基于傳輸矩陣?yán)碚摰腂ragg 光柵特性研究

伊浩天

(南開大學(xué)物理科學(xué)學(xué)院，天津 300071)

0 引言

布拉格（Bragg）光柵是一種特殊的光柵結(jié)構(gòu)，折射率周期性變化，在布拉格波長處，光柵的周期是光在該介質(zhì)中的平均波長的一半，布拉格波長具有最大反射率，且在該波長的諧波處也可以產(chǎn)生較大的反射。Bragg 光柵可以作為光學(xué)濾波器或布拉格反射器，在光纖傳感、光纖激光器、半導(dǎo)體激光器中均有廣泛的應(yīng)用[1]。

對(duì)于Bragg 光柵而言，常用的分析方法有耦合模理論（Couple-Wave Theory,CWT）[2][6]和傳輸矩陣?yán)碚摚═ransfer Matrix Method,TMM）[3][6]。CWT 是分析微擾下光在波導(dǎo)中傳播行為的通用方法，在Bragg光柵內(nèi)，正反向傳播的光在折射率調(diào)制的作用下發(fā)生模式耦合。能夠詮釋波導(dǎo)中前向模、后向模，導(dǎo)波模、包層模、輻射模等模式間的能量交換。TMM 是結(jié)合數(shù)值算法，用一定數(shù)量的離散單元矩陣來描述整個(gè)光柵。應(yīng)用這一模型時(shí)，把光柵分為很多小部分，并假設(shè)在每個(gè)部分中的光場是沿光柵均勻分布的，把左右邊界處前向波和后向波之間的關(guān)系用一個(gè)2×2 的矩陣表示，稱為傳輸矩陣。整個(gè)光柵的傳輸矩陣由每個(gè)小部分的傳輸矩陣相乘得到。相比于CWT，TMM 的主要優(yōu)點(diǎn)有：

(1)TMM 只需建立全程的傳輸矩陣，而不必去解模式耦合方程，運(yùn)算量大大減少；

(2) 相同的矩陣模塊對(duì)于各種Bragg 光柵都可適用，不論是光柵Bragg 光柵，還是波導(dǎo)Bragg 光柵[4]。

1 傳輸矩陣?yán)碚?/h2>

1.1 雙層介質(zhì)系統(tǒng)的傳輸矩陣模型

對(duì)于雙層介質(zhì)系統(tǒng)，給出電磁場的邊值關(guān)系如下：

式中σ和α是面自由電荷和電流的密度，在絕緣介質(zhì)界面上，σ=0，α=0。由于以上四式并非相互獨(dú)立，(3)(4)式可以由(1)(2)式導(dǎo)出，因此，界面上的電磁場邊值關(guān)系只需考慮以下兩式：

以TE 波為例，研究電磁波在二維雙層介質(zhì)(界面垂直于z 軸)中傳播時(shí)，入射波、反射波和折射波的振幅變化。雙層介質(zhì)的界面處的TE 波的傳播示意圖如圖1 所示。

圖1 界面處的電磁波(TE 波)

當(dāng)界面上自由電流密度α=0時(shí)，根據(jù)邊值關(guān)系有：

將(9)式代入(8)式可化簡得：

由(7)式和(10)式可得如下關(guān)系：

對(duì)(11)式兩邊矩陣同時(shí)求逆，則可寫為如下形式：

其中αnm為TE波從第m層介質(zhì)傳到第n層介質(zhì)時(shí)的界面矩陣，其形式為：

期刊共被引分析可以幫助我們找出比較關(guān)注名物化研究的國內(nèi)外核心刊物。國內(nèi)數(shù)據(jù)分析顯示，名物化研究引文來源期刊按中心度排名前10的依次是：《中國語文》《外語教學(xué)與研究》《現(xiàn)代外語》《外語研究》《外語與外語教學(xué)》《外語教學(xué)》《外國語》《北京大學(xué)學(xué)報(bào)》《外語學(xué)刊》《西安外國語大學(xué)學(xué)報(bào)》等。

