彈道導彈中段反應式機動突防規(guī)避策略

樊博璇， 陳桂明， 林洪濤

(1.火箭軍工程大學, 陜西 西安 710025; 2. 31004部隊， 北京 100091)

0 引言

彈道導彈面臨的威脅主要在其飛行中段。美國、俄羅斯、以色列等國已成功實施中段飛行反導攔截試驗，相關技術仍在不斷改進完善，未來將對彈道導彈中段飛行安全構(gòu)成更大威脅。面對不斷發(fā)展強大的彈道導彈防御系統(tǒng)，要想提高彈道導彈的生存能力，就必須尋求全新的機動突防手段，研究大氣層外彈道導彈機動變軌突防策略是確保彈道導彈生存以及增強突防能力的有效途徑。

機動突防已由最初的程序式機動突防方式發(fā)展出短時大幅對抗規(guī)避式機動突防等新型突防方式。程序式機動突防的魯棒性較差，針對性強但適用性不廣，對發(fā)動機和控制系統(tǒng)性能要求較高。而短時大幅對抗規(guī)避式機動突防則是根據(jù)交戰(zhàn)狀態(tài)靈活機動，大大提高了彈道導彈突防的適用性和成功率。

對于以攔截脫靶量作為評價指標的追蹤逃逸問題，有一些研究成果，但短時大幅對抗規(guī)避式機動突防問題有其特殊性，主要表現(xiàn)在關注機動能力的同時，還要根據(jù)探測的攔截彈飛行狀態(tài)，決定使彈道導彈成功突防且攔截脫靶量最小的機動規(guī)避方向和時機。Yavin考慮了一個隨機的追蹤逃逸微分對策，在信息完全和信息不完全的情況下，建立攻防雙方的非線性偏微分方程，通過數(shù)值求解相應的方程，計算出最優(yōu)規(guī)避策略。孫守明等在雙方信息感知完全的設定下建立攻防對抗模型，以雙方可用過載有限為約束進行分析，得到在突防彈特征角給定的條件下，在某一相對距離進行規(guī)定機動可產(chǎn)生最大脫靶量的結(jié)論。但在實際交戰(zhàn)環(huán)境下，由于探測載荷能力有限，信息無法完全感知，因此，從完全信息設定出發(fā)的研究結(jié)論無法應用于實際交戰(zhàn)中。趙秀娜等將突防彈頭的機動方式設定為瞬時單次大脈沖機動，機動時機通過仿真分析設定為相遇前某時刻，機動方向的確定使用了計算量較大的智能搜索算法，因此實用性較差。吳啟星等在瞬時沖量假設下研究機動加速度增量大小、機動方向和機動時機3個因素對零控脫靶量以及落點偏移的影響，具備一定的參考價值。但瞬時沖量假設認為彈道導彈機動時只產(chǎn)生瞬時速度增量，忽略了機動的時間長度，導致無法分析攻防雙方關鍵的博弈過程。鮮勇等將微分對策理論應用于機動規(guī)避策略研究，并嘗試建立博弈策略集，但只考慮正向機動、負向機動以及不機動3種策略，設定過于簡化而使實用價值不高。楊濤使用推力固定、總工作時間有限的大推力軌控發(fā)動機，以節(jié)省機動時長為目標，建立突防彈與攔截彈的非線性微分對策模型，設置突防彈以不同的機動時機和機動加速度進行機動，并對攔截彈的攔截脫靶量進行數(shù)值仿真。

在彈道導彈對抗規(guī)避 式機動突防問題現(xiàn)有的研究成果中，對機動規(guī)避時機與方向的選擇仍缺乏全面的理論分析，研究工作多是基于仿真的探索性分析。雖然可以從仿真結(jié)果中發(fā)現(xiàn)一些規(guī)律，但無法得到具備實用性的結(jié)論，且設定的對抗參數(shù)大多不夠全面，未考慮真實對抗場景下的動態(tài)特性等因素，使得突防策略的適用條件受到限制。這些研究工作均未對所獲得的機動規(guī)避方向和時機進行清晰表述，無法轉(zhuǎn)化成適用于真實戰(zhàn)場環(huán)境、行之有效的技術手段。

