(2PSR+PUU)& RP混聯(lián)機(jī)床的位置及其工作空間分析*

黃道陽 薄瑞峰 張旺旺 陳振亞

(中北大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院， 山西 太原 030051)

并聯(lián)機(jī)構(gòu)自問世以來因具有剛度大、累計(jì)誤差小、承載力好等優(yōu)點(diǎn)，引起了各界的廣泛關(guān)注。在制造業(yè)中，為了滿足快速多變的市場(chǎng)環(huán)境，提高對(duì)產(chǎn)品的適應(yīng)性，世界各國(guó)都在積極研制多功能的裝備系統(tǒng)。并聯(lián)機(jī)構(gòu)和機(jī)床技術(shù)相互融合使得并聯(lián)機(jī)床具有承載能力大又加工靈活，反應(yīng)迅速[1]，在制造業(yè)中廣為應(yīng)用。

國(guó)外Hiwa G等[2]對(duì)一種四自由度的混聯(lián)機(jī)床進(jìn)行研究，分析了運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)，并在渦輪葉片的加工中得到了應(yīng)用，為復(fù)雜曲面零件的加工開辟了新的途徑。Harib K H等[3]研發(fā)了一種由旋轉(zhuǎn)擺臺(tái)和并聯(lián)機(jī)構(gòu)組成的混聯(lián)機(jī)床，并研究了其位置逆解，軌跡規(guī)劃。孟祥志等研發(fā)了一種可以實(shí)現(xiàn)握立轉(zhuǎn)換的三腿并聯(lián)機(jī)床[4]，應(yīng)用于木制品加工和軟金屬品加工。天津大學(xué)的許建等[5]研制了一臺(tái)五軸聯(lián)動(dòng)機(jī)床，對(duì)其進(jìn)行了運(yùn)動(dòng)控制研究。魯巖[6-7]等研發(fā)的大擺角五軸聯(lián)動(dòng)機(jī)床實(shí)現(xiàn)了刀具的大擺角加工，并利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法分析了其正解。仇鑫等[8]設(shè)計(jì)了Stewart衍生型機(jī)器人的結(jié)構(gòu)，并推導(dǎo)了其運(yùn)動(dòng)學(xué)正解。徐帥等[9]基于機(jī)構(gòu)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)學(xué)設(shè)計(jì)了兩種六自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，推導(dǎo)出了其位置正解表達(dá)式。楊應(yīng)洪等[10]提出了可用于航空航天的復(fù)雜曲面零件加工的三自由度并聯(lián)機(jī)床模型，并對(duì)其動(dòng)力學(xué)模型進(jìn)行了分析。

通過對(duì)并聯(lián)機(jī)構(gòu)的研究發(fā)現(xiàn)混聯(lián)機(jī)床的機(jī)床屬性具有更高效率和更大的加工靈活性。而并聯(lián)機(jī)構(gòu)因其桿數(shù)多，互相牽制導(dǎo)致其并不能擁有大的擺角，降低了其加工靈活性，著名的Sprint Z3[11]并聯(lián)主軸頭轉(zhuǎn)動(dòng)角度也僅為40°。而本文提出的混聯(lián)機(jī)床是由可沿x、z軸移動(dòng)，繞y軸轉(zhuǎn)動(dòng)的并聯(lián)機(jī)構(gòu)，與下方繞z軸轉(zhuǎn)動(dòng)和y軸移動(dòng)的工作臺(tái)串聯(lián)而成五自由度混聯(lián)機(jī)床。在滿足剛度大，結(jié)構(gòu)穩(wěn)定等前提下，極大地提高了刀頭擺動(dòng)角度，刀具擺角可以達(dá)到(0°～90°)，具有較大工作的空間，可用于部分水輪機(jī)、汽輪機(jī)、航空航天發(fā)動(dòng)機(jī)的渦輪葉片加工和復(fù)雜曲面零件的加工。

1 混聯(lián)機(jī)床模型分析

本文提出的混聯(lián)機(jī)床的三維模型如圖1所示。該機(jī)床主要包含動(dòng)平臺(tái)、并聯(lián)模塊、移動(dòng)導(dǎo)軌、旋轉(zhuǎn)平臺(tái)和末端刀具等部分。并聯(lián)模塊依托于定平臺(tái)包括立柱1、立柱2、立柱3、支鏈1、支鏈2、支鏈3和動(dòng)平臺(tái)，各部分通過運(yùn)動(dòng)副連接起來。

支鏈1為PUU型支鏈，包含移動(dòng)副、虎克鉸，記桿長(zhǎng)為L(zhǎng)1;支鏈2和支鏈3相同，為PSR型支鏈，由移動(dòng)副、球副和轉(zhuǎn)動(dòng)副組成，記桿長(zhǎng)為L(zhǎng)2、L3。定平臺(tái)A1A2A3和動(dòng)平臺(tái)C1C2C3均為正三角形，記其外接圓半徑分別為R和r，刀桿長(zhǎng)度為L(zhǎng)t。以定平臺(tái)A1A2A3所在三角形外接圓圓心建立慣性坐標(biāo)系O1-x1y1z1，記為{A}。動(dòng)平臺(tái)C1C2C3的外接圓心中心建立動(dòng)坐標(biāo)系O2-x2y2z2,記為{C}，如圖2所示。