當(dāng)TE波以一定角度θm在折射率為n1,厚度為d的介質(zhì)體內(nèi)傳播時(shí)，正向波和反向波的相位變化為±km nmdcosθm。

其中βn為TE波在第n層介質(zhì)傳播時(shí)的傳播矩陣，其形式為：

這里,km=n12π/λ，λ為波長，n1為介質(zhì)折射率。對(duì)于正入射的情況，Em=θn=0，此時(shí)(13)和(15)化簡為：

根據(jù)菲涅爾公式可知，TE波從介質(zhì)m到介質(zhì)n的透射系數(shù)tmn和反射系數(shù)rmn為：

由此可得TE波從介質(zhì)m到介質(zhì)n的透射率T和反射率R：

1.2 Bragg 光柵的傳輸矩陣模型

如圖2 所示，Bragg 光柵是指介質(zhì)的折射率呈周期性變化的一種器件結(jié)構(gòu)，能夠?qū)μ囟ǖ牟ㄩL實(shí)現(xiàn)選擇作用。光波在Bragg 光柵中傳播時(shí)在每個(gè)折射率跳變的界面發(fā)生反射，當(dāng)波長滿足布拉格條件時(shí)，從不同分界面反射的光相位相同，從而發(fā)生干涉加強(qiáng)，進(jìn)而形成強(qiáng)反射峰，這種現(xiàn)象稱為布拉格反射。產(chǎn)生布拉格反射的條件為：

圖2 Bragg 光柵結(jié)構(gòu)示意圖

根據(jù)圖3 中所示，對(duì)于一個(gè)周期的Bragg 光柵，可將其分為A1、A2、A3、A4四個(gè)部分，每個(gè)部分可以用一個(gè)2×2 矩陣進(jìn)行表示[1][6]：

圖3 （a）傳輸矩陣法示意圖（b）Bragg 光柵折射率分布圖

對(duì)于僅由兩種不同折射率介質(zhì)構(gòu)成的周期性單元結(jié)構(gòu)(包含兩個(gè)折射率突變結(jié)構(gòu)：n1→n2，n2→n1和兩個(gè)長度均為d的勻質(zhì)波導(dǎo)單元)，其傳輸矩陣可由以下四個(gè)矩陣單元相乘表示：

由上述分析可知，當(dāng)研究多層膜結(jié)構(gòu)中電磁波傳播時(shí)。可以先建立一套矩陣?yán)碚搧砻枋龃诉^程。當(dāng)一列平面電磁波垂直入射到多層膜結(jié)構(gòu)時(shí)，會(huì)在不同材料的界面處經(jīng)歷反射和透射，而這些反射和透射的波各自又會(huì)在經(jīng)歷他們自己的反射與透射過程，因此在每一個(gè)固定的區(qū)域內(nèi)都會(huì)存在很多反射波和透射波。為簡化起見，我們將所有向前傳播的光波歸稱為一個(gè)前向波Ui，將所有向后傳播的光波歸稱為一個(gè)后向波Vi，這樣我們可以用界面矩陣[5](圖3 中A2和A4)和傳播矩陣(圖3 中A1和A3)來描述波在界面和介質(zhì)中傳播的過程，此時(shí)復(fù)雜的光柵結(jié)構(gòu)即可化簡為兩種單獨(dú)的單元結(jié)構(gòu)，而光柵總的傳輸矩陣可由每個(gè)單元矩陣相乘得到。

式中n=L/Λ，Bragg 光柵總反射率與透射率可表示為：

2 Bragg 光柵的特性仿真

根據(jù)公式(23a)～(23d)和(24)可知，Bragg 光柵的反射譜和透射譜特性主要受光柵長度、光柵周期和光柵折射率三個(gè)因素的影響。下面分別對(duì)三個(gè)參數(shù)對(duì)反射譜和透射譜的影響進(jìn)行分析。

2.1 Bragg 光柵長度對(duì)反射譜和透射譜的影響

假設(shè)Bragg 光柵的周期為Λ=535nm，折射率n1=1.461，n2=1.455，改變光柵的長度，用MATLAB對(duì)光柵反射譜和透射譜進(jìn)行仿真，如圖4～圖6 所示。