本文建立并求解攻防雙方相對運動微分方程獲得彈道導彈短時大幅機動突防規(guī)避的最優(yōu)策略通過合理的運動學分析和模型簡化，得到假設對抗場景下的最優(yōu)機動規(guī)避方向。建立視線角速度多階段1階線性微分方程模型，分析得到脫靶量與機動時機的關系，得出最優(yōu)機動規(guī)避時機的數(shù)學表達式。仿真校核驗證所提出的機動規(guī)避策略，并分析參數(shù)有效性。

1 運動模型及相關設定

本文研究的是一個典型的追蹤—逃逸問題。為得到通用可靠的機動規(guī)避策略，將實際問題簡化為在無外力作用三維空間中的機動規(guī)避問題，建立慣性運動坐標系，使簡化后的空間具有各向同性。假設動能攔截器(EKV)機動采用的是無延遲、無噪聲的比例導引律，彈道導彈突防時采用單次瞬時大脈沖機動。

1.1 模型初始狀態(tài)設定

真實的對抗場景在大氣層外，所受空氣阻力可忽略不計，在彈道導彈與EKV距離較近的情況下，二者所受重力加速度大小和方向可認為近似相同，重力對二者相對位置和相對速度的影響也可忽略。首先給出坐標系的定義：以彈道導彈發(fā)現(xiàn)來襲EKV時刻彈道導彈質(zhì)心位置作為坐標系原點，建立與彈道導彈相對靜止的三維坐標系，如圖1所示。坐標系加速度與彈道導彈所受重力加速度相同，軸在該時刻EKV質(zhì)心矢徑方向，軸與相對速度在軸法平面內(nèi)的分量方向一致，軸由右手定則確定。可認為在此坐標系中，彈道導彈與EKV不受外力作用。

以彈道導彈發(fā)現(xiàn)來襲的EKV時刻為初始時刻，彈道導彈的位置向量=(0 m,0 m,0 m)，速度向量=(0 m/s,0 m/s,0 m/s)。EKV初始時刻位置向量=(,0 m,0 m)，表示初始時刻彈道導彈與EKV之間的相對距離，速度向量=(E0,E0,0 m/s)，E0、E0分別為初始時刻EKV軸和軸方向的速度。

圖1 初始時刻坐標系Fig.1 Initial time coordinate system

1.2 EKV機動設定

世界各國通用的反導基本流程，是當彈道導彈預警衛(wèi)星發(fā)現(xiàn)進攻彈道導彈后，地面反導指控中心立刻根據(jù)目標跟蹤數(shù)據(jù)制定攔截方案，并指揮發(fā)射攔截彈。攔截彈發(fā)射后，由地面反導指控中心導引，由助推火箭推動攔截彈向預定攔截點飛行，當飛行到預定位置后，釋放EKV.

在EKV制導過程中，導引頭測量視線角速度，并通過控制姿軌控發(fā)動機調(diào)整飛行方向，瞄準預測攔截點，最后高速撞擊并摧毀進攻彈道導彈。但是，EKV感知到的視線角速度并不準確，包含噪聲和延時以及各類誤差源(航向估計誤差、飛行控制系統(tǒng)延遲、隨機目標機動、自身機動能力不確定性等)，都將對EKV的攔截率產(chǎn)生影響。

為得出性能最佳的彈道導彈機動規(guī)避策略，設定EKV的制導系統(tǒng)為無噪聲無延遲的理想狀態(tài)，即導引頭、噪聲濾波器、制導和飛行控制系統(tǒng)被認為是完美的，EKV總是能夠擊中目標，脫靶量總是為0 m，該系統(tǒng)被稱為零滯后制導系統(tǒng)。

假設EKV服從比例導航制導律：

=，

(1)

式中：為垂直于視線的EKV加速命令；為有效導航比，通常在3～5 rad的范圍內(nèi)；為相對速度；為視線角速度。比例導航的優(yōu)點是簡單穩(wěn)定，在不存在加速度飽和效應的情況下，如果尋的回路中不存在延遲，脫靶量為0 m

(2)

