談不等式恒成立求參數(shù)范圍問題的解題策略
——以一道聯(lián)考導(dǎo)數(shù)題為例

劉海濤

(安徽省蕪湖市第一中學(xué))

縱觀近幾年的高考和各級各類模擬考試,不等式恒成立求參數(shù)范圍問題越來越受命題者的青睞,已成為?？汲Ｐ碌膯栴},因此該類問題是高考備考的一大重點.從內(nèi)容來看,該類試題的交會面廣,綜合考查函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式等方面的知識;該類試題不僅可以很好地考查學(xué)生的“四基”(基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗),還能考查學(xué)生的關(guān)鍵能力和數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)(數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)運算).但是從實際的教師教學(xué)和學(xué)生掌握情況來看,該類問題又是復(fù)習(xí)備考的一大難點.如何有效突破這一重點、難點,成為廣大一線教師在復(fù)習(xí)備考中亟待解決的一大課題,現(xiàn)筆者結(jié)合自身教學(xué)實踐與研究,以一道聯(lián)考導(dǎo)數(shù)題為例,闡述如何突破該類問題的解題策略.

1 問題呈現(xiàn)與分析

題目已知函數(shù)f(x)＝－lnx(a＞0).

(1)當(dāng)a＝時,分析函數(shù)f(x)的單調(diào)性;

(2)若對任意的x＞0,f(x)≥lna＋2恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.

分析第(1)問屬于常規(guī)問題,本文不再贅述.本文重點論述第(2)問,此問是含有參數(shù)的不等式恒成立問題,綜合性強、解法靈活、難度較大,主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、含參不等式恒成立求參數(shù)范圍等知識,考查了學(xué)生分析問題、解決問題的能力及化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想,體現(xiàn)了邏輯推理、數(shù)學(xué)運算等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).本文嘗試從不同的角度對本題的第(2)問予以思考,給出不同的解法.

2 解法探究

策略1函數(shù)最值法

對于一些含參不等式恒成立問題,將不等式朝著有利于通過導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性的方向變形,整理成一側(cè)為常數(shù)(一般為零)的形式,根據(jù)題目的全稱量詞或存在量詞(?或?),將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值與常數(shù)(一般為零)的關(guān)系,這是處理不等式問題的通法.

策略2“切線”放縮法

一些含參不等式中,將指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)綜合起來考查,尤其是與ex,lnx有關(guān)的超越函數(shù)問題,若直接求導(dǎo)找零點(多數(shù)情況下是隱零點),過程往往復(fù)雜煩瑣,此時若能巧妙運用一些“切線不等式”進行放縮,將復(fù)雜的超越函數(shù)轉(zhuǎn)化為簡單函數(shù)(以直代曲),常?？梢云鸬交睘楹啞⒒y為易的效果.牢記兩個重要的“切線不等式”:ex≥x＋1(x∈R,當(dāng)且僅當(dāng)x＝0時等號成立);lnx≤x－1(x∈R,當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時等號成立),這兩個不等式是“切線”放縮法的基礎(chǔ).

解法2(利用ex≥ex放縮)由ex≥ex,得

解法3(利用lnx≤x－1放縮)由lnx≤x－1,得

設(shè)h(x)＝－x－lna－1,求導(dǎo)得h′(x)＝1,當(dāng)0＜x＜ln(ae2)時,h′(x)＜0,當(dāng)x＞ln(ae2)時,h′(x)＞0,則h(x)在(0,ln(ae2))上單調(diào)遞減,在(ln(ae2),＋∞)上單調(diào)遞增,所以

當(dāng)x＝1且x＝ln(ae2)時,f(x)－lna－2取得最小值－2lna－2,故－2lna－2≥0,即0＜a≤

策略3“同構(gòu)”法

有些題中的不等式經(jīng)適當(dāng)整理變形后,可以表示成兩側(cè)結(jié)構(gòu)相同的形式,如F(x)≥0 等價變形為f(g(x))≥f(h(x)),利用這個結(jié)構(gòu)式構(gòu)造對應(yīng)函數(shù)f(x),進而利用所構(gòu)造函數(shù)f(x)的性質(zhì)(單調(diào)性、奇偶性、對稱性等)解題,這就是同構(gòu)法.常見的同構(gòu)形式有xex＝elnx＋xelnx－x,x＋lnx＝ln(xex),x－lnx＝ln等.

