高中數(shù)學(xué)解題中數(shù)形關(guān)系的應(yīng)用

文 /吳毓敏

引 言

數(shù)與形關(guān)系密切，運(yùn)用數(shù)可對形進(jìn)行準(zhǔn)確計(jì)算，而運(yùn)用形可直觀地展示數(shù)的邏輯關(guān)系，提高解題的直觀性。學(xué)生在高中數(shù)學(xué)解題過程中注重?cái)?shù)形關(guān)系的應(yīng)用，可少走彎路，迅速發(fā)現(xiàn)解題思路，突破相關(guān)難題。因此，教師在教學(xué)過程中應(yīng)做好對數(shù)形關(guān)系應(yīng)用的講解，展示針對不同題型應(yīng)如何采用數(shù)形關(guān)系進(jìn)行破題，以更好地拓展學(xué)生的視野，使其掌握這一高效的解題方法，促進(jìn)其解題能力的提升。

一、高中數(shù)學(xué)數(shù)形關(guān)系分析

為了使學(xué)生更好地應(yīng)用數(shù)形關(guān)系解答高中數(shù)學(xué)習(xí)題，教師在課堂上應(yīng)注重結(jié)合具體案例，講解數(shù)形關(guān)系的重要性，提高學(xué)生學(xué)習(xí)與應(yīng)用數(shù)形關(guān)系的意識(shí)，同時(shí)還應(yīng)與學(xué)生一起總結(jié)歸納數(shù)形轉(zhuǎn)化的常用思路以及適合運(yùn)用數(shù)形關(guān)系解題的常見題型。

數(shù)向形轉(zhuǎn)化的思路有借助函數(shù)圖像進(jìn)行轉(zhuǎn)化、借助幾何圖形性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化、借助向量性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化等；而形向數(shù)的轉(zhuǎn)化則主要通過構(gòu)建平面、空間直角坐標(biāo)系實(shí)現(xiàn)。適合運(yùn)用數(shù)形關(guān)系解題的題型較多，主要有函數(shù)零點(diǎn)問題、函數(shù)交點(diǎn)問題、方程根的問題、向量中參數(shù)關(guān)系問題以及立體幾何中求解軌跡長度等問題。當(dāng)然，為了使學(xué)生在應(yīng)用數(shù)形關(guān)系解題的過程中提高效率，教師還應(yīng)注重講解相關(guān)的注意事項(xiàng)，提醒學(xué)生在解題時(shí)先動(dòng)腦分析，然后再作答。如在畫函數(shù)圖像時(shí)，應(yīng)先明確定義域，聯(lián)系已學(xué)的函數(shù)圖像；針對一些特殊的函數(shù)，應(yīng)靈活運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性知識(shí)，以保證畫圖的準(zhǔn)確性。

二、高中數(shù)學(xué)解題中數(shù)形關(guān)系的應(yīng)用

（一）數(shù)形關(guān)系在平面問題中的應(yīng)用

1.由形化數(shù)

由形化數(shù)主要是根據(jù)給出的圖形，對其進(jìn)行觀察和研究，提取圖形中的數(shù)量關(guān)系，找出圖形中的內(nèi)在屬性，對題目進(jìn)行深層次的思考和解答。

例題：已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c (a≠0)的圖像（如圖1），在下列代數(shù)式中，①a+b+c；②a-b+c；③abc；④2a+b；⑤b2-4ac，值為正數(shù)的個(gè)數(shù)是（ ）

圖1

A.1個(gè) B.2個(gè)

C.3個(gè) D.4個(gè)

解：根據(jù)圖像可以得出當(dāng)x=1時(shí)，y=a+b+c＜0；當(dāng)x=-1時(shí)，y=a-b+c＞0。因?yàn)閽佄锞€開口方向朝上，所以a＞0，因?yàn)榕cy軸的交點(diǎn)在y軸正半軸上，所以c＞0，因?yàn)閷ΨQ軸＞0。所以a和b異號，即b＜0，所以abc＜0，因?yàn)閷ΨQ軸x=-＞1，所以2a+b＜0。因?yàn)閽佄锞€和x軸的交點(diǎn)是兩個(gè)，所以b2-4ac＞0。因此②⑤兩個(gè)代數(shù)式的值為正數(shù)，答案是B。

點(diǎn)評：此題主要是考查學(xué)生對二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)的掌握情況。因此，在高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)過程中，教師應(yīng)注重對學(xué)生數(shù)形關(guān)系意識(shí)的培養(yǎng)，讓學(xué)生做到胸中有圖、見數(shù)想圖，拓展學(xué)生數(shù)學(xué)思維。面對復(fù)雜的函數(shù)問題，學(xué)生應(yīng)從圖形角度去思考，分析圖形中隱藏的數(shù)據(jù)和數(shù)量關(guān)系，尋找直觀的解題方式。