EKV導引頭的探測能力會受到噪聲、像素化、采樣率等因素的限制。因此，存在一個制導臨界范圍，在真實對抗場景中，當攻防雙方的相對位置在制導臨界范圍內(nèi)時(≤)，視線角速度測量不確定性的動態(tài)增長開始變得不可控，導致EKV的制導失效。因此，一般采取使EKV制導系統(tǒng)在未進入臨界范圍的指定距離關機策略應對。假設關機距離為>，當>時，認為EKV制導系統(tǒng)為理想狀態(tài)，EKV能精確感知彈道導彈的視線角速度；當≤時，EKV將不再機動。圖2為相對距離變化時零控脫靶量的變化規(guī)律。

圖2 脫靶量演化的不確定性Fig.2 Uncertainty of miss distance evolution

1.3 彈道導彈機動設定

彈道導彈質(zhì)量遠大于EKV，因此彈道導彈需產(chǎn)生遠大于EKV的機動推力，才能有與之同等大小的加速度。假設彈道導彈的機動類型為單次短時大脈沖機動，忽略軌控發(fā)動機燃料消耗所帶來的質(zhì)量變化以及發(fā)動機推力的不確定性，突防的機動時機設為最優(yōu)機動規(guī)避時刻，在大氣層外飛行的任何地方都有可能發(fā)生。單次短時大脈沖機動的推力持續(xù)時長較短且相對固定，推力大小不可調(diào)整，只能做一次方向不變且時間長度確定的連續(xù)機動，即

(3)

式中：為機動加速度；為額定規(guī)避機動加速度；為機動時長。在彈道導彈的機動時長內(nèi)，機動加速度大小恒為，且方向一致。

圖3給出了一個彈道導彈以10正向加速度、機動時長1 s的短時大脈沖機動加速示例。

圖3 正向瞬時大脈沖機動Fig.3 Forward instantaneous large pulse maneuver

假設彈道導彈開始機動前，通過姿控發(fā)動機先對機動方向進行調(diào)整，以保證機動方向可任意指定，本文不討論姿控發(fā)動機對方向進行調(diào)整時的具體工作流程。為確保EKV無法在導彈機動規(guī)避后再次制導攔截，彈道導彈選在與EKV臨近相遇時開始機動。此外，假設彈道導彈能及時感知來襲EKV的位置與速度信息，有充分的時間進行姿態(tài)調(diào)整并向指定方向機動規(guī)避。

2 機動規(guī)避策略分析

在攔截中，EKV根據(jù)其探測到的目標信息，通過機動調(diào)整實現(xiàn)對零控脫靶量的平穩(wěn)控制。因此，進攻彈道導彈的最優(yōu)機動規(guī)避策略是能夠使零控脫靶量最大化的策略。

2.1 最優(yōu)機動規(guī)避方向

在彈道導彈機動規(guī)避前，彈道導彈與EKV的相對位置都由圖1表示，對應的零控脫靶量表示為

=+E0，

(4)

式中：為距交會剩余飛行時間，=E0

彈道導彈的突防時刻選在EKV實施攔截的前幾秒，根據(jù)EKV的末制導工作機制以及比例導引律特性，在彈道導彈開始機動時，EKV已經(jīng)過長時間的末制導控制將視線角速度修正到趨近于0 rad/s的狀態(tài)，可認為機動突防前二者相對位置方向和相對速度方向近似在同一方向上，即此時刻EKV一定能命中目標，E0=0 m/s

彈道導彈的機動規(guī)避方向如圖4所示，加速度大小恒定為，飛行路徑角為，機動時長為，機動突防帶來的脫靶量為

(5)

式中：M=cos則(5)式變換為

(6)

圖4 彈道導彈加速度飛行路徑示意Fig.4 Schematic diagram of missile acceleration flight path

由(6)式可知，當為0 rad或π rad時，是使脫靶量最大的最優(yōu)機動規(guī)避方向。

實際對抗條件下，EKV已經(jīng)過長時間的制導控制將零控脫靶量控制在很小范圍內(nèi)。因為彈道導彈觀測的角速度分辨率不可能明顯優(yōu)于EKV，所以彈道導彈感知到的相對速度與相對位置近似在同一方向上，即感知到的E0、E0為0 m/s，從而彈道導彈無法準確感知零控脫靶偏差方向或視線角速度的方向。導致彈道導彈無法適時判斷有效的最優(yōu)機動方向，且彈道導彈向垂直于視線方向的平面內(nèi)任意方向采取機動規(guī)避的效果差別不大。因此，彈道導彈實際最優(yōu)機動規(guī)避方向為二者相對位置方向法平面內(nèi)的任意方向。

