湍流邊界層大尺度相干運(yùn)動的陣列TRPIV測量

王 軒，范子椰，唐湛棋，2，姜 楠，2，*

(1. 天津大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，天津 300354；2. 天津市現(xiàn)代工程力學(xué)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，天津 300354)

0 引 言

湍流大尺度運(yùn)動的研究一直是湍流研究的熱點(diǎn)之一。Kim和Adrian[1]在充分發(fā)展的圓管湍流流向脈動速度的前乘波譜中，發(fā)現(xiàn)其具有兩個(gè)峰值—與小尺度運(yùn)動相關(guān)的高波數(shù)模態(tài)和與超大尺度相關(guān)的低波數(shù)模態(tài)。Guala 和Adrian等[2]在充分發(fā)展的圓管湍流外區(qū)中使用熱膜測量流向瞬時(shí)速度序列，得到超大尺度運(yùn)動存在于對數(shù)律區(qū)，且波長可達(dá)1 6R（R為圓管半徑），而大尺度運(yùn)動存在于整個(gè)邊界層，波長約為2R～3R。Bailey和Smits[3]對圓管流動進(jìn)行了熱線的多點(diǎn)測量，發(fā)現(xiàn)超大尺度運(yùn)動的徑向尺度更大，與壁面的夾角更小，同時(shí)認(rèn)為只有在外層與渦分離了的大尺度運(yùn)動才會形成超大尺度運(yùn)動。王晉軍等[4]通過大視場平板PIV實(shí)驗(yàn)，研究了大尺度運(yùn)動在能量傳遞中的作用，發(fā)現(xiàn)大尺度運(yùn)動的曲折形態(tài)可能在能量轉(zhuǎn)移中起重要作用。

關(guān)于大尺度運(yùn)動對于湍流能量的貢獻(xiàn)，Balakumar和Adrian[5]在零壓力梯度的湍流邊界層和槽道流中以0.1πδ、πδ（δ為邊界層厚度、槽道半高）作為主要湍流運(yùn)動、大尺度運(yùn)動和超大尺度運(yùn)動的分界線，計(jì)算出超大尺度運(yùn)動對湍動能貢獻(xiàn)在40%～65%，對雷諾切應(yīng)力貢獻(xiàn)在30%～50%。Lee[6]等通過湍流邊界層直接數(shù)值模擬，在對數(shù)律區(qū)得到尺度超過3δ～4δ的超大尺度運(yùn)動，其對雷諾切應(yīng)力貢獻(xiàn)約45%。在高雷諾數(shù)下，大尺度運(yùn)動和超大尺度運(yùn)動對湍流貢獻(xiàn)很大，研究大尺度運(yùn)動的規(guī)律很有必要。鄭曉靜等[7]在高雷諾數(shù)的大氣邊界層（Reτ～106）中確認(rèn)了超大尺度運(yùn)動的存在，計(jì)算出超大尺度運(yùn)動對湍動能的貢獻(xiàn)在60%左右，最近還通過大氣邊界層的數(shù)據(jù)總結(jié)出了大尺度結(jié)構(gòu)的三維模型[8]。在高雷諾數(shù)下，大尺度運(yùn)動、超大尺度運(yùn)動在湍流中扮演著很重要的角色，如何測量、提取大尺度和超大尺度運(yùn)動是個(gè)重要問題。

湍流實(shí)驗(yàn)測量常用方法有基于單點(diǎn)的熱線測量[9]、激光多普勒測量[10]、基于場測量的PIV方法[11-12]。通過熱線測量和激光多普勒測量得到單點(diǎn)瞬時(shí)速度序列，并使用傅里葉變換、小波變換、希爾伯特–黃變換等，將時(shí)間信息變?yōu)椴煌l率信息（波長），利用泰勒凍結(jié)假設(shè)[13]：空間點(diǎn)定義為x=(x1,x2,x3)，在時(shí)間t時(shí)刻的流向速度為u(x,t)，其下游位置的坐標(biāo)可以寫成x+r=(x1+r,x2,x3)， 滯后時(shí)間為t+τ，則其流向速度可表示為：