2.由數(shù)化形

高中數(shù)學(xué)題目類型較多，不少題目的敘述較抽象，理解起來有一定的難度，難以找出其中的有效信息，不利于學(xué)生尋找解題思路。因此，面對復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題，教師應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生利用數(shù)形關(guān)系，由數(shù)化形，根據(jù)題目中的條件，準(zhǔn)確畫出圖形，通過圖像展現(xiàn)其數(shù)量關(guān)系，展示數(shù)學(xué)式的本質(zhì)，明確解題思路。

例題：已知函數(shù)y=log2(-x)＜x+1，求解x的取值范圍。

解析：此題是超越不等式，看似題目非常簡單，一目了然，但是如果從代數(shù)式入手，則難以完成題目的解答。這時(shí)若引入數(shù)形關(guān)系，就可以降低問題的難度，簡化問題的解答思路。根據(jù)題目已知條件，畫出函數(shù)y=log2(-x)和y=x+1的圖像（如圖2），根據(jù)題設(shè)中l(wèi)og2(-x)＜x+1，可知y=log2(-x)的圖像在y=x+1的下方，直觀的觀察可以得出x的取值范圍是（-1, 0），非常方便、簡潔。

圖2

點(diǎn)評：在高中數(shù)學(xué)的解題過程中，不能為了數(shù)形結(jié)合而應(yīng)用數(shù)形關(guān)系，而是應(yīng)結(jié)合解題的實(shí)際需要，考慮利用數(shù)形關(guān)系有利于解題，選好突破點(diǎn)，構(gòu)建數(shù)量關(guān)系，完成數(shù)形轉(zhuǎn)化。最后，還要注意對隱含條件的發(fā)掘，這對數(shù)學(xué)題目的思考和解答非常重要。

3.數(shù)形互換

在實(shí)際的應(yīng)用中，教師還應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生注重?cái)?shù)與形的相互轉(zhuǎn)換，根據(jù)數(shù)與形的對立和統(tǒng)一特點(diǎn)，對圖形進(jìn)行觀察，分析數(shù)學(xué)式結(jié)構(gòu)。教師可以引導(dǎo)學(xué)生通過想象和聯(lián)想，實(shí)現(xiàn)數(shù)與形的轉(zhuǎn)換，將抽象內(nèi)容直觀展示出來，發(fā)掘其中隱含的數(shù)量關(guān)系，從而達(dá)到有效解答數(shù)學(xué)問題的目的。在一些高中數(shù)學(xué)題目中，不少代數(shù)式含有根號，在結(jié)構(gòu)上沒有明顯的幾何特征，通過代數(shù)式的方式解題較難，此時(shí)可以引入換元法，利用數(shù)形關(guān)系解決問題。

解法一（代數(shù)法）：根據(jù)題意，曲線方程可以轉(zhuǎn)化為x2+y2=1（x≥0），將y=x+k帶入其中，得到2x2+2kx+k2-1=0（x≥0），因?yàn)榉匠讨挥幸粋€(gè)非負(fù)數(shù)根。所以，（1）當(dāng)方程有相等根時(shí)，即△=0，得出當(dāng)時(shí)，x為負(fù)數(shù)，不符合題意；當(dāng)時(shí)，x為正數(shù)，符合題意。（2）當(dāng)方程根是0時(shí)，得出k=±1；當(dāng)k=-1時(shí)，x不符合題意，舍去；當(dāng)k=1時(shí)，x符合題意。（3）當(dāng)方程根為一正一負(fù)時(shí)，兩根的積小于零，得出-1＜k＜1。綜上所述，可以得出，k的取值范圍是或者-1＜k≤1。

點(diǎn)評：對比兩種解題方式，我們可以看出使用代數(shù)法解題，步驟較為復(fù)雜，解題過程中容易出錯(cuò)；而結(jié)合數(shù)形關(guān)系，利用圖形進(jìn)行解題，可以將復(fù)雜問題簡單化，將抽象問題轉(zhuǎn)化成具體問題，一些數(shù)學(xué)難題就迎刃而解了。

（二）數(shù)形關(guān)系在空間問題中的應(yīng)用

1.由形化數(shù)

解決高中數(shù)學(xué)空間問題時(shí)，可以由形化數(shù)，將空間幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)算，以降低思考、解題的難度。由形化數(shù)的常用手段是構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，即找到相關(guān)點(diǎn)的空間坐標(biāo)，借助向量的運(yùn)算計(jì)算相關(guān)參數(shù)，研究相關(guān)對象之間的關(guān)系。為了更好地提高解題效率、降低計(jì)算的復(fù)雜度，在構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系時(shí)，學(xué)生應(yīng)充分利用題干中的垂直關(guān)系，并在計(jì)算過程中準(zhǔn)確運(yùn)用向量坐標(biāo)運(yùn)算的相關(guān)法則。

