fā)動(dòng)機(jī)推力、空氣阻力、摩擦阻力；對(duì)應(yīng)于θ的側(cè)向上，橇車受到的廣義力包括前后滑靴阻尼力產(chǎn)生的力矩。將以上受力代入式(11)，可得

FS+DF+DA

(14)

Ft-fx-fa

(15)

lFDF-lADA

(16)

-fx-fa

(17)

式中:VF為前滑靴勢(shì)能，VA為后滑靴勢(shì)能，F(xiàn)t為發(fā)動(dòng)機(jī)推力，fx為滑動(dòng)摩擦力，fa為空氣阻力，lF為前滑靴與橇車質(zhì)心的距離，DF為前滑靴受到的阻尼力，lA為后滑靴與橇車質(zhì)心的距離，DA為后滑靴受到的阻尼力。

在橇車滑行段，F(xiàn)t為0，則式(15)變?yōu)?17)。

由式(14)、(15)、(16)，可以推導(dǎo)橇車的動(dòng)力學(xué)方程為：

(17)

(18)

DF·lF-DA·lA)/I

(19)

2.4 靴軌接觸分析

滑靴在運(yùn)行過(guò)程中與軌道的接觸與受力情況可分為3種狀態(tài)。假設(shè)軌道頂面存在不平順，底面為光滑面，以橇車前滑靴為例，滑靴上、下部分均不與軌道接觸，如圖2所示，橇車所受的力FF為0。

圖2 滑靴與軌道不接觸示意圖

滑靴與軌道上表面接觸時(shí)，如圖3所示。橇車垂向位移滿足：

(20)

此時(shí)滑靴受到的彈性力為：

(21)

式中:y(x+lF)為軌道垂向不平順，lF為前滑靴與橇車質(zhì)心的距離，ξ為滑靴與軌道之間的間隙，取實(shí)際檢測(cè)值2 mm。z為橇車質(zhì)心垂向位移，θ為橇車前后俯仰角，k為彈性系數(shù)。

圖3 滑靴與軌道上表面接觸示意圖

滑靴與軌道下表面接觸時(shí)，如圖4所示。橇車垂向位移滿足：

(22)

圖4 滑靴與軌道下表面接觸示意圖

此時(shí)滑靴受到的彈性力為：

(23)

同理，可推導(dǎo)橇車后滑靴運(yùn)行過(guò)程中受力情況，滑靴與軌道不接觸時(shí)，橇車受到的作用力FA為0。

滑靴與軌道上表面接觸時(shí)，

(24)

(25)

式中:y(x+lA)為軌道垂向不平順，lA為后滑靴與橇車質(zhì)心的距離。

滑靴與軌道下表面接觸時(shí)，

(26)

此時(shí)滑靴受到的彈性力為：

(27)

3 單軌橇車動(dòng)力分析結(jié)果與分析

3.1 軌道不平順功率譜密度

使用激光跟蹤儀進(jìn)行軌道不平順的測(cè)量。測(cè)量方法為：將激光跟蹤儀架設(shè)于被測(cè)量軌道段的中心附近，在儀器坐標(biāo)系內(nèi)分別測(cè)量相鄰兩個(gè)基準(zhǔn)樁，并依據(jù)基準(zhǔn)樁對(duì)軌道高差進(jìn)行測(cè)量。對(duì)測(cè)量得到的數(shù)值進(jìn)行擬合，得到空間直線，并可計(jì)算每一點(diǎn)在垂向的不平順順值。圖5為激光跟蹤儀檢測(cè)軌道示意圖。

圖5 激光跟蹤儀檢測(cè)軌道示意圖

由圖6可知，在該段內(nèi)不平順值在±2 mm范圍內(nèi)變化，且沒有明顯的規(guī)律性。使用改進(jìn)周期圖法對(duì)軌道不平順檢測(cè)數(shù)值進(jìn)行分析，得到其功率譜密度，如圖7所示。從圖中可以看出，功率譜密度存在2個(gè)極大值，分別為0.092 Hz、0.85 Hz。

3.2 不平順的重構(gòu)及橇車垂向振動(dòng)

使用諧波疊加法進(jìn)行軌道不平順重構(gòu)，幅度值由功率譜密度值計(jì)算獲得，相位為[0，2π]之間的隨機(jī)值。分別選取6階、15階、20階諧波函數(shù)進(jìn)行重構(gòu)，軌道不平順如圖8所示。

圖6 軌道不平順部分檢測(cè)曲線

圖7 軌道不平順功率譜密度曲線

圖8 軌道不平順重構(gòu)曲線

以某型單軌橇車開展試驗(yàn)驗(yàn)證。該橇車的質(zhì)量為144.5 kg,前后滑靴距橇車質(zhì)心分別為0.67 m、0.30 m。橇車使用122 mm火箭發(fā)動(dòng)機(jī)驅(qū)動(dòng)，結(jié)合橇軌動(dòng)力分析方程進(jìn)行計(jì)算，軌道不平順采用15階諧波函數(shù)重構(gòu)。 經(jīng)過(guò)計(jì)算可得橇車在2.55 處達(dá)到最大速度，最大速度為287.8 m/s。實(shí)際雷達(dá)得到的最大速度為273.1 m/s，計(jì)算結(jié)果與實(shí)測(cè)值相差約5.4%。因此，上述結(jié)果滿足計(jì)算要求。

圖9為橇車質(zhì)心垂向加速度理論計(jì)算結(jié)果。由圖可知，在橇車加速段內(nèi)，垂向加速度量值約為2～3g，在發(fā)動(dòng)機(jī)燃燒完全(1.89 s)時(shí)垂向加速度達(dá)到峰值，約為8.8g。隨后，2.47 s和2.9 s達(dá)到峰值16.2g和15.9g。橇車實(shí)際運(yùn)行中，檢測(cè)得到的垂向最大加速度為14.5g。計(jì)算值與檢測(cè)值相差11.7%。

圖9 橇車質(zhì)心垂向加速度曲線

圖10為質(zhì)心垂向位移計(jì)算結(jié)果。由圖可知，在加速段內(nèi)，垂向位移變化緩慢；在橇車運(yùn)行速度達(dá)到200 m/s(1.5 s)時(shí)，垂向位移變化劇烈，這與質(zhì)心垂向加速度逐漸增大的趨勢(shì)保持一致。

圖10 橇車質(zhì)心垂向位移曲線

4 結(jié)論

1) 在開展火箭橇軌道不平順檢測(cè)的基礎(chǔ)上，利用改進(jìn)周期方法進(jìn)行功率譜密度分析，可獲取軌道不平順的隨機(jī)特征參數(shù)，并完成軌道不平順重構(gòu)。

2) 簡(jiǎn)化橇車結(jié)構(gòu)并應(yīng)用拉格朗日方程計(jì)算某型單軌橇車的動(dòng)力特征參數(shù)，其最大速度的相對(duì)誤差約為5.4%，質(zhì)心垂向加速度數(shù)值與實(shí)際檢測(cè)值基本一致。該方法可應(yīng)用于試驗(yàn)方案編制及橇車設(shè)計(jì)。