2 并聯(lián)模塊的自由度分析

該混聯(lián)機(jī)床由并聯(lián)模塊和機(jī)床下方的旋轉(zhuǎn)工作臺(tái)以及移動(dòng)導(dǎo)軌組成。移動(dòng)工作臺(tái)可以沿y軸移動(dòng)以及繞z軸轉(zhuǎn)動(dòng)，具有2個(gè)自由度。分析3個(gè)支鏈的自由度進(jìn)而確定整個(gè)并聯(lián)機(jī)床的自由度。由于支鏈2和支鏈3構(gòu)型相同故只分析其中1個(gè)支鏈即可。運(yùn)用螺旋理論[12]對(duì)支鏈1和支鏈2進(jìn)行分析，得支鏈1的運(yùn)動(dòng)螺旋如圖3所示，支鏈2的運(yùn)動(dòng)螺旋如圖4所示。

支鏈1的運(yùn)動(dòng)螺旋及反螺旋可表示如下：

(1)

(2)

支鏈2的運(yùn)動(dòng)螺旋及其約束螺旋為：

(3)

(4)

由螺旋理論可得并聯(lián)機(jī)構(gòu)模塊可實(shí)現(xiàn)繞x軸轉(zhuǎn)動(dòng)，x軸移動(dòng)和z軸的移動(dòng)，為三自由度并聯(lián)模塊。

接著使用修正的K-G公式驗(yàn)證：

(5)

其中：d表示機(jī)構(gòu)的階數(shù)，n表示包括機(jī)架的構(gòu)件數(shù)目，g表示運(yùn)動(dòng)副數(shù)目，fi表示第i個(gè)運(yùn)動(dòng)副的自由度數(shù)目，v為冗余約束數(shù)目，ξ為機(jī)構(gòu)中存在的局部自由度數(shù)目。由K-G公式得到本文并聯(lián)機(jī)構(gòu)的自由度數(shù)目為：

M=6×(8-9-1)+15=3

(6)

綜上可知，用螺旋理論和修正的K-G公式證明了此并聯(lián)機(jī)構(gòu)的自由度為3，配合可實(shí)現(xiàn)y軸移動(dòng)和繞z軸轉(zhuǎn)動(dòng)的工作臺(tái)，整個(gè)機(jī)床具有5個(gè)自由度。

3 混聯(lián)機(jī)床位置逆解

并聯(lián)機(jī)床的位置逆解為已知?jiǎng)悠脚_(tái)中心處長(zhǎng)為l的刀具末端點(diǎn)的位姿參數(shù)和機(jī)構(gòu)的各支鏈尺寸參數(shù)，求解各支鏈的驅(qū)動(dòng)器的輸入?yún)?shù)。其中(x2,y2,z2)為動(dòng)坐標(biāo)系的原點(diǎn)在慣性坐標(biāo)系中的位置，(α,β,γ)為動(dòng)坐標(biāo)系在慣性坐標(biāo)系中姿態(tài)的歐拉角。由于動(dòng)坐標(biāo)系中的位姿參數(shù)都需要轉(zhuǎn)化到慣性坐標(biāo)系中，這里我們運(yùn)用Z—Y—X型歐拉角來描述：即在起始時(shí)動(dòng)坐標(biāo)系的3個(gè)軸和慣性坐標(biāo)系的3個(gè)軸分別重合，第一次轉(zhuǎn)動(dòng)為動(dòng)平臺(tái)繞z2軸旋轉(zhuǎn)α角。再繞y2軸旋轉(zhuǎn)β角，最后繞x2軸旋轉(zhuǎn)γ角達(dá)到最終位置。其旋轉(zhuǎn)矩陣如下：

(7)

式中：s=sin，c=cos。

本機(jī)構(gòu)沒有繞y、z軸轉(zhuǎn)動(dòng)，故由動(dòng)坐到慣性坐標(biāo)系的變換矩陣為：

(8)

求解該機(jī)構(gòu)的位置逆解為已知刀尖的位姿參數(shù)求解Bi(i=1～3)到平面A1A2A3的距離，記此距離為Si(i=1～3)。B點(diǎn)在慣性坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為：

(9)

設(shè)刀具位置為D=(xd,yd,zd)T,刀具軸線方向矢量nd=(0,-sα,cα)，動(dòng)平臺(tái)上的點(diǎn)Ci(i=1～3)在慣性坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為：

Ci=Rci+P(i=1～3)

(10)

(11)

由桿長(zhǎng)的閉環(huán)矢量方程得桿長(zhǎng)：

(12)

驅(qū)動(dòng)桿的位移驅(qū)動(dòng)參數(shù)可表示如下：

(13)