其中U=(U,0,0)是當(dāng)?shù)仄骄俣?。通過此操作，時(shí)間尺度 τ就可以轉(zhuǎn)化為空間尺度r。通過給定特定的閾值，可以得到不同空間尺度分量相干結(jié)構(gòu)的分布狀況，反映出不同尺度湍流相干運(yùn)動的特征。

泰勒凍結(jié)假設(shè)一般適用于遷移速度為常數(shù)的均勻各向同性湍流。而對于剪切湍流，由于湍流結(jié)構(gòu)非各向同性，時(shí)間尺度轉(zhuǎn)化為空間尺度可能由于相關(guān)性變?nèi)醯仍?，造成相干運(yùn)動的失真，因此用泰勒凍結(jié)假設(shè)測出的相干運(yùn)動空間尺度要比真實(shí)相干運(yùn)動的空間尺度要小。

單點(diǎn)數(shù)據(jù)常用的尺度分析方法有傅里葉變換、小波分解[14-16]、希爾伯特–黃變換[17-18]等。傅里葉變換得到的是頻譜信息，對于非穩(wěn)態(tài)或非周期性信號，其結(jié)果不能反映局部突變信息。而小波變換既可得到頻域信息，又可得到時(shí)域信息。基于PIV圖像的分析方法有本征正交分解（POD）[19-23]、動力學(xué)模態(tài)分解（DMD）[24]、線性隨機(jī)估計(jì)等。這些方法雖然可以同時(shí)得到時(shí)空信息，但很難將相鄰尺度的運(yùn)動區(qū)分開來。

本文使用高時(shí)間分辨率粒子圖像測速技術(shù)，通過拼接4個(gè)高速相機(jī)得到足夠大視場的速度場時(shí)間序列。從同一流向位置不同法向高度的脈動速度時(shí)間序列提取的大尺度結(jié)構(gòu)，使用小波變換將其重構(gòu)到空間結(jié)構(gòu)，并與從空間直接提取的對應(yīng)空間大尺度結(jié)構(gòu)進(jìn)行對比，分析兩者差異。

1 實(shí)驗(yàn)設(shè)置

1.1 實(shí)驗(yàn)設(shè)備

實(shí)驗(yàn)在天津大學(xué)流體力學(xué)實(shí)驗(yàn)室重力溢流式低湍流度循環(huán)水洞中進(jìn)行。水洞實(shí)驗(yàn)段長度 4200mm，橫截面 600mm×700mm， 最高流速約為 0.5m/s。水洞實(shí)驗(yàn)段放置有機(jī)玻璃平板長度 4000mm，寬度550mm， 厚度 20mm。平板帶有1∶8半橢圓形前緣，在距離前緣約 200mm的 位置放置直徑 1.5mm的絆線以加速流動轉(zhuǎn)捩。實(shí)驗(yàn)使用的激光為Litron Lasers：LDY 300 Series，激 光 厚 度 為 1mm，擴(kuò) 散角30°。為解決激光照亮區(qū)域偏小的問題，選擇使用反射鏡增加激光光程。激光在拍攝區(qū)域有效照射寬度約為 400mm。相機(jī)分辨率1280 pixel × 800 pixel，最高采樣頻率1000 Hz。示蹤粒子為直徑約20 μm的空心玻璃微珠。在距平板前端2800 mm的位置依次沿流向放置四個(gè)高速相機(jī)（如圖1所示），每個(gè)相機(jī)配置一組升降臺和云臺，保證4個(gè)相機(jī)法向高度和拍攝距離一致，相鄰相機(jī)拍攝區(qū)域在流向略有重疊。設(shè)計(jì)一個(gè)400 mm × 160 mm的標(biāo)定靶，既可以確定不同相機(jī)的拍攝區(qū)域的相對位置，也可以用來標(biāo)定粒子圖像和糾正鏡頭的畸變。通過同步器控制4臺相機(jī)進(jìn)行流場的同步拍攝，在每臺相機(jī)拍攝到各自位置處的流場照片后，將每個(gè)時(shí)刻下的流場照片按照從上游到下游的順序依次進(jìn)行拼接，然后對拼接后的流場照片進(jìn)行矢量場的計(jì)算，拼接后相機(jī)的實(shí)際拍攝區(qū)域大小約(6～7)δ×(1.1～1.2)δ，δ為邊界層名義厚度。每次實(shí)驗(yàn)拍攝獲取樣本量8216張，重復(fù)6次。實(shí)驗(yàn)的放大系數(shù)0.0189，計(jì)算流場時(shí)查詢窗口的大小為24 pixel×24 pixel，窗口重疊率50%。實(shí)驗(yàn)參數(shù)如表1所示。其中u∞、f、δ、uτ和 SR分別代表自由來流速度、采樣頻率、邊界層厚度、壁面摩擦速度和空間分辨率。