解法4(同構(gòu)“ex＋x”法)由f(x)＝lnx≥lna＋2,得ex－lna－2－lna－2≥lnx,即ex－lna－2＋x－lna－2≥x＋lnx＝elnx＋lnx.設(shè)φ(t)＝et＋t,則φ(x－lna－2)≥φ(lnx),易知φ(t)為增函數(shù),所以x－lna－2≥lnx,即lna≤xlnx－2,又x－lnx≥1(當(dāng)且僅當(dāng)x＝1 時等號成立),則lna≤－1,即0＜a≤解法5(同構(gòu)“l(fā)nx＋x”法)由f(x)＝lnx≥lna＋2,可得ex－lna－2－lna－2≥lnx,即ex－lna－2＋x－lna－2＝ex－lna－2＋lnex－lna－2≥x＋lnx.設(shè)φ(t)＝t＋lnt,則φ(ex－lna－2)≥φ(x),易知φ(t)為增函數(shù),所以ex－lna－2≥x,又ex－1≥x(當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時等號成立),則lna＋2≤1,即0＜a≤

解法6(同構(gòu)“xex”法)由f(x)≥lna＋2,整理得xex≥ae2xln(ae2x),即xex≥ln(ae2x)·eln(ae2x).設(shè)φ(t)＝tet(t＞0),則φ(x)≥φ(ln(ae2x)),求導(dǎo)得φ′(t)＝(t＋1)et＞0,則φ(t)為增函數(shù),所以x≥ln(ae2x),即ex≥ae2x,a≤,又ex－1≥x(當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時等號成立),則,所以0＜a≤

策略4必要性“探路”法

對一類函數(shù)不等式恒成立問題,可以通過取函數(shù)定義域中某個數(shù),縮小參數(shù)的討論范圍,獲得初步的參數(shù)范圍,之后在此范圍內(nèi)繼續(xù)討論進而解決問題.在這個定義中,“取函數(shù)定義域中的某一個數(shù)”相當(dāng)于尋找一個能使題意成立的必要條件,而題目本身要尋求的參數(shù)的取值范圍(或最值)相當(dāng)于是使題意成立的充分必要條件.因此,在找到必要條件的基礎(chǔ)上,只需要證明這個條件反過來能推出題意,即證明這個條件也是滿足題意的充分條件.這樣,充分性和必要性都成立,那么所求出的范圍必然是題目所尋求的參數(shù)的準確取值范圍,這便是必要性“探路”法.

策略5“凹凸”反轉(zhuǎn)法

有些不等式,將其適當(dāng)變形,使之滿足兩個條件:1)不等式變形后,不等號兩側(cè)的對應(yīng)函數(shù)呈現(xiàn)凹凸反轉(zhuǎn)的特點;2)兩側(cè)對應(yīng)函數(shù)在同一點取最值.如不等式F(x)≥0變形為f(x)≥g(x),f(x)為凹函數(shù)且在x＝x0處取得最小值,g(x)為凸函數(shù)且在x＝x0處取得最大值,問題可轉(zhuǎn)化為f(x0)≥g(x0).

策略6反函數(shù)法

若函數(shù)m(x)與函數(shù)n(x)互為反函數(shù),則這兩個函數(shù)的圖像關(guān)于直線y＝x對稱,于是不等式m(x)≥n(x)等價于m(x)≥x(或x≥n(x)),同時,同底的對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)互為反函數(shù),所以在解決一些同時含有指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的不等式問題時,若我們能將不等式變形為m(x)≥n(x)的形式,則可以借助m(x)≥x(或x≥n(x))解題,減少運算,化繁為簡.

3 變式訓(xùn)練

4 小結(jié)

數(shù)學(xué)解題的目的是什么? 是求出問題的答案嗎?是,但不全是.解題的目的是鞏固數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識、落實數(shù)學(xué)基本技能、感悟數(shù)學(xué)思想方法、提升數(shù)學(xué)思維活動經(jīng)驗.筆者從6個不同的角度思考問題,得到以上9種不同解法,總結(jié)歸納出6種處理含參不等式恒成立問題的解題策略,以期對讀者的教學(xué)、學(xué)習(xí)、研究有所幫助.不同的思維方式帶來不同的解答形式,在日常的學(xué)習(xí)中,我們要善于通過一題多解來發(fā)現(xiàn)知識之間的內(nèi)在聯(lián)系,體會知識之間的化歸與轉(zhuǎn)化,構(gòu)建知識之間的網(wǎng)絡(luò)體系.這樣我們才能在學(xué)習(xí)基礎(chǔ)知識、掌握基本技能的同時,有效鍛煉思維的深刻性、廣闊性、靈活性和創(chuàng)新性,達到舉一反三、融會貫通的水平,進而提高自身的數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

(完)