2.2 機動規(guī)避脫靶量公式

為保證彈道導彈成功突防，在確定了最優(yōu)機動規(guī)避方向后，必須同時確定最優(yōu)規(guī)避時機。在坐標系中建立攻防雙方的1階線性微分運動方程，分析不同情境下的最優(yōu)機動規(guī)避時刻，并推導出最終脫靶量

為方便討論，認為彈道導彈開始機動時，=0 rad/s，記此時刻=，交會時刻=由于彈道導彈機動規(guī)避方向在相對速度法平面內(nèi)各向同性，因此只推導二維平面內(nèi)最終脫靶量與這些參數(shù)間的關系。

假設相對位置方向與相對速度方向近似相同(E0=0 m/s)，相對速度不變，彈道導彈機動加速度和EKV機動加速度方向都垂直于相對速度(位置)方向，且相對距離與視線角速度滿足(7)式和(8)式：

=(-)，

(7)

(8)

根據(jù)(4)式和(8)式，視線角速度隨時間的變化率為

(9)

將任意時刻的視線角加速度視為彈道導彈機動、EKV機動以及相對距離變化3個因素的線性疊加，即

(10)

上述每個階段微分方程(10)式都可以寫成

(11)

的1階線性微分方程標準形式，其中()、()為的任意函數(shù)。因此可以按標準公式寫出方程通解，再代入初始條件求出通解中的常數(shù)項，即可實現(xiàn)對各階段微分方程的求解：

1)第1階段。微分方程為

(12)

代入初值=、=0 rad/s，得到(12)式的解為

(-)(-2)，

(13)

(14)

2)第2階段。微分方程為

(15)

(16)

代入第2階段結(jié)束后(第3階段)的情境1臨界條件=+，得

(17)

代入第2階段結(jié)束后的情境2臨界條件=，即=-，得

(18)

3)第3階段情境1微分方程為

(19)

代入初值=和(17)式，可得(19)式的解為

(20)

當=時，==，代入(20)式得

(21)

EKV的任務是命中進攻彈道導彈，使脫靶量為0 m，而進攻彈道導彈的機動目標則是使最終脫靶量盡可能大。因此，將最終脫靶量作為機動規(guī)避性能指標，建立性能指標函數(shù)。

(22)

4)第3階段情境2微分方程為

(23)

代入初值==與(18)式，可得(23)式的解為

(24)

彈道導彈結(jié)束機動時=，代入(24)式得

(25)

最終脫靶量為此時刻的零控脫靶量，即==(--)，(25)式代入后得到性能指標函數(shù)為

(26)

由(22)式與(26)式可以看出，兩種情境的最終脫靶量公式相同。

2.3 最優(yōu)機動規(guī)避時刻

(27)

得到最優(yōu)機動規(guī)避時刻為

(28)

根據(jù)3個階段的假設模型，需保證在第1階段結(jié)束時不能出現(xiàn)彈頭機動已結(jié)束的情況，即>+，或EKV已關機的情況，即>-的情況。所以代入(14)式，要求

(29)

且

(30)

在>1的條件下(29)式恒成立，只需判斷(30)式即可。

最優(yōu)機動規(guī)避時機以最優(yōu)機動規(guī)避方向進行機動規(guī)避，脫靶量為(28)式代入(26)式，即

(31)

在最優(yōu)機動規(guī)避時刻的公式推導中，導引頭測量中的噪聲和延遲所帶來的影響，顯然會使最終脫靶量相比(31)式更大。因此，只要按照(31)式確定機動規(guī)避時機，就可以實現(xiàn)彈道導彈的可靠突防。

2.4 不符合最優(yōu)脫靶量公式情況的分析

(32)

即使此后彈道導彈一直保持=的機動加速度，其最終脫靶量也只有

(33)