圖1 實(shí)驗(yàn)示意圖Fig. 1 Schematic of the experiment setup

表1 實(shí)驗(yàn)參數(shù)Table 1 Experiment parameters

1.2 小波變換

小波變換最早由法國科學(xué)家Morlet 于1980年分析地震數(shù)據(jù)時(shí)首創(chuàng)。與傅里葉變換相比，小波變換能保持信號中的局域性特征。就湍流情況而言，連續(xù)小波變換通過空間和尺度提供連續(xù)的和冗余的開折，因此我們能夠跟蹤相干結(jié)構(gòu)的動力學(xué)情況并測量其對能譜的貢獻(xiàn)[16]。在湍流邊界層中使用小波變換的方法辨識相干結(jié)構(gòu)已有豐富研究[14，25-27]。

本文使用“db3”小波函數(shù)，將脈動速度分解為不同尺度部分（如圖2所示），紅色實(shí)線為尺度函數(shù)（父小波），綠色實(shí)線為小波母函數(shù)（母小波）。

圖2 “db3”小波形狀Fig. 2 Wavelet shape of ‘db3’

2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

壁面摩擦速度是湍流邊界層的一個(gè)重要參數(shù)，是衡量流動控制效果的常用指標(biāo)，也是進(jìn)行湍流分析的重要物理量。然而這個(gè)量在水洞中很難直接測得，也難以測得準(zhǔn)確，因此本文使用間接測量方法來得到壁面摩擦阻力。Spalding[28]提出了可以同時(shí)使用黏性底層和對數(shù)律區(qū)的平均速度剖面來計(jì)算壁面摩擦速度的方法，計(jì)算公式如式（2）。同時(shí)對得到的粒子圖像進(jìn)行標(biāo)定、拼接、去噪并計(jì)算出速度場，然后對速度場進(jìn)行沿時(shí)間和流向的平均可以得到平均速度剖面。根據(jù)Spalding給出的黏性底層和對數(shù)律區(qū)的平均速度與法向位置的關(guān)系，使用最小二乘方法擬合壁面摩擦速度。

式（2）中，內(nèi)尺度無量綱化后的壁面法向高度y+=(y?y0)uτ/v，內(nèi) 尺 度 無 量 綱 后 的 流 向 速 度u+=U/uτ，卡門常數(shù) κ =0.41， 積分常數(shù)B=5.0。

2.1 基本統(tǒng)計(jì)量

在獲得壁面摩擦速度后，可以衡量流場的基本量在湍流邊界層內(nèi)的分布。圖3與圖4分別為內(nèi)尺度無量綱化后的平均速度剖面與二階量剖面，其中+=/uτ， +=/uτ，+=/u2τ。urms、vrms分別為流向和法向 脈動速度的均方根值， <>代 表系綜平均， <>+為無量綱化后的系綜平均，uτ為壁面摩擦速度。為了驗(yàn)證數(shù)據(jù)的可靠性，將實(shí)驗(yàn)得到的平均速度剖面和二階量剖面與相近雷諾數(shù)的DNS結(jié)果進(jìn)行對比，其中DNS數(shù)據(jù)由KTH數(shù)據(jù)庫提供[29]。從圖3和圖4中可以看出，不論是平均速度剖面還是二階量剖面，實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)均與DNS結(jié)果的吻合程度較高，這進(jìn)一步說明了實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的可靠性。

