考慮隨機沖擊影響的多部件系統(tǒng)視情維修與備件庫存聯(lián)合優(yōu)化

李京峰, 陳云翔, 項華春, 王 健

(1. 空軍工程大學裝備管理與無人機工程學院, 陜西 西安 710051;2. 中國人民解放軍94354部隊, 山東 濟寧 272412)

0 引 言

軍事裝備內(nèi)關(guān)鍵部件的意外失效不僅會導(dǎo)致作戰(zhàn)任務(wù)進程中斷甚至災(zāi)難性事故發(fā)生,還會增加維修保障成本,合理的維修決策和備件庫存管理有助于確保關(guān)鍵部件安全、持續(xù)運行。隨著檢測技術(shù)的不斷發(fā)展,視情維修作為一種有效手段已廣泛應(yīng)用于許多關(guān)鍵部件的維修保障工作中。其可根據(jù)檢測到的部件退化狀態(tài)信息及預(yù)設(shè)閾值,制定相關(guān)維修計劃,并進一步為庫存策略優(yōu)化提供信息支持。

目前,大多數(shù)視情維修決策基于備件無限可用的假設(shè),即維修工作的實施僅依賴于部件的退化狀態(tài)信息,忽略了備件庫存水平的影響;另一方面,備件庫存管理主要依靠假設(shè)的備件需求分布,忽略了維修決策是備件需求產(chǎn)生的關(guān)鍵驅(qū)動因素這一內(nèi)在邏輯。以上兩點均與實際不符,因此,將視情維修與備件庫存聯(lián)合優(yōu)化十分必要。

文獻[8]對近年來關(guān)于不可修部件的維修與庫存聯(lián)合優(yōu)化問題進行了系統(tǒng)性綜述,其中文獻[11-13]從成本角度驗證了聯(lián)合優(yōu)化結(jié)果通常優(yōu)于單一優(yōu)化或不考慮關(guān)聯(lián)性的順序優(yōu)化。文獻[14]和文獻[15]先后通過解析的方法研究了連續(xù)退化單部件系統(tǒng)、兩部件系統(tǒng)的視情維修與備件訂購策略聯(lián)合優(yōu)化問題。文獻[16]針對退化過程符合Wiener過程的多部件系統(tǒng),利用剩余壽命信息制定維修與庫存策略,同時將遺傳算法和蒙特卡羅仿真(Monte Carlo simulation, MCS)結(jié)合進行求解。文獻[17]通過將問題轉(zhuǎn)化為馬爾可夫決策過程,研究了多部件系統(tǒng)的視情維修與備件庫存聯(lián)合優(yōu)化問題。文獻[18]則針對多部件系統(tǒng)退化監(jiān)測信息不完全的情況提出一種部分可觀測馬爾可夫決策過程,解決了視情維修與備件選擇的聯(lián)合優(yōu)化問題。

當前研究雖然在視情維修與備件庫存聯(lián)合優(yōu)化問題上取得一定成果,但若在軍事領(lǐng)域應(yīng)用則忽略了以下現(xiàn)實問題:裝備內(nèi)關(guān)鍵部件在執(zhí)行任務(wù)尤其作戰(zhàn)任務(wù)過程中,由于工作環(huán)境復(fù)雜,通常會受到磨損、疲勞、腐蝕、過載、沖擊等多種因素影響,因此最終的失效并非僅由自然退化引起,外部隨機沖擊等突發(fā)性因素同樣會引起關(guān)鍵部件失效,而隨機沖擊帶來的突發(fā)失效或自然退化增量將會改變原有維修和庫存計劃安排。文獻[22-26]從綜合考慮自然退化和隨機沖擊的退化建模、可靠性評估、剩余壽命預(yù)測、維修策略等方面開展了相關(guān)研究,但在視情維修與備件庫存聯(lián)合優(yōu)化方面的進一步延伸卻未有學者探討。