這種情況下機動規(guī)避脫靶量遠小于符合最優(yōu)脫靶量公式的情況，無法確保成功突防，為避免這種情況，需要選擇可靠突防的機動參數(shù)取值范圍。

3 校核與驗證

分別對彈道導彈和EKV交戰(zhàn)過程進行二維及三維仿真，以驗證最優(yōu)機動規(guī)避策略的正確性、有效性以及模型簡化的合理性。

3.1 二維交戰(zhàn)仿真

為了校核機動規(guī)避策略分析的正確性，按照11節(jié)的模型設定，忽略地心引力和空氣阻力，建立彈道導彈—EKV對抗平面二維仿真交戰(zhàn)模型。仿真模型根據(jù)輸入的進攻彈道導彈和EKV的初始參數(shù)，對彈道導彈和EKV二維相對運動過程進行模擬。

設定彈道導彈開始機動的相對距離=20 000 m，相對速度=10 000 m/s；彈道導彈的初始位置=(0 m，0 m)，初始速度=(0 m/s，0 m/s)，機動加速度大小設為100 m/s，機動時長為1 s；EKV的初始位置=(25 000 m，0 m)，初始速度=(-10 000 m/s，0 m/s)；EKV的加速度大小設為100 m/s，有效導航比=5 rad，關機距離=5 000 m-設置為按(28)式計算得出的最優(yōu)機動時刻1277 4 s

圖5為EKV機動時的加速度曲線，在機動開始后約0.33 s時，EKV達到最大加速度，當以最大加速度持續(xù)機動0.45 s時，彈道導彈和EKV的相對距離達到關機距離，此時機動結(jié)束，加速度為0 g.

圖5 二維仿真EKV加速度變化Fig.5 EKV acceleration change in two-dimensional simulation

圖6為二維仿真彈道導彈—EKV對抗軌跡。當彈道導彈和EKV的相對距離為時，彈道導彈向垂直于視線的最優(yōu)規(guī)避方向機動，EKV開始對彈道導彈進行機動攔截。EKV關機時彈道導彈尚未結(jié)束機動。仿真程序得到的最終脫靶量為26.369 8 m，與(31)式的求解結(jié)果相同，證明了最優(yōu)機動規(guī)避時機數(shù)學推導的正確性。

圖6 二維仿真交戰(zhàn)軌跡Fig.6 Engagement trajectory in two-dimensional simulation

設定不同機動時機、機動加速度、機動時長進行仿真，能觀察不同的仿真演進過程。分別取彈道導彈機動加速度為80 m/s、100 m/s，機動時長為1.0 s、0.8 s，機動時機在(0,/)范圍內(nèi)間隔0.01 s取值。以不同參數(shù)機動規(guī)避獲得的脫靶量，如圖7所示，最大值對應時刻都符合最優(yōu)機動規(guī)避時刻(27)式，最大值都符合(31)式。

圖7 不同參數(shù)下機動規(guī)避的脫靶量Fig.7 Miss distance during maneuver avoidance under different parameters

3.2 三維交戰(zhàn)仿真

在校核了公式推導的正確性后，模擬在地心慣性坐標系下的彈道導彈飛行以及攔截突防對抗過程，建立彈道導彈—EKV對抗三維仿真交戰(zhàn)程序，以驗證第1節(jié)機動規(guī)避運動模型的正確性。

任意指定彈道導彈發(fā)射位置、目標位置以及攔截彈的發(fā)射位置(本文參照文獻[20]28.4節(jié)選取)，將進攻彈道導彈和攔截彈簡化為脈沖發(fā)射，即省略主動段加速過程，認為發(fā)射時就具有初速度，同時省略空氣阻力，只受重力作用。首先，利用三維蘭伯特方程，由導彈發(fā)射點摩納哥蒙特卡洛市(43.75°E，7.42°N)、目標點美國拉斯維加斯市(115.136°W，36.175°N)以及彈道導彈飛行時長(2 000 s)，計算彈道導彈發(fā)射時的初始速度。然后，使用開普勒方程，由彈道導彈初始狀態(tài)參數(shù)(位置和速度)和設置的攔截點時刻(彈道導彈發(fā)射后1 000 s)估計攔截點位置。最后，再次使用蘭伯特方程，由預估的攔截點位置、攔截彈發(fā)射時刻(彈道導彈發(fā)射后200 s)和發(fā)射位置美國亞特蘭大市(74.423°W，39.364°N)以及飛行時長，計算出EKV的初始速度。