圖3 平均速度剖面Fig. 3 Profiles of the mean velocity

圖4 雷諾應(yīng)力剖面Fig. 4 Profiles of the Reynold stress

2.2 能量最大尺度

湍流可以分解為平均速度、相干部分和完全隨機(jī)部分。相干結(jié)構(gòu)是湍流的主要特征。Marusic[30]將主要的湍流結(jié)構(gòu)分為三類：與近壁循環(huán)相關(guān)的展向尺度約為100個(gè)黏性尺度的條帶；尺度為邊界層厚度量級的大尺度運(yùn)動；尺度為10倍邊界層厚度量級的超大尺度運(yùn)動。隨著雷諾數(shù)變化，不同尺度湍流結(jié)構(gòu)所起的作用也發(fā)生變化，因此本文將使用小波分解的方法計(jì)算不同尺度結(jié)構(gòu)占湍動能的比例。

利用沿流向的空間小波分解方法得到不同空間尺度所包含的脈動速度，并由此計(jì)算出流場的總湍動能以及每個(gè)空間尺度所包含的湍動能，進(jìn)而得到不同尺度對湍動能貢獻(xiàn)的比例。將每一法向?qū)硬煌飨虺叨葦y帶的湍動能占比按照順序排列，可以得到不同流向尺度湍動能占比隨法向位置變化的云圖（圖5），其中ue為流向脈動速度所攜帶湍動能的占比。云圖的等值線中可以明顯觀察到一個(gè)峰值，此峰值即為流向能量最大尺度，位置大約在1 δ左右。此外，從云圖中可以看出湍動能占比較大的區(qū)域（圖中紅色區(qū)域），包含了數(shù)倍邊界層厚度量級（0.5～5.0）δ，這一范圍也達(dá)到了大尺度運(yùn)動的范圍。同時(shí)根據(jù)圖6所示，在y+=88.41處其湍動能占比可達(dá)22%左右。

圖5 不同尺度所占湍動能比例Fig. 5 Turbulent kinetic energy fraction for different scales

圖6 峰值附近不同尺度所占湍動能比例Fig. 6 Turbulent kinetic energy fraction in different scales near the peak location

3 大尺度相干運(yùn)動檢測

相干運(yùn)動在湍流邊界層中起到了決定性的作用，而大尺度相干運(yùn)動在中高雷諾數(shù)的情況下對流向雷諾正應(yīng)力和雷諾切應(yīng)力的貢獻(xiàn)占所有相干運(yùn)動貢獻(xiàn)的一半以上。當(dāng)前，關(guān)于如何檢測湍流邊界層中的大尺度相干運(yùn)動是一個(gè)基礎(chǔ)內(nèi)容。在有關(guān)湍流邊界層的實(shí)驗(yàn)研究中，常用的測量手段有單點(diǎn)測量的熱線方法和多點(diǎn)測量的PIV方法。熱線可以得到單點(diǎn)時(shí)間序列，而 PIV方法，特別是具有高時(shí)間分辨率的TRPIV方法，可以得到全場多點(diǎn)的時(shí)間序列。對于熱線測量，通過檢測時(shí)間序列中的相干結(jié)構(gòu)，并使用泰勒凍結(jié)假設(shè)可以得到相干結(jié)構(gòu)的空間結(jié)構(gòu)。而對于PIV結(jié)果，則可以對流場內(nèi)每個(gè)點(diǎn)的時(shí)間序列進(jìn)行尺度分解以提取流場內(nèi)的空間結(jié)構(gòu)。本文采用連續(xù)小波變換的方法來進(jìn)行尺度分解，其中小波基函數(shù)為“amor”。通過以1 δ為界將小波分解得到的不同尺度結(jié)果分為兩部分，如圖7和圖8所示，其中u′代表流向脈動速度，L代表流向脈動速度的尺度。這兩部分即大尺度運(yùn)動和主要湍流運(yùn)動，而本文主要分析大尺度運(yùn)動，由于大尺度相干運(yùn)動是以 δ為量級，因此使用外尺度無量綱可以更加直觀地體現(xiàn)大尺度結(jié)構(gòu)在空間中的尺度大小。

圖7 單點(diǎn)原始流向脈動速度與尺度分解后大小尺度分量的時(shí)間序列Fig. 7 One-point time series of the original, large-scale and small-scale streamwise velocity fluctuations

圖8 原始流向脈動速度和尺度分解后大小尺度分量云圖Fig. 8 Contours of the origin, large-scale and small-scale streamwise velocity fluctuations

3.1 Mu-level法檢測大尺度運(yùn)動

由小波分解重構(gòu)得到的是大、小尺度分開的脈動速度場的時(shí)間序列，可以將這些速度場看作由排列在流向-法向平面的二維熱線探針陣列得到的脈動速度時(shí)間序列。取其中一點(diǎn)的大尺度脈動速度序列，使用傳統(tǒng)的Mu-level方法提取大尺度結(jié)構(gòu)。Mulevel方法是檢測猝發(fā)事件的經(jīng)典方法之一。由于流向脈動速度與猝發(fā)事件的相關(guān)程度更大，因此其主要通過流向脈動速度與其均方根的比值來判斷是否發(fā)生猝發(fā)事件，只有當(dāng)比值達(dá)到給定的門限值時(shí)才會認(rèn)為發(fā)生了猝發(fā)事件。其中噴射事件檢測準(zhǔn)則如下：

式中，Lm為門限值，在本文中取0.6；uL為流向脈動速度的大尺度分量；D(t)表示某一點(diǎn)在當(dāng)前時(shí)刻的檢測結(jié)果；D(t?1)表示上一時(shí)刻、同一位置處的檢測結(jié)果。檢測到的結(jié)構(gòu)為大尺度運(yùn)動在時(shí)間上的分布。使用泰勒凍結(jié)假設(shè)，將一維時(shí)間檢測結(jié)果轉(zhuǎn)換為一維流向空間區(qū)域，然后將所有空間位置的數(shù)據(jù)合并一起，得到相干運(yùn)動在流法向平面的二維投影區(qū)域，如圖9所示，其中紅色代表檢測值為1（即掃掠事件），藍(lán)色代表檢測值為–1（即噴射事件）。

圖9 時(shí)間序列重構(gòu)出的相干結(jié)構(gòu)Fig. 9 Coherent structures reconstructed from the time series of signals

可以看到，時(shí)間序列重構(gòu)得到的猝發(fā)事件與速度矢量場的符合程度較高。此外，在空間中會存在一個(gè)與通過時(shí)間序列重構(gòu)出的脈動速度場相對應(yīng)的原始速度場，對空間上的脈動速度場使用象限分裂的方法可以直接提取大尺度相干運(yùn)動。根據(jù)流向和法向脈動速度的符號可以將其分為四個(gè)象 限，Ⅰ：u′＞0，v′＞0 ；Ⅱ：u′＜0，v′＞0 ；Ⅲ：u′＜0，v′＜0 ；Ⅳ：u′＞0，v′＜0。其中噴射事件的檢測條件如下：

式中，D(x?1)表示上一流向位置處的檢測結(jié)果。通過檢測得到的空間上的相干結(jié)構(gòu)如圖10所示。圖中藍(lán)色區(qū)域?yàn)闀r(shí)間序列重構(gòu)出的噴射事件，紅色區(qū)域代表掃掠事件，而矢量場代表空間脈動速度場。

圖10 空間提取的相干結(jié)構(gòu)Fig. 10 Coherent structure extracted from the spatial domain

為了驗(yàn)證從時(shí)間檢測出的相干結(jié)構(gòu)的可靠性，將時(shí)間和空間中檢測出的相干結(jié)構(gòu)進(jìn)行對比（圖11），其中黑色實(shí)線標(biāo)出的為從空間上提取的相干結(jié)構(gòu)，而有顏色的區(qū)域代表從時(shí)間中提取出的相干結(jié)構(gòu)?？梢钥闯觯瑫r(shí)間重構(gòu)檢測出的結(jié)構(gòu)基本上與空間矢量場一致，不過在剪切層和展向渦附近會出現(xiàn)偏差，同時(shí)從時(shí)間上得到的相干結(jié)構(gòu)比空間結(jié)構(gòu)要小些。檢測結(jié)果的對比，證明了從時(shí)間上提取相干運(yùn)動的可靠性。

圖11 從時(shí)間和空間提取的噴射和掃掠事件對比Fig. 11 Comparison of the ejection and sweep events between the temporal and spatial extraction

3.2 空間拓?fù)淦骄?/h3>

空間條件相位平均是提取相干結(jié)構(gòu)空間拓?fù)湫螒B(tài)的經(jīng)典方法。從時(shí)間和空間中提取的相干結(jié)構(gòu)的結(jié)果對比可以說明，時(shí)間重構(gòu)的相干結(jié)構(gòu)與直接檢測原始空間速度場相干結(jié)構(gòu)的統(tǒng)計(jì)特性存在差異。

為了研究這一差異，以 0 .2δ為參考法向高度，并以檢測到的流向脈動速度極大值和極小值作為條件相位中心，分別從時(shí)間和空間序列中提取猝發(fā)和掃掠事件，最后通過平均得到從時(shí)間或空間角度上提取出的猝發(fā)事件空間拓?fù)湫螒B(tài)，如圖12的流向脈動速度提取結(jié)果所示，其中猝發(fā)事件在流場內(nèi)的尺度范圍已用黑色實(shí)線標(biāo)出。由圖可見，由空間提取的猝發(fā)事件更強(qiáng)，尺度范圍更大，結(jié)構(gòu)的整體性更明顯。與掃掠事件相比，噴射事件從空間和時(shí)間提取的結(jié)構(gòu)更相近。

圖12 從時(shí)間和空間提取的猝發(fā)事件Fig. 12 Burst events extracted from the temporal and spatial domains

通過對時(shí)間和空間提取的猝發(fā)事件給定閾值（掃掠事件給定流向脈動速度最大值的0.25倍，噴射事件給定值與掃掠事件給定值的符號相反），并使用橢圓擬合的方法找到流向間距最大的兩點(diǎn)坐標(biāo)，以分別提取猝發(fā)事件的流向尺度。如圖13和圖14所示，可以看出在0.2δ～0.6δ的法向區(qū)域內(nèi)，猝發(fā)事件的尺度基本是不變的。計(jì)算不同法向位置，時(shí)間猝發(fā)事件與空間猝發(fā)事件的流向尺度比例，可以看出，時(shí)間和空間提取的噴射事件流向尺度比例在0.9～1.0，掃掠事件比例在0.75～0.85?？梢哉f明，時(shí)間提取猝發(fā)事件尺度要小于空間提取的猝發(fā)事件，噴射事件兩者更接近，掃掠事件相差更大。這種不一致是噴射和掃掠事件的時(shí)空相關(guān)強(qiáng)度不同或者遷移速度差異造成的。

圖13 從時(shí)間和空間中提取的不同法向位置猝發(fā)事件流向長度尺度Fig. 13 Streamwise length scales of the burst events extracted from the temporal and spatial domains along different wall-normal locations

圖14 從時(shí)間、空間提取的不同法向位置猝發(fā)事件流向長度比值Fig. 14 Ratio of the streamwise lengths of burst events extracted from the temporal and spatial domains along different wall-normal locations

4 結(jié) 論

使用相機(jī)陣列在湍流邊界層中得到流法向尺度大小為 6.7δ×1.2δ的PIV速度場，使用小波分解的方法得到流向湍動能在空間尺度分布，并使用Mu-level方法和象限分裂法，分別從時(shí)間和空間提取并比較了猝發(fā)事件，得到以下結(jié)論：

1）通過小波變換將大范圍流場按照所含湍動能的占比劃分為不同尺度，發(fā)現(xiàn)在湍流邊界層中存在流向能量最大尺度，其峰值位置對應(yīng)的尺度約為1倍邊界層厚度。

2）利用泰勒凍結(jié)假設(shè)在時(shí)間維度上提取出的相干結(jié)構(gòu)重構(gòu)到原流場，可以找到與之對應(yīng)的真實(shí)空間結(jié)構(gòu)，且兩種不同方法提取的結(jié)構(gòu)基本一致。

3）從時(shí)間維度提取的高速條帶（掃掠事件）尺度要小于空間提取的高速條帶尺度，在 0.2δ～0.6δ法向范圍內(nèi)，時(shí)間尺度約為空間尺度的0.8倍。