基于變步長因子的改進LMS算法

鄭鴻瑞，趙亞文，周風波，甘昭林，胡祎，譚燕花

（邵陽學(xué)院，湖南邵陽，422000）

0 引言

信號自適應(yīng)濾波算法主要是為了處理一些由于噪聲干擾太強導(dǎo)致信噪比較小的信號，因為在實際的測試中，噪聲的干擾無處不在，這些噪聲或大或小都影響到了實際測量的結(jié)果的精確性。減小這部分噪聲對測試的影響，一方面可以將噪聲消除，另一方面可以將所需的信號增強。如何將信號中的噪聲減少一直都是信號處理中的一個重點研究話題，傳統(tǒng)意義上的傅里葉變換去噪方法只適用于平穩(wěn)信號，但是對非平穩(wěn)信號的處理就顯得很無力。

目前國內(nèi)已知的信號增強算法常用的有小波信號增強算法、Savitzky-Golay去噪增強算法和LΜS算法。通過對LΜS算法展開研究，發(fā)現(xiàn)這種算法其本身計算復(fù)雜程度低，收斂性和穩(wěn)定性好，在國內(nèi)也得到了廣泛的應(yīng)用，但是在對其優(yōu)越性的研究的過程中也發(fā)現(xiàn)其本身存在一些缺陷，比如基本的LΜS算法收斂速度較慢，所需要的去噪時間長。如何找到辦法去降低去噪的時間，提高去噪效率，使得輸出信號在更較短的時間內(nèi)收斂趨于平穩(wěn)。為解決這個問題，小組對LΜS算法展開了一種方法的研究。

本方法具體實現(xiàn)是通過引出誤差因子這一概念，構(gòu)造誤差因子與誤差函數(shù)非線性關(guān)系的相關(guān)修正函數(shù)，并將誤差因子的范圍規(guī)范在一個較小的區(qū)間內(nèi)，通過以誤差函數(shù)作為自變量的函數(shù)關(guān)系式的變化去對步長因子進行進一步的修正，且對于每一個誤差函數(shù)值，誤差因子的修正都有不同的適應(yīng)性變化，最后由適應(yīng)性變化后的步長因子再更進一步對每一個加權(quán)系數(shù)進行適應(yīng)性的修正，最后起到了對帶噪聲信號的優(yōu)化和對收斂速度的提高的效果。

1 LMS理論分析

1.1 LMS算法

LΜS算法又被稱為最小均方（Least mean square）算法，是一種檢索算法，它是通過對目標函數(shù)進行適當修改[1-2]。在1960年由B.Widrow[3-5]和Hoff提出來的，這種算法也被稱為Δ規(guī)則。具體實現(xiàn)是通過對目標函數(shù)進行修改以便簡化梯度向量的計算算法。LΜS也是建立在維納濾波的算法基礎(chǔ)之上，借助最陡下降法得到了又進一步的發(fā)展。

LΜS算法的具體原理如圖1所示。

圖1 LMS算法原理圖

輸入信號矩陣：

加權(quán)系數(shù)構(gòu)成一個權(quán)系數(shù)矢量：

輸出信號：

誤差信號：

LΜS算法利用最小均方誤差函數(shù)作為優(yōu)化之后的目標函數(shù)，以此方法來尋找到最優(yōu)的加權(quán)系數(shù)W。LΜS算法最小均方值的準則[6]：

利用最陡下降算法，使信號沿著性能曲面下降最快速的方向（即負梯度方向）調(diào)整加權(quán)向量，并尋找到性能曲面的最小點。計算權(quán)向量的迭代公式為：

其中s（n）為期望值。LΜS算法所需要的加權(quán)系數(shù)是通過對前一時刻特性的估算來確定下一個時刻的值，通過不斷的估算，使誤差值逐漸減少，不斷趨近于0，一步一步得到最接近理想信號的波形。這種算法是通過迭代法求解實現(xiàn)的，所以會造成信號去噪的時間比較長，而且算法要求步長因子α的范圍處于0到最大特征值的倒數(shù)1/λmax之間[7]。因為步長因子α對算法的收斂性起著決定性的作用，若步長因子α的值太小，可能會導(dǎo)致噪聲過大，影響收斂速度；如果α太大，可能會導(dǎo)致參數(shù)更新的幅度大，使信號產(chǎn)生失真，同時也會使得信號收斂于局部最優(yōu)點，或者處于震蕩狀態(tài)，甚至會導(dǎo)致信號失真。因此，選擇合適的α參數(shù)值是LΜS算法的關(guān)鍵所在。

1.2 基于LMS算法的改進變步長因子算法

由于無法提前了解到外界環(huán)境中的各種隨機干擾信號和那些隨時間而規(guī)律性變化的噪聲，我們無法對步長因子進行強制性規(guī)定，故本章提出了一種改進型LΜS算法，該算法是在LΜS算法的基礎(chǔ)上對步長因子和與步長因子有關(guān)的函數(shù)參量進行誤差分析和適應(yīng)性變化去改進實現(xiàn)更為優(yōu)化的輸出信號，發(fā)現(xiàn)改進算法降低了信號在初始收斂時刻較大的噪聲的現(xiàn)象，使信號收斂速度提高，穩(wěn)定性增強。

1.2.1 改進LMS算法的變步長數(shù)學(xué)模型

該模型中0<μ<1/λmax的實現(xiàn)是通過將誤差因子μ規(guī)定在一個可調(diào)節(jié)的范圍內(nèi)，即λmax是輸入信號自相關(guān)矩陣的最大特征值。

函數(shù)通過取μ為一個中間值開始并在一定范圍內(nèi)進行變化和修正，降低了初始μ值過大或者過小引起的初始情況中噪聲較大的現(xiàn)象。因每一次迭代都會產(chǎn)生一個與期望值存在誤差的誤差值，所以這里提出了修正函數(shù)和誤差因子的概念，由μ與error（n）存在的非線性關(guān)系，利用誤差因子的大小ee去修正μ值的大小，使μ可以通過每一個輸入得到的誤差值的不同而適應(yīng)性改變，得到適應(yīng)性μ值。具體數(shù)學(xué)式如下：

在本模型中取0.00001<μ<0.20 ，設(shè)定參數(shù)a=0.99，r=0.0008。因為每一次迭代時對μ值進行修正時都是利用與誤差值的函數(shù)關(guān)系來進行修正的，但是在修改誤差因子時，仍在初始時刻有較小的噪聲干擾，導(dǎo)致收斂性能不高。因此需要改變誤差因子ee的函數(shù)模型進而去改變信號初始收斂時刻的收斂性能。

1.2.2 改進誤差因子ee

論文參考了Sigmoid函數(shù)，對誤差函數(shù)的方值進行修改，其定義式為：

然后將上述誤差因子代入之后再進行變換得到改進后的誤差函數(shù)，具體算法改進函數(shù)為：

根據(jù)圖2改進算法原理圖，通過exp指數(shù)函數(shù)和誤差函數(shù)的非線性關(guān)系，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，再通過error(n)修改每一次ee值從而對μ值進行修正達到預(yù)期的結(jié)果。

圖2 LMS改進算法原理圖

2 實驗與仿真

為了驗證改進變步長LΜS算法的濾波去噪的效果，采用了ΜATLAB軟件進行實驗仿真，將不同條件下的去除噪聲效果進行比較并得出相關(guān)結(jié)論。

圖3里面第一幅圖展示的是研究所構(gòu)造的初始正弦信號模型，第二幅圖中是構(gòu)造的隨機高斯白噪聲信號波形，第三幅圖展示的是將高斯白噪聲加到信號后的帶噪聲信號波形，并將其信噪比設(shè)置為10。

圖3 原始信號輸入信號

2.1 不同算法收斂過程比較

圖4中的第一幅圖仿真所得到的是常規(guī)LΜS算法濾波去噪過程中噪聲函數(shù)收斂過程，第二幅圖是變步長LΜS算法所得到的噪聲函數(shù)收斂過程圖，第三幅是改進之后的變步長LΜS算法得到噪聲函數(shù)收斂過程，將三個結(jié)果進行了比較可以知道：變步長LΜS算法所得到的結(jié)果雖然加快了去噪濾波效果和收斂速度，但在初始時刻仍存在有一定的噪聲干擾，而改進之后的LΜS算法的初始時間段的收斂速度明顯優(yōu)化了很多，濾波去噪效果也提高了，信號波形也相對更為平穩(wěn)。

圖4 算法的收斂過程

2.2 不同信噪比下收斂速度的比較

圖5(a)表示信噪比為10時不同LΜS算法中噪聲信號的收斂過程，圖5（b）表示信噪比為5時的LΜS算法的收斂過程，由圖可以看出信噪比減少之后，即噪聲占比增大后，變步長的LΜS算法的收斂速度明顯更優(yōu)于其他兩種方法且穩(wěn)定性并沒有下降的趨勢，這也驗證了變步長LΜS算法的收斂速度會隨著噪聲的增大而下降，而改進之后的變步長LΜS算法去噪性能并沒有因此而減小，收斂速度也沒有下降，信號波形也依舊平穩(wěn)。這也是改進算法的其中一個優(yōu)勢。

圖5 在不同信噪比下三種算法的比較

2.3 誤差函數(shù)比較

圖6中將變步長中采用的誤差因子與改進后的誤差因子進行了對比，從圖4中可以很明顯的看出，變步長中所采用的誤差函數(shù)的幅度區(qū)間比較大，所以得到的結(jié)果跳變性也比較大，通過不斷迭代之后所得到的輸出函數(shù)需要的時間也較為長。改進之后的誤差函數(shù)跳變性明顯要小很多，大大減少了收斂所需要的時間，這也是改進算法在數(shù)學(xué)理論上的優(yōu)化之處。

圖6 誤差函數(shù)

2.4 LMS改進算法性能比較

圖7 三種算法性能比較

表1 三種方法的均方誤差性能比較

通過采集三種算法下的數(shù)據(jù)并分別計算其均方值，再進行對比之后，可以發(fā)現(xiàn)，相同信噪比條件下，常規(guī)的LΜS算法的誤差均方值是相對較大的，而變步長算法的均方值相對之前顯著減少很多，改進LΜS算法的均方誤差值最小。當信噪比減小之后，變步長算法的均方誤差值變化較大，說明其收斂速度受噪聲影響大，相比之下，改進LΜS算法的誤差均方值變化較小，驗證了改進后的LΜS算法的噪聲屏蔽性能和收斂性能更佳。

3 結(jié)束語

通過比較三種LΜS算法的誤差性能和濾波去噪后的信號波形，可以得出：定步長算法的初始噪聲干擾比較大，但是伴隨著時間與迭代次數(shù)的增加，噪聲干擾會逐漸減少，信號會慢慢趨于平穩(wěn)，但是收斂的速度非常慢，需要迭代次數(shù)多；變步長因子算法改進了收斂慢的缺點，使得算法收斂性提高，但是仍存在一些缺陷，觀察可知道初始噪聲雖然比較小，但依舊存在，其初始收斂速度也有待提高，除此之外，收斂速度會隨著噪聲的增大而減?。桓倪M步長因子算法消除了初始時刻存在較小噪聲的問題，且收斂速度不會隨噪聲的增加而改變，整體的收斂穩(wěn)定性也相對得到了很大的提高。仿真結(jié)果表明，提出的改進LΜS算法去噪性能較前面兩種算法有更快的收斂速度、更小的穩(wěn)態(tài)誤差與更強的抗干擾能力。