多維探究 發(fā)展素養(yǎng)*
——對(duì)一個(gè)導(dǎo)數(shù)問(wèn)題的探究

深圳市高級(jí)中學(xué)(集團(tuán))中心校區(qū)(518040)譚業(yè)靜 平光宇

利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值,進(jìn)而解決與函數(shù)的零點(diǎn)、極值點(diǎn)相關(guān)的不等式恒(能)成立、等式能成立等綜合問(wèn)題,是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的難點(diǎn),也是高考?jí)狠S題的熱門(mén)考點(diǎn).在高考備考復(fù)習(xí)中,抓住典型例題,多維度剖析和探究.認(rèn)清問(wèn)題的本質(zhì),掌握常見(jiàn)的基本方法和思路,廣泛聯(lián)系、引申拓展,優(yōu)化思維品質(zhì),不僅是分析和解決問(wèn)題的關(guān)鍵,也是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的必經(jīng)之路.

一、題目

題目已知函數(shù)f(x)=lnx-ax有兩個(gè)零點(diǎn)x1,x2.

(1)求a的取值范圍;

(2)求證:x1x2＞e2.

二、解題探究

(一)題目第(1)問(wèn)的解法及思路剖析

思路剖析方法一,原函數(shù)并不復(fù)雜,可以直接研究.對(duì)參數(shù)a分情況討論,解析其單調(diào)性,求出極大值,依題意求解.需要注意的是對(duì)于函數(shù)f(x)在x →0 和x →+∞時(shí)的函數(shù)值的變化趨勢(shì)要給予論述說(shuō)明;方法二,通過(guò)分離函數(shù),將原函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題.培養(yǎng)轉(zhuǎn)化與劃歸、數(shù)形結(jié)合的思想,發(fā)展邏輯推理、直觀想象等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).方法三,通過(guò)分離參數(shù),構(gòu)建新的目標(biāo)函數(shù),將參數(shù)a有效地轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)新函數(shù)的函數(shù)值.利用函數(shù)的單調(diào)性、最值及函數(shù)的變化性態(tài),促進(jìn)問(wèn)題的解決.以上三種方法,是解決這類問(wèn)題的常見(jiàn)的通解通法.

(二)題目第(2)問(wèn)的解法與思路剖析

三、問(wèn)題的引申與發(fā)展