因此,本文基于實際中普遍采用的定期檢測策略,提出一種考慮隨機沖擊影響的多部件系統(tǒng)視情維修與備件庫存聯(lián)合優(yōu)化模型。具體方法為:建立考慮隨機沖擊影響的退化模型,在首達時間的意義下推導(dǎo)出部件剩余壽命的解析概率分布,采用極大似然法估計模型參數(shù);結(jié)合剩余壽命預(yù)測結(jié)果和隨機沖擊影響提出視情維修與備件庫存聯(lián)合策略,建立聯(lián)合優(yōu)化模型,利用粒子群優(yōu)化(particle swarm optimization, PSO)算法和MCS進行求解;最后,通過實例分析驗證本文模型的有效性,并對隨機沖擊參數(shù)進行敏感性分析。

1 退化模型與剩余壽命估計

1.1 問題描述與假設(shè)

考慮系統(tǒng)是由個類型相同且獨立工作的部件組成,并且部件具有相同的退化特性和備件。為研究部件的退化機理,本文做出以下描述和假設(shè)。

(1) 假設(shè)采取定期檢測策略,檢測活動完美,能夠完全得到各個部件的實際退化狀態(tài),單次檢測成本為,檢測間隔為Δ,檢測時間可忽略不計。

(2) 隨機沖擊分為兩類:沖擊強度超過特定閾值的致命沖擊,直接導(dǎo)致部件失效;沖擊強度低于的非致命沖擊,給部件帶來退化增量。部件在任意時刻的退化總量()包括自然退化量()和由非致命隨機沖擊導(dǎo)致的累積退化量()。

(3) 部件的失效分為兩種:如果退化總量()達到預(yù)設(shè)閾值,則發(fā)生軟失效,亦稱退化型失效;如果某次沖擊強度超過閾值,則發(fā)生硬失效,亦稱突發(fā)型失效。

1.2 自然退化模型

基于Wiener過程的退化模型由于能夠描述多種典型產(chǎn)品的性能退化過程,且具有良好的計算性質(zhì),目前已被廣泛應(yīng)用于工程領(lǐng)域。因此本文選取Wiener過程對連續(xù)自然退化過程建模,提高模型的通用性,其表達式為。

()=(0)++()

(1)

式中:(0)表示部件的初始性能狀態(tài),由于Wiener過程是獨立增量過程,根據(jù)獨立增量過程的定義,(0)=0;和分別表示部件的漂移系數(shù)和擴散系數(shù),反映部件的退化速率和波動程度;()表示標準布朗運動,反映退化過程的時變不確定性,且()～N(0,)。

當部件退化狀態(tài)超過失效閾值時,認為部件失效,具體如圖1所示。令()表示部件在時刻的狀態(tài)()=的概率密度函數(shù)(probability density function, PDF),表達式為

(2)

據(jù)此可得可靠度()為

(3)

圖1 自然退化過程Fig.1 Natural degradation process

1.3 隨機沖擊影響下的退化模型

假設(shè)隨機沖擊的到達過程遵循到達率為的齊次泊松過程(homogeneous Poisson process, HPP){(),≥0},則在任意長度為的時間間隔[,+]內(nèi),沖擊次數(shù)為(=0,1,…)的概率分布為

(4)

(5)

圖2 隨機沖擊過程Fig.2 Random shock process

根據(jù)泊松過程的分解定理,兩類沖擊亦分別遵循到達率為和的HPP,且二者相互獨立。令表示第次非致命沖擊給部件退化造成的瞬時退化增量,其度量由沖擊強度轉(zhuǎn)換,即=,為轉(zhuǎn)換因子,因此亦服從正態(tài)分布。綜上可得,時間內(nèi)由非致命沖擊導(dǎo)致的累積退化量()為

(6)

當()=時,()的概率分布函數(shù)()為

(7)

根據(jù)以上分析,對于同時經(jīng)歷自然退化與隨機沖擊的部件,退化過程如圖3所示,其在時間內(nèi)的退化總量()為

(8)

圖3 隨機沖擊影響下的退化過程Fