函數(shù)不等式證明的常用方法

林國紅

(廣東省佛山市樂從中學(xué))

縱觀近幾年高考試卷以及各級各類模擬考試試卷,函數(shù)不等式的證明是熱門考點之一,常作為壓軸題頻頻亮相,函數(shù)不等式具有綜合性強、思維量大、方法繁多、技巧性強等特點,注重對能力和數(shù)學(xué)思想方法的考查,難度較大.下面以一道模擬考試題為例,從多個視角分析問題,以此歸納總結(jié)函數(shù)不等式證明的常用方法,供大家參考.

1 題目呈現(xiàn)與分析

題目已知f(x)＝xln(x＋a)＋1(a＜0).

(1)當a＝－1時,判斷f(x)的單調(diào)性;

(2)證明:f(x)＜ex＋cosx.

分析試題分步設(shè)問,逐步推進.試題的第(1)問較為簡單,只要能準確應(yīng)用導(dǎo)數(shù)公式和求導(dǎo)法則就可以解決問題.試題第(2)問待證不等式中含有參數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù),與2019年全國Ⅰ卷文科、理科的函數(shù)與導(dǎo)數(shù)題類似,都是與三角函數(shù)交會的題型,綜合性較強.求解試題不但需要學(xué)生了解函數(shù)的單調(diào)性,而且要求學(xué)生會利用化歸與轉(zhuǎn)化等思想,對學(xué)生運用所學(xué)知識尋找合理的解題策略以及推理論證能力有較高的要求.總之,本題層次分明,區(qū)分度高,作為試卷的壓軸題,是一道能突出選拔功能的好題.

由于第(1)問較為簡單,本文不作討論,下面從不同視角,給出第(2)問的幾種證法.

2 證法探究

因為a＜0,故x＞－a＞0,所以

要證明f(x)＜ex＋cosx,只需證明xlnx＋1＜ex＋cosx,即證明xlnx＜ex＋cosx－1.當0＜x＜1時,因為ex＞1,cosx＞0,所以ex＋cosx－1＞0,xlnx＜0,故xlnx＜ex＋cosx－1.

下面只需證當x≥1時,xlnx＜ex＋cosx－1成立即可.

2.1 直接作差,構(gòu)造函數(shù)

證法1當x≥1時,設(shè)

則g′(x)＝ex－sinx－lnx－1.令h(x)＝g′(x),則

因為x≥1,故ex≥e,－1≤cosx≤1,0＜≤1,所以

于是h(x)在[1,＋∞)上單調(diào)遞增,從而

即g′(x)＞0,所以g(x)在[1,＋∞)上單調(diào)遞增.于是

即xlnx＜ex＋cosx－1.

綜上,當a＜0時,f(x)＜ex＋cosx.

一般來說,證明函數(shù)不等式f(x)＞g(x)恒成立,可設(shè)F(x)＝f(x)－g(x),則f(x)＞g(x)恒成立?F(x)＞0恒成立,即等價于Fmin(x)＞0.可以利用導(dǎo)數(shù)來求F(x)的最小值,把函數(shù)不等式的證明轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性或求最值.要注意的是,有時盡管F(x)存在最小值,但方程F′(x)＝0的根(F(x)的極值點)解不出來,往往要借助零點存在性定理和F′(x)的單調(diào)性,先證明方程F′(x)＝0有唯一實根x0,再用“設(shè)而不求”的方法,證明Fmin(x)＝F(x0)≥0,在運算過程中要注意利用F′(x0)＝0進行替換.

2.2 放縮法

證法2(利用lnx≤x－1放縮)因為lnx≤x－1(x≥0),當x＝1時,等號成立,所以

故只需證x2－x＋1＜ex＋cosx,即證

設(shè)g(x)＝ex－x2＋x－1(x≥1),則

因為x≥1,所以ex≥e,故g″(x)＞0,從而g′(x)在[1,＋∞)上單調(diào)遞增,所以

即g(x)在[1,＋∞)上單調(diào)遞增.

當x∈[1,]時,cosx≥0,且

所以ex－x2＋x－1＋cosx＞0.

所以ex－x2＋x－1＋cosx＞0.

綜上,ex－x2＋x－1＋cosx＞0,所以當a＜0時,f(x)＜ex＋cosx.

在證明函數(shù)不等式的壓軸題中,有幾個比較重要且常見不等式,如ex≥x＋1,ex≥ex,lnx≤x－1(x＞0),ex≥1＋x＋.此類函數(shù)的導(dǎo)數(shù)可以和多項式函數(shù)結(jié)合到一起,大部分都含有二次三項式,體現(xiàn)轉(zhuǎn)化與化歸思想;其次,此類函數(shù)能體現(xiàn)微積分的一個思想:以直代曲,無限逼近;另外,此類函數(shù)與高等數(shù)學(xué)的級數(shù)結(jié)合比較緊密.綜上,以ex與lnx為背景的函數(shù)題,常用到這種思想方法.

證法3(利用cosx的有界性放縮)因為cosx≥－1(當x＝(2k＋1)π,k∈N 時,等號成立),所以ex＋cosx≥ex－1,故只需證xlnx＋1＜ex－1,即證ex－xlnx－2＞0.