4 混聯(lián)機(jī)床的位置正解

混聯(lián)機(jī)床的位置正解為已知3個(gè)輸入滑塊的位移，求解動(dòng)平臺(tái)刀尖的位姿參數(shù)問題。本文采用粒子群優(yōu)化算法，粒子群算法是模擬群鳥覓食的過程來進(jìn)行隨機(jī)搜索，通過構(gòu)建最優(yōu)方程進(jìn)行逐次迭代求解，將混聯(lián)機(jī)床的位置正解轉(zhuǎn)化為最優(yōu)解。

4.1 優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)

式(14)為確定的目標(biāo)優(yōu)化函數(shù)，其中S1、S2、S3,為輸入的機(jī)構(gòu)的參數(shù)，R為機(jī)構(gòu)定平臺(tái)外接圓半徑，r為動(dòng)平臺(tái)外接圓半徑。

4.2 適應(yīng)度函數(shù)

(14)

P=|p1|+|p2|+|p3| 為粒子的適應(yīng)度函數(shù)，當(dāng)P<10-8時(shí)停止迭代。

4.3 速度更新公式及參數(shù)

(15)

式(15)中：各參數(shù)含義見表1，在算法運(yùn)行開始時(shí)設(shè)定如表2所示各項(xiàng)參數(shù)取值。輸入5組不同的參數(shù)，其輸出結(jié)果如表3示。

表1 粒子群優(yōu)化算法參數(shù)含義

表2 粒子群優(yōu)化算法參數(shù)取值

表3 位置正解運(yùn)算結(jié)果

由表3可以看出在給定輸入的情況下，通過粒子群優(yōu)化算法可以直接得到位置正解，通過圖5可以看出在迭代到第25次左右就已經(jīng)取得最優(yōu)值，曲線收斂速度很快，說明此算法能夠很好地用于求解機(jī)構(gòu)的正解。

5 混聯(lián)機(jī)構(gòu)的工作空間分析

工作空間的大小表征了機(jī)構(gòu)可到達(dá)的范圍，對(duì)我們研究機(jī)構(gòu)具有很重要的意義。一般研究工作空間的方法有：離散求解法、幾何求解法和數(shù)值求解法。以上方法在建立約束條件時(shí)可能會(huì)發(fā)生約束條件建立不全等問題，導(dǎo)致工作空間與實(shí)際相符程度不高。

本文采用一種基于SolidWorks軟件的驅(qū)動(dòng)動(dòng)靜結(jié)合法來求解工作空間，以滑塊的位移為變量，以機(jī)床的構(gòu)型尺寸為約束條件。先將滑塊1移動(dòng)一個(gè)步長(zhǎng)然后固定，接著將滑塊2移動(dòng)一個(gè)步長(zhǎng)，此時(shí)將滑塊3從最小值移動(dòng)到最大值后再回到最小值，完成后再將滑塊2走兩個(gè)步長(zhǎng)，滑塊3重復(fù)上述運(yùn)動(dòng)，排列組合完成后可求得該機(jī)構(gòu)的工作空間，如圖6所示。運(yùn)動(dòng)完成后將生成的數(shù)據(jù)點(diǎn)導(dǎo)入MATLAB軟件生成該機(jī)構(gòu)的工作空間如圖7所示。并在ADAMS中使刀尖勻速運(yùn)動(dòng)得刀具擺角的運(yùn)動(dòng)曲線圖如圖8所示。

通過分析圖7中的工作空間圖，可以發(fā)現(xiàn)圖中的工作空間符合動(dòng)平臺(tái)刀尖點(diǎn)的運(yùn) 動(dòng)軌跡，當(dāng)步長(zhǎng)設(shè)置的足夠小，空間將連續(xù)無空洞，說明該機(jī)構(gòu)在姿態(tài)工作空間沒有奇異位形。圖8為刀具在給定的勻速運(yùn)動(dòng)狀態(tài)下的擺角變化曲線圖，從圖中可以得出刀具的擺角可達(dá)(0°～90°)，刀尖可實(shí)現(xiàn)較大擺角的運(yùn)動(dòng)姿態(tài)，基本符合此機(jī)構(gòu)的特性。

6 結(jié)語

(1)提出一種以2PSR+PUU&RP型并聯(lián)機(jī)構(gòu)為主體的混聯(lián)機(jī)床，運(yùn)用螺旋理論和修正的K-G公式對(duì)其自由度進(jìn)行研究發(fā)現(xiàn)其具有五自由度，可應(yīng)用于復(fù)雜曲面零件的加工。

(2)運(yùn)用閉環(huán)矢量法建立其逆解模型，并運(yùn)用粒子群算法得到其正解，發(fā)現(xiàn)粒子群算法適用于求解機(jī)構(gòu)正解，且收斂速度較快。

(3)通過驅(qū)動(dòng)動(dòng)靜結(jié)合法結(jié)合SoildWorks軟件繪制出其工作空間發(fā)現(xiàn)其具有較大的工作空間，刀具可實(shí)現(xiàn)繞X軸較大的轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)動(dòng)范圍為(0°～90°)可實(shí)現(xiàn)大擺角加工。