點(diǎn)評：該題較為基礎(chǔ)，難度不大。解答該題需要根據(jù)構(gòu)建的空間直角坐標(biāo)系確定各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，在此基礎(chǔ)上運(yùn)用向量知識(shí)求出具體的向量；同時(shí)，需要搞清楚平面法向量與平面向量之間的關(guān)系，將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)算問題。

2.由數(shù)化形

高中數(shù)學(xué)空間問題復(fù)雜多變，解題方法靈活多樣。根據(jù)問題畫出對應(yīng)的圖形后，學(xué)生能借助圖形直觀地看到點(diǎn)、線段、平面之間的關(guān)系，達(dá)到化難為易的目的。為了更好地提高空間問題的解題正確率，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生把握由形化數(shù)的細(xì)節(jié)，提高畫圖的精確性，尤其應(yīng)通過相關(guān)參數(shù)的運(yùn)算以及以往的解題經(jīng)驗(yàn)，做好所畫圖形細(xì)節(jié)上的調(diào)整，使其符合題干描述。

點(diǎn)評：該題創(chuàng)設(shè)的情境較為新穎，屬于動(dòng)點(diǎn)問題，能很好地考查學(xué)生的空間想象能力。解答該題的關(guān)鍵在于吃透題意，根據(jù)問題以及相關(guān)參數(shù)的運(yùn)算，準(zhǔn)確判斷點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡。

3.數(shù)形互換

部分高中數(shù)學(xué)空間問題綜合性較強(qiáng)，對思維的靈活性要求較高。在解答這種題時(shí)，學(xué)生不僅需要具備良好的空間想象能力，而且需要認(rèn)識(shí)到不同圖形位置關(guān)系引起的參數(shù)變化，尤其應(yīng)提高數(shù)形互換意識(shí)，根據(jù)題意畫出相關(guān)圖形，通過數(shù)與形的相互結(jié)合找到解題突破口。為提高解題效率，學(xué)生應(yīng)靈活運(yùn)用立體結(jié)合知識(shí)理解線與線、線與平面、平面之間的空間關(guān)系，同時(shí)還應(yīng)注重勾股定理、正弦定理、余弦定理等的應(yīng)用，更準(zhǔn)確地計(jì)算出相關(guān)參數(shù)。

例題：已知球O是正三棱錐A-BCD的外接球，其中BC=3，點(diǎn)E在線段BD上，且BD=3BE，過點(diǎn)E作球O的截面，則所得截面面積的最小值是（ ）。

A.2π B.3π C.4π D.5π

點(diǎn)評：該題考查的是三棱錐和球的相關(guān)知識(shí)，難度較大。難點(diǎn)在于如何借助相關(guān)圖形以及空間想象能力確定何時(shí)截面的面積達(dá)到最小值，同時(shí)還要根據(jù)自身經(jīng)驗(yàn)靈活轉(zhuǎn)化相關(guān)圖形的視角，結(jié)合已知條件正確地計(jì)算出相關(guān)線段的長度。因此，解題時(shí)需要將數(shù)與形相互對照。

結(jié) 語

在高中數(shù)學(xué)解題過程中，學(xué)生巧妙利用數(shù)形結(jié)合思想，有助于解決抽象化的數(shù)學(xué)問題，提高解題的效率和質(zhì)量。在教學(xué)中，教師應(yīng)認(rèn)真分析哪些知識(shí)點(diǎn)涉及數(shù)形關(guān)系，根據(jù)相關(guān)知識(shí)的難易程度，確定明確的教學(xué)目標(biāo)，采取有效的教學(xué)方法，充分利用幾何畫板等多媒體信息技術(shù)進(jìn)行教學(xué)，使學(xué)生牢固地掌握相關(guān)基礎(chǔ)知識(shí)，再結(jié)合教學(xué)內(nèi)容做好相關(guān)理論及習(xí)題的講解[1]。為使學(xué)生體會(huì)到運(yùn)用數(shù)學(xué)關(guān)系解題的便利，提高學(xué)生運(yùn)用數(shù)形關(guān)系解題的意識(shí)，教師還應(yīng)注重“一題多解”，給學(xué)生留下課堂總結(jié)的時(shí)間，使其總結(jié)適合運(yùn)用數(shù)形關(guān)系解題的題型、不同習(xí)題的解題突破口以及具體的解題思路，以提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。