設(shè)g(x)＝ex－xlnx－2(x≥1),則

因為x≥1,所以ex≥e,0＜≤1,故g″(x)＝ex－＞0,從而g′(x)在[1,＋∞)上單調(diào)遞增,于是

從而g(x)在[1,＋∞)上單調(diào)遞增,于是

綜上,當a＜0時,f(x)＜ex＋cosx.

綜上,當a＜0時,f(x)＜ex＋cosx.

證法5由證法3可知,只需證xlnx＋1＜ex－1(x≥1),即證xlnx＜ex－2,兩邊同時除以x2,得

令q(x)＝ex(x－2)＋4(x≥1),則

于是q(x)在[1,＋∞)上單調(diào)遞增,于是q(x)≥q(1)＝－e＋4＞0,即h′(x)＞0,所以h(x)在[1,＋∞)上單調(diào)遞增,于是h(x)≥h(1)＝e－2,即hmin(x)＝e－2.又因為e－2＞,即

涉及與三角函數(shù)相關(guān)的不等式,往往可以利用三角函數(shù)的有界性進行放縮,即－1≤sinx≤1,－1≤cosx≤1,另外還要熟悉常見的三角函數(shù)不等式,如sinx＜x＜tanx(0＜x＜),0＜＜1(0＜x＜π)等.證法5用到了函數(shù)的“凹凸性反轉(zhuǎn)”,即將要證不等式適當變形,一般是將原不等式中的ex與lnx分離,轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)h(x)與g(x).若h(x)存在最小值hmin(x),g(x)存在最大值gmax(x),且有hmin(x)＞gmax(x),則h(x)＞g(x)恒成立.需要說明兩點:1)若hmin(x)＝gmax(x),hmin(x)＝h(x1),gmax(x)＝g(x2)且x1≠x2,顯然h(x)＞g(x)恒成立;2)若h(x)不存在最小值,或g(x)不存在最大值時,可將要證不等式h(x)＞g(x)適當變形,等價轉(zhuǎn)化為φ(x)＞ψ(x),若φmin(x)＞ψmax(x),則h(x)＞g(x)恒成立.這種通過分離ex與lnx來構(gòu)造兩個函數(shù),再分別求所構(gòu)造函數(shù)的最值來證得原不等式的方法,往往有“四兩拔千斤”的功效.

證法6(利用lnx≤x－1及cosx的有界性放縮)因為lnx≤x－1,所以xlnx＋1≤x(x－1)＋1＝x2－x＋1,當x＝1時,等號成立.

又因為cosx≥－1,所以ex＋cosx≥ex－1,當x＝(2k＋1)π,k∈N 時,等號成立.故只需證x2－x＋1＜ex－1(x≥1),即證ex－x2＋x－2＞0.

設(shè)g(x)＝ex－x2＋x－2(x≥1),則

因為x≥1,故g″(x)＞0,于是g′(x)在[1,＋∞)上單調(diào)遞增,從而可得g′(x)≥g′(1)＝e－1＞0,所以g(x)在[1,＋∞)上單調(diào)遞增,可得g(x)≥g(1)＝e－1＋1－2＝e－2＞0,所以ex－x2＋x－2＞0.

綜上,當a＜0時,f(x)＜ex＋cosx.

綜上,當a＜0時,f(x)＜ex＋cosx.

證法6 與證法7 都利用了lnx≤x－1 及cosx的有界性進行放縮,是證法2與證法3的結(jié)合,證法巧妙、快捷、簡便,簡化了證明過程.

2.3 利用泰勒展開式

證法8由泰勒展開式可知

于是h′(x)在[1,＋∞)上單調(diào)遞減,可得

從而h(x)在[1,＋∞)上單調(diào)遞減,故

所以g(x)＜0,即xlnx＋1＜ex＋cosx.

綜上,當a＜0時,f(x)＜ex＋cosx.

泰勒展開式不在高中學(xué)習范圍內(nèi),學(xué)生不需要掌握,但是近年來,高考的命題者通過挖掘高等數(shù)學(xué)中的一些素材來命制高考試題,此類試題也逐漸引起教師的關(guān)注.但這并不意味著要將過多的高等數(shù)學(xué)知識放到中學(xué)里來,加重中學(xué)的負擔,教師需要站在高觀點的角度看待問題,找到問題的本質(zhì)內(nèi)涵,弄清命題人的命題方向,更好地指導(dǎo)中學(xué)的數(shù)學(xué)教學(xué).

3 小結(jié)

從上述的各種證法,可以看出在證明函數(shù)不等式的題型中,不管問題如何變化,多數(shù)還是把函數(shù)不等式的證明轉(zhuǎn)化為研究函數(shù)的單調(diào)性或求最值.常見的證明方法有構(gòu)造函數(shù)證明;利用函數(shù)不等式模型ex≥x＋1,lnx≤x－1(x＞0)進行放縮;借助三角函數(shù)的有界性進行放縮等.因此,在復(fù)習中必須清楚單調(diào)性是函數(shù)的核心性質(zhì),要深化對函數(shù)單調(diào)性的認識,注重導(dǎo)數(shù)法在函數(shù)單調(diào)性中的應(yīng)用.另外,要善于總結(jié),將函數(shù)與導(dǎo)數(shù)試題分門別類,并歸納出常用的解法,通過解題訓(xùn)練提煉函數(shù)問題的數(shù)學(xué)思想,重點運用轉(zhuǎn)化與化歸、數(shù)形結(jié)合、分類討論等思想方法處理函數(shù)與導(dǎo)數(shù)問題.

(完)