圖4 Bragg 光柵周期數(shù)為700 時(shí)的反射譜與透射譜曲線

圖5 Bragg 光柵周期數(shù)為1000 時(shí)的反射譜與透射譜曲線

圖6 Bragg 光柵周期數(shù)為1300 時(shí)的反射譜與透射譜曲線

光柵周期設(shè)為為Λ=535nm，折射率n1=1.461，n2=1.455時(shí)，根據(jù)布拉格條件可知布拉格波長λB=1560nm。從圖4～圖6 可以看出，隨著光柵周期數(shù)的增多即光柵長度的增加，布拉格波長λB并沒有發(fā)生變化，但布拉格波長處的反射率逐漸增大，透射率逐漸減小，且反射譜和透射譜逐漸變寬。這是因?yàn)楫?dāng)光柵長度增加時(shí)，從原來較短長度的光柵透射的光會(huì)被后續(xù)的光柵繼續(xù)反射，從而導(dǎo)致反射率升高，透射率下降。根據(jù)布拉格條件，在其他參數(shù)不變的情況下，光柵長度的增加并不會(huì)影響主極大峰的位置，但會(huì)使布拉格波長附近的反射率逼近于1，這同樣體現(xiàn)了Bragg 光柵對(duì)特定波長篩選功能的增強(qiáng)。

2.2 Bragg 光柵周期對(duì)反射譜和透射譜的影響

將Bragg 光柵周期數(shù)設(shè)置為1000，折射率n1=1.461，n2=1.455不變，改變光柵周期的大小，用MATLAB 對(duì)光柵反射譜和透射譜進(jìn)行仿真，如圖7 和圖8 所示。

圖7 Bragg 光柵周期為536nm 時(shí)的反射譜與透射譜特性

圖8 Bragg 光柵周期為538nm 時(shí)的反射譜與透射譜特性

通過對(duì)比圖5、圖7 和圖8 的變化可以看出，在其他參數(shù)不變的條件下，增大光柵周期時(shí)，主極大峰出現(xiàn)明顯的右移，即布拉格波長變長。這是由于布拉格條件的限制，當(dāng)有效折射率neff不變時(shí)，布拉格波長λB隨光柵周期Λ 的增大而增大，但整體峰形及寬度并未發(fā)生明顯改變。

2.3 Bragg 光柵折射率對(duì)反射譜和透射譜的影響

保持Bragg 光柵周期數(shù)1000 和光柵周期Λ=535nm不變，逐漸增加折射率n1，用MATLAB 對(duì)光柵反射譜和透射譜進(jìn)行仿真，如圖9 和圖10 所示。

圖9 Bragg 光柵n1=1.466 時(shí)的反射譜與透射譜特性

圖10 Bragg 光柵n1=1.471 時(shí)的反射譜與透射譜特性

由于Bragg 光柵中相鄰介質(zhì)的折射率相差不大，且相鄰介質(zhì)層的厚度相同，因此有效折射率neff可以表示為：

對(duì)比圖5、圖7 和圖8 可以看出，在其他參數(shù)不變的情況下，隨著n1的增大，主極大峰的位置發(fā)生明顯右移即布拉格波長變長；同時(shí)反射譜的寬度也明顯增大，致使布拉格波長附近的反射率變大，透射率變小。根據(jù)式(22)可知，在光柵周期不變的情況下，增大有效折射率neff會(huì)使布拉格波長變大，主峰位置右移。

3 結(jié)論

本文從雙介質(zhì)系統(tǒng)入手，根據(jù)電磁場在介質(zhì)表面的邊值關(guān)系推導(dǎo)出光波在雙介質(zhì)系統(tǒng)中傳播所滿足的菲涅爾公式，從而過渡到簡潔的矩陣表達(dá)形式?；诖?，進(jìn)一步建立了用于分析光纖Bragg 光柵的傳輸矩陣模型，通過把每一塊折射率不同的介質(zhì)抽象為一個(gè)2×2 的矩陣，將這些離散單元矩陣依次相乘即可用來描述整個(gè)光柵，這樣入射端和出射端處的前向波和后向波之間的關(guān)系即可用該矩陣進(jìn)行描述，大大簡化了原本繁雜的計(jì)算過程。利用傳輸矩陣模型，通過MATLAB 編程實(shí)現(xiàn)了傳輸矩陣的數(shù)學(xué)算法，并以圖像的形式展現(xiàn)了Bragg 光柵的反射譜與透射譜特性。通過對(duì)光柵長度、光柵周期、光柵折射率等參數(shù)對(duì)反射譜和透射譜的影響進(jìn)行分析，直觀的展現(xiàn)了各個(gè)參數(shù)在光柵中所起到的作用。