文/陳 緩
方程和不等式是刻畫(huà)數(shù)量關(guān)系的重要模型,包含方程與方程組、不等式與不等式組兩個(gè)方面,也是中考的必考知識(shí)??傮w而言,主要有三種考查方式:一是概念,二是解法,三是應(yīng)用。下面我們以不等式為例,從教材例題出發(fā),結(jié)合中考題,對(duì)解題方法與技巧進(jìn)行剖析,以不變應(yīng)萬(wàn)變,在不等式的世界中乘風(fēng)破浪。
例(蘇科版數(shù)學(xué)教材七年級(jí)下冊(cè)第136頁(yè))解不等式組
【分析】根據(jù)一元一次不等式的解法,由①,得x≥1,由②,得x>2。再利用數(shù)軸的數(shù)形結(jié)合或口訣“同大取大,同小取小,大小小大取中間,大大小小是無(wú)解”來(lái)確定不等式組的解集。
解:解不等式①,得x≥1。
解不等式②,得x>2。
所以,不等式組的解集是x>2。
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元一次不等式組的解法,先求出每一個(gè)不等式的解集,然后根據(jù)不等式解集的確定方法,確定兩個(gè)不等式解集的公共部分。
變式1(2021·江蘇南通)若關(guān)于x的不等式組恰有3個(gè)整數(shù)解,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( )。
A.7<a<8 B.7<a≤8
C.7≤a<8 D.7≤a≤8
【分析】首先確定一元一次不等式組的解集為4.5<x≤a,然后根據(jù)整數(shù)解的個(gè)數(shù),來(lái)確定a的取值范圍。
解:解不等式2x+3>12,得x>4.5,解不等式x-a≤0,得x≤a。由于原不等式組恰有3個(gè)整數(shù)解,所以,不等式組的解集是4.5<x≤a,且整數(shù)解為5,6,7。所以,實(shí)數(shù)a的取值范圍是7≤a<8。故選C。
【點(diǎn)評(píng)】本題重在考查不等式組的解法,同學(xué)們要準(zhǔn)確地得到不等式組的整數(shù)解和a的取值范圍,一定要仔細(xì)判斷是否取端點(diǎn)值。悄悄告訴你,將端點(diǎn)值代入檢驗(yàn)是避免錯(cuò)誤的好方法!
變式2(2020·山東濱州)若關(guān)于x的不等式組無(wú)解,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是____。
【分析】首先求出每個(gè)不等式的解集,x>2a和x≤2,利用數(shù)軸或口訣“同大取大,同小取小,大小小大取中間,大大小小是無(wú)解”得到a≥1。
解:解不等式x-a>0,得x>2a;解不等式4-2x≥0,得x≤2。因?yàn)椴坏仁浇M無(wú)解,所以2a≥2,即a≥1。
【點(diǎn)評(píng)】此題是探究一元一次不等式組無(wú)解的問(wèn)題。正確求出每個(gè)不等式的解集是基礎(chǔ)。結(jié)合數(shù)軸利用數(shù)形結(jié)合思想或口訣解答此題是關(guān)鍵,也是同學(xué)們?cè)诮庖辉淮尾坏仁浇M時(shí)應(yīng)具備的基本技能,大家要牢牢掌握。
變式3(2021·江蘇無(wú)錫)為了提高廣大職工對(duì)消防知識(shí)的學(xué)習(xí)熱情,增強(qiáng)職工的消防意識(shí),某單位工會(huì)決定組織消防知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng),本次活動(dòng)擬設(shè)一、二等獎(jiǎng)若干名,并購(gòu)買相應(yīng)獎(jiǎng)品。現(xiàn)有經(jīng)費(fèi)1275元用于購(gòu)買獎(jiǎng)品,且經(jīng)費(fèi)全部用完,已知一等獎(jiǎng)獎(jiǎng)品單價(jià)與二等獎(jiǎng)獎(jiǎng)品單價(jià)之比為4:3。當(dāng)用600元購(gòu)買一等獎(jiǎng)獎(jiǎng)品時(shí),共可購(gòu)買一、二等獎(jiǎng)獎(jiǎng)品25件。
(1)求一、二等獎(jiǎng)獎(jiǎng)品的單價(jià);
(2)若購(gòu)買一等獎(jiǎng)獎(jiǎng)品的數(shù)量不少于4件且不超過(guò)10件,則共有哪幾種購(gòu)買方式?
【分析】(1)設(shè)一等獎(jiǎng)獎(jiǎng)品單價(jià)為4x元,則二等獎(jiǎng)獎(jiǎng)品單價(jià)為3x元,根據(jù)數(shù)量=總價(jià)÷單價(jià),可得到關(guān)于x的分式方程,解方程并檢驗(yàn)后即可得出x的值,再將其代入4x、3x中便可求出單價(jià);(2)設(shè)購(gòu)買一等獎(jiǎng)獎(jiǎng)品m件,二等獎(jiǎng)獎(jiǎng)品n件,利用總價(jià)=單價(jià)×數(shù)量,可列出關(guān)于m、n的二元一次方程,結(jié)合m、n均為正整數(shù)且4≤m≤10,即可得出購(gòu)買方案。
解:(1)設(shè)一等獎(jiǎng)獎(jiǎng)品單價(jià)為4x元,則二等獎(jiǎng)獎(jiǎng)品單價(jià)為3x元。根據(jù)題意,得
解這個(gè)方程,得x=15,
經(jīng)檢驗(yàn),x=15是原方程的解,且符合題意,
∴4x=60,3x=45。
答:一等獎(jiǎng)獎(jiǎng)品單價(jià)為60元,二等獎(jiǎng)獎(jiǎng)品單價(jià)為45元。
(2)設(shè)購(gòu)買一等獎(jiǎng)獎(jiǎng)品m件,二等獎(jiǎng)獎(jiǎng)品n件。
根據(jù)題意,得60m+45n=1275,
∵m、n均為正整數(shù),且4≤m≤10,
∴共有3種購(gòu)買方案。
答:共有3種購(gòu)買方案。方案一:購(gòu)買4件一等獎(jiǎng)獎(jiǎng)品,23件二等獎(jiǎng)獎(jiǎng)品;方案二:購(gòu)買7件一等獎(jiǎng)獎(jiǎng)品,19件二等獎(jiǎng)獎(jiǎng)品;方案三:購(gòu)買10件一等獎(jiǎng)獎(jiǎng)品,15件二等獎(jiǎng)獎(jiǎng)品。
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分式方程、二元一次方程、一元一次不等式的綜合應(yīng)用。解題的關(guān)鍵在于找準(zhǔn)問(wèn)題中的等量關(guān)系,正確列出分式方程和二元一次方程,找出符合條件的整數(shù)解。此外,同學(xué)們要注意把握細(xì)節(jié),對(duì)于分式方程的解,要記得檢驗(yàn)。