導(dǎo)數(shù)與三角“交會型”試題演繹出來的精彩

巨小鵬

(陜西省漢中市龍崗學(xué)校)

作為高考壓軸題,承擔(dān)著選拔人才功能的導(dǎo)數(shù)與三角函數(shù)結(jié)合的試題,能考查學(xué)生綜合能力和素養(yǎng).新高考的考查已經(jīng)不僅僅局限于基本知識和基本技能,更重視對學(xué)生綜合核心素養(yǎng)和關(guān)鍵能力的考查,題目會更加靈活多變,富有創(chuàng)新性和綜合性.在有限的題目里融入數(shù)學(xué)文化、生活實際,那么知識之間的融合必然會更加精彩,將不同的知識點融合交會,提高了難度,也考查了學(xué)生的綜合素養(yǎng).導(dǎo)數(shù)與三角函數(shù)的精彩交會將是繼指數(shù)函數(shù)、對冪函數(shù)綜合交會之后的又一題型,于是周期性、有界性和放縮就被融入進(jìn)來,在這個過程中,單調(diào)性、最值、極值、零點、取值范圍、恒成立和證明不等式等成了精彩交會的熱點.

1 恒成立問題

不等式恒成立問題常見方法:1)分離參數(shù)a≤f(x)恒成立(a≤fmin(x))或a≥f(x)恒成立(a≥fmax(x));2)數(shù)形結(jié)合;3)討論最值fmin(x)≥0或fmax(x)≤0恒成立;4)直接討論參數(shù).

例1(2015 年湖南卷文21)已知a＞0,函數(shù)f(x)＝aexcosx(x∈[0,＋∞),記xn為f(x)從小到大的第n(n∈N*)個極值點.

(1)證明:數(shù)列{f(xn)}是等比數(shù)列;

(2)若對一切n∈N*,xn≤|f(xn)|恒成立,求a的取值范圍.

在解決數(shù)列與函數(shù)的綜合問題時,如果是證明題,要根據(jù)數(shù)列的定義明確證明的方向,如果是不等式恒成立問題,要使用不等式恒成立的各種不同解法(如變量分離法、最值法、因式分解法等)進(jìn)行求解.總之解決這類問題要把數(shù)列看作特殊函數(shù),并把它和不等式的知識巧妙結(jié)合起來綜合處理.

2 不等式證明問題

例2(2020年全國Ⅱ卷理21)已知函數(shù)f(x)＝sin2xsin2x.

(1)討論f(x)在區(qū)間(0,π)的單調(diào)性;

(2)證明:|f(x)|≤

(3)設(shè)n∈N*,證明:

(3)結(jié)合(2)的結(jié)論有

導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)有效的工具,而函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中重要的知識,對導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的考查主要從以下幾個角度進(jìn)行:1)導(dǎo)數(shù)的幾何意義,往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系;2)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,判斷單調(diào)性或根據(jù)單調(diào)性求參數(shù);3)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(極值),解決生活中的優(yōu)化問題;4)考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.

例3(2019 年天津卷理20)設(shè)函數(shù)f(x)＝excosx,g(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù).

(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;

(2)當(dāng)x∈]時,證明:

1)利用導(dǎo)數(shù)證明不等式或解決不等式恒成立問題關(guān)鍵是把不等式變形后構(gòu)造恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù),然后用導(dǎo)數(shù)判斷該函數(shù)的單調(diào)性或求出最值,以達(dá)到證明不等式的目的;2)利用導(dǎo)數(shù)解決不等式恒成立問題,應(yīng)特別注意區(qū)間端點是否能取到;3)學(xué)會觀察不等式與函數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系,學(xué)會變主元構(gòu)造函數(shù),再利用導(dǎo)數(shù)證明不等式.

3 極值問題

例4(2017年山東卷理20)已知函數(shù)f(x)＝x2＋2cosx,g(x)＝ex(cosx－sinx＋2x－2),其中e＝2.71828…是自然對數(shù)的底數(shù).

(1)求曲線y＝f(x)在點(π,f(π))處的切線方程;

(2)令h(x)＝g(x)－af(x)(a∈R),討論h(x)的單調(diào)性并判斷有無極值,有極值時求出極值.

(1)y＝2πx－π2－2(求解過程略).

(2)由題意可得

則h′(x)＝2(ex－a)(x－sinx),令m(x)＝x－sinx,則m′(x)＝1－cosx≥0,所以m(x)在R 上單調(diào)遞增.又因為m(0)＝0,所以當(dāng)x＞0 時,m(x)＞0,當(dāng)x＜0時,m(x)＜0.

當(dāng)a≤0時,ex－a＞0.若x＜0,h′(x)＜0,h(x)單調(diào)遞減;若x＞0,h′(x)＞0,h(x)單調(diào)遞增,所以當(dāng)x＝0時,h(x)取得極小值h(0)＝－2a－1.

當(dāng)a＞0時,由h′(x)＝0,得x1＝lna,x2＝0.

當(dāng)0＜a＜1時,lna＜0,當(dāng)x∈(－∞,lna)時,h(x)單調(diào)遞增;當(dāng)x∈(lna,0)時,h(x)單調(diào)遞減;當(dāng)x∈(0,＋∞)時,h(x)單調(diào)遞增,所以h(x)極大值為h(lna)＝－a[ln2a－2lna＋sin(lna)＋cos(lna)＋2],極小值為h(0)＝－2a－1.

當(dāng)a＝1 時,lna＝0,所以h(x)在R 上單調(diào)遞增,無極值.

當(dāng)a＞1時,lna＞0,同理,當(dāng)x＝0時,h(x)取得極大值h(0)＝－2a－1,h(x)取得極小值h(lna)＝－a[ln2a－2lna＋sin(lna)＋cos(lna)＋2].

此題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值、分類討論思想.恰當(dāng)分類討論是關(guān)鍵,當(dāng)一次求導(dǎo)不能解決問題時,可以再次求導(dǎo).易錯點是分類討論不全面、不徹底、不恰當(dāng),或?qū)?fù)雜式子變形能力差,從而造成不能完整解答出來.

4 零點問題

對函數(shù)零點的考查主要有驗證零點的存在性、判斷零點的個數(shù)以及已知零點個數(shù)求參數(shù)的取值范圍.

例5(2019年全國Ⅰ卷文20)已知函數(shù)

(1)證明:f′(x)在區(qū)間(0,π)存在唯一零點;

(2)若x∈[0,π]時,f(x)≥ax,求a的取值范圍.

綜上,f′(x)在區(qū)間(0,π)存在唯一零點.

(2)方法1若x∈[0,π]時,f(x)≥ax,令

則h′(x)＝cosx＋xsinx－1－a,由(1)可知,

當(dāng)a≤－2 時,h(x)在[0,π]上單調(diào)遞增,所以h(x)≥h(0)＝0,此時f(x)＞ax恒成立.

綜上,a的取值范圍為(－∞,0].

方法2由(1)可知,f′(x)在區(qū)間(0,π)存在唯一零點,設(shè)為x0,則f(x)在(0,x0)上單調(diào)遞增,在(x0,0)上單調(diào)遞減.又因為f(0)＝0,f(π)＝0,所以當(dāng)0≤x≤π時,f(x)≥0,又當(dāng)a≤0,0≤x≤π 時,ax≤0,故f(x)≥ax;當(dāng)a＞0 時,f(π)＝0≤aπ,f(x)≥aπ不恒成立.

綜上,a取值范圍為(－∞,0].

本題利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)零點個數(shù)、根據(jù)恒成立的不等式求解參數(shù)范圍.對于此類端點值恰為恒成立不等式取等的問題,通法是采用構(gòu)造函數(shù)的方式,將問題轉(zhuǎn)變成求函數(shù)的最值,進(jìn)而通過導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)來確定所構(gòu)造函數(shù)的單調(diào)性,從而得到最值.結(jié)合第(1)問的結(jié)論分析不等式結(jié)構(gòu),往往會有出其不意的結(jié)果,比如方法2,利用必要性探路,先猜后證,避免了分類討論.我們發(fā)現(xiàn)通法中分類討論是通法必不可少的,原因就在于三角函數(shù)具有周期性和有界性.

三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)等綜合的問題,難點在于三角函數(shù)求導(dǎo)后依然是三角函數(shù).除了以上幾種類型,還有已知極值點或者零點(個數(shù))求參數(shù)取值范圍問題、零點不存在問題、最值問題等.這些題看似是由不同的函數(shù)進(jìn)行融合,但可以利用導(dǎo)數(shù)的優(yōu)越性、三角函數(shù)的特殊性對函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行再次研究,其實最終還是萬變不離其宗,學(xué)生做題時要善于提煉方法,進(jìn)行變式訓(xùn)練,以提升自身的核心素養(yǎng).

(完)