導(dǎo)數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用問(wèn)題

于苗苗

(山東省平度第一中學(xué))

導(dǎo)數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用問(wèn)題一直是高考的熱點(diǎn)之一.此類問(wèn)題通常以實(shí)際生活應(yīng)用為命題背景,進(jìn)而結(jié)合數(shù)學(xué)知識(shí)合理構(gòu)建相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型,借助題目條件適當(dāng)選定相應(yīng)的變量,尋找各變量之間的關(guān)系,并構(gòu)建對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)關(guān)系,特別是相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系,結(jié)合函數(shù)的求導(dǎo),利用導(dǎo)數(shù)法來(lái)轉(zhuǎn)化與解決對(duì)應(yīng)的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題時(shí),要從數(shù)學(xué)角度給出合理的、最佳的決策方案.

1 生活判斷方面的應(yīng)用問(wèn)題

例1隨著城市的不斷發(fā)展,交通狀況越來(lái)越受到大家的普遍關(guān)注.根據(jù)某城市有關(guān)的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì),從每天上午7時(shí)到10時(shí),車輛通過(guò)該市某一路段的用時(shí)y(分鐘)與車輛進(jìn)入該路段的時(shí)刻t之間的關(guān)系可近似地用如下函數(shù)來(lái)表示:y＝－＋36t－,則在每天上午7時(shí)到10時(shí)這段時(shí)間內(nèi),通過(guò)該路段用時(shí)最多的時(shí)刻是( ).

A.6時(shí) B.7時(shí) C.8時(shí) D.9時(shí)

分析對(duì)生活中實(shí)際問(wèn)題所對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式進(jìn)行合理求導(dǎo),并確定導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn),結(jié)合實(shí)際問(wèn)題判斷其單調(diào)性、極值,是求解相應(yīng)的最值問(wèn)題的策略.

解令y′＝－t＋36＝0,即t2＋4t－96＝0,解得t＝8或－12(舍),當(dāng)7＜t＜8時(shí),y′＞0;當(dāng)8＜t＜10時(shí),y′＜0,所以當(dāng)t＝8時(shí),函數(shù)有極大值,也是最大值,故選C.

涉及生活判斷方面的應(yīng)用問(wèn)題,求解關(guān)鍵是合理建立數(shù)學(xué)模型,正確求導(dǎo),確定對(duì)應(yīng)的單調(diào)性、極值與最值,并結(jié)合生活實(shí)際合理判斷與應(yīng)用.

2 技巧工具方面的應(yīng)用問(wèn)題

例2已知x,y∈R*,且滿足＋2y＝3,則的最大值為_(kāi)_______.

分析根據(jù)條件中代數(shù)式的定值確定參數(shù)x的取值范圍,進(jìn)而利用消參法把轉(zhuǎn)化為含有參數(shù)x的函數(shù)f(x),結(jié)合函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)確定f(x)的最大值,從而確定的最大值.

在確定一些代數(shù)式的最值問(wèn)題時(shí),特別是多元代數(shù)式、分式、根式等問(wèn)題,經(jīng)常借助導(dǎo)數(shù)法來(lái)進(jìn)行求解,從而達(dá)到合理快捷破解問(wèn)題的目的.

3 知識(shí)融合方面的應(yīng)用問(wèn)題

例3如圖1所示,圓形紙片的圓心為O,半徑為5cm,該紙片上等邊△ABC的中心為O.D,E,F為圓O上的點(diǎn),△DBC,△ECA,△FAB分別是以BC,CA,AB為底邊的等腰三角形.沿虛線剪開(kāi)后,分別以BC,CA,AB為折痕折起△DBC,△ECA,△FAB,使得D,E,F重合,得到三棱錐.當(dāng)△ABC的邊長(zhǎng)變長(zhǎng)時(shí),所得三棱錐體積(單位:cm3)的最大值為_(kāi)_____.

圖1

分析根據(jù)平面幾何的知識(shí),設(shè)出相應(yīng)的參數(shù),進(jìn)而推導(dǎo)出三棱錐體積V的解析式,構(gòu)造函數(shù),結(jié)合導(dǎo)數(shù)法的處理來(lái)確定相應(yīng)的最值,進(jìn)而確定所得三棱錐體積的最大值.