在此基礎上，進行彈道導彈- EKV三維交戰(zhàn)仿真。預設攔截時刻前200 s(彈道導彈飛行800 s)時EKV制導系統(tǒng)被打開，且采用比例導航制導律，設定=3 rad，關機距離=5 000 km. 圖8為EKV攔截時的加速度曲線，EKV制導開始于起飛后大約997.4 s，最大加速度為100 m/s.

圖8 三維仿真EKV加速度變化Fig.8 EKV acceleration change in three-dimensional simulation

當彈道導彈飛行時間到達按(28)式求解出的最優(yōu)機動時刻1.421 05 s時，彈道導彈以=100 m/s、=1 s的加速度沿最優(yōu)機動方向開始機動。圖9為彈道導彈和EKV運動軌跡的平面視圖，可以看出，在距離彈道導彈發(fā)射場大約4 577 km、1 800 km的高度處，彈道導彈突防成功。通過仿真得到的彈道導彈—EKV交會前的相對速度為7 466.2 m/s，最終脫靶量=43.475 5 m，將相同參數(shù)代入(31)式，計算得=43.477 1 m，仿真結(jié)果和使用本文模型公式計算的結(jié)果相吻合。

圖9 三維仿真交戰(zhàn)軌跡的平面視圖Fig.9 Plane view of engagement trajectory in three-dimensional simulation

三維交戰(zhàn)仿真結(jié)果表明，在更接近現(xiàn)實的仿真環(huán)境下進行交戰(zhàn)模擬所得到的最終脫靶量，與利用2.3節(jié)最優(yōu)機動規(guī)避策略計算得出的最終脫靶量基本一致，驗證了機動規(guī)避運動模型的正確性。

4 參數(shù)適用性分析

本文模型計算求解中使用的彈道導彈和EKV的設計參數(shù)，都是理想狀態(tài)下的標稱值，但在實際交戰(zhàn)中存在著多種不確定因素，因而不可避免地存在著參數(shù)誤差。參數(shù)誤差會影響彈道導彈機動規(guī)避效果，可能導致機動規(guī)避策略失效，一般不能忽略。為保證最優(yōu)規(guī)避策略保持預期性能，分析相關參數(shù)的適用范圍是十分必要的。

首先，分析EKV相關參數(shù)的不確定性及對抗場景對最終脫靶量的影響，根據(jù)對EKV參數(shù)和相對速度的估計，提出實現(xiàn)最優(yōu)機動規(guī)避策略的參數(shù)要求。

(26)式兩邊分別對求導，得

(34)

由(34)式可見，關于變量的導數(shù)恒小于0 m·rad，則隨單調(diào)遞減。

(35)

因為根據(jù)34節(jié)的分析，彈道導彈會在EKV關機前開始機動，即<(-)，則

(36)

最后，對(26)式兩邊分別對求導，可得關于變量的導數(shù)：

(37)

關于的導數(shù)恒大于0，即隨單調(diào)遞增。

33節(jié)推導得出對抗環(huán)境中的相對速度與最優(yōu)機動時刻無關，但隨單調(diào)遞減。

在分析完感知變量的相關參數(shù)要求后，依據(jù)(31)式，分析彈道導彈如要實現(xiàn)可靠突防，應對設計參數(shù)、提出的要求：

(38)

(39)

且留有余量。

5 結(jié)論

本文針對彈道導彈機動突防中非常重要的兩個要素——機動方向和機動時刻，通過合理地彈道導彈—EKV運動學模型建模與分析，給出了彈道導彈的最優(yōu)機動突防策略。主要得出以下結(jié)論：

1)考慮實際對抗條件下，彈道導彈所能感知的相對位置和相對速度精度較低，所以彈道導彈的最優(yōu)機動規(guī)避方向可選取相對速度(位置)方向法平面內(nèi)的任意方向。