圖2

本題巧妙把棱柱和棱錐的知識(shí)、函數(shù)的概念、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用等巧妙融合,同時(shí)結(jié)合數(shù)學(xué)建模、空間想象等能力,有效整合知識(shí),拓展數(shù)學(xué)應(yīng)用.

4 規(guī)劃決策方面的應(yīng)用問(wèn)題

例4海南省為了進(jìn)一步實(shí)施與推進(jìn)國(guó)務(wù)院“關(guān)于推進(jìn)海南國(guó)際旅游島建設(shè)意見(jiàn)”,決定適當(dāng)引入民間資本參與全面建設(shè).假設(shè)某民營(yíng)企業(yè)承包經(jīng)營(yíng)某旅游景點(diǎn)的門票成本價(jià)為30元,同時(shí)每賣出一張門票需向旅游主管部門上交a元(a為常數(shù),2≤a≤5,且a不計(jì)入成本價(jià))的管理費(fèi)用,經(jīng)物價(jià)部門核定門票最低不低于35元,最高不超過(guò)41元.根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查,設(shè)每張門票的售價(jià)為x元,門票日銷售量與ex(其中e＝2.71828…)成反比例,且已知若門票價(jià)格定為40元/張時(shí),日銷售門票500張.

(1)求該民營(yíng)企業(yè)承包經(jīng)營(yíng)該旅游景點(diǎn)的日利潤(rùn)P(x)元與每張門票的售價(jià)x元之間的函數(shù)關(guān)系式;

(2)試問(wèn)當(dāng)每張門票的售價(jià)為多少元時(shí),該旅游景點(diǎn)的日利潤(rùn)P(x)最大,并求出日利潤(rùn)P(x)的最大值.

分析(1)先表示出門票的日銷售量y與門票售價(jià)x之間的函數(shù)關(guān)系式,再由已知條件計(jì)算參數(shù)k的值,進(jìn)而推導(dǎo)函數(shù)P(x)與x之間的函數(shù)關(guān)系式,要注意確定對(duì)應(yīng)的定義域;(2)通過(guò)對(duì)函數(shù)P(x)求導(dǎo),利用導(dǎo)數(shù)求其最值.

解(1)根據(jù)題意,門票的日銷售量與ex(其中e＝2.71828…)成反比例,可設(shè)門票的日銷售量y與每張門票的售價(jià)x之間的函數(shù)關(guān)系式為y＝(k∈R,k≠0,35≤x≤41),又因?yàn)殚T票價(jià)格定為40元/張時(shí),日銷售門票為500 張,則有500＝,解得k＝500×e40,則知y＝＝500×e40－x.那么該民營(yíng)企業(yè)承包經(jīng)營(yíng)該旅游景點(diǎn)的日利潤(rùn)P(x)與每張門票的售價(jià)x的函數(shù)關(guān)系式為

(2)由(1)知P(x)＝500(x－30－a)×e40－x(2≤a≤5,35≤x≤41),則有

由P′(x)＝0,可得x＝31＋a,則知此時(shí)旅游景點(diǎn)的日利潤(rùn)P(x)最大,且P(x)的最大值為500(31＋a－30－a)×e40－(31＋a)＝500×e9－a.

本題是實(shí)際問(wèn)題通過(guò)建立函數(shù)關(guān)系式,利用指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)以及導(dǎo)數(shù)來(lái)求解相關(guān)的最值問(wèn)題.關(guān)鍵是正確建立函數(shù)關(guān)系式,確定參數(shù)的取值范圍.

在實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題中,對(duì)于一些求解有關(guān)最優(yōu)化的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題,如利潤(rùn)最大、費(fèi)用最省、路程最短、用時(shí)最少、效率最高等問(wèn)題時(shí),往往需要借助函數(shù)的導(dǎo)數(shù)這一工具,從數(shù)學(xué)角度逐步解決實(shí)際問(wèn)題,有效建模,合理解決,提升數(shù)學(xué)能力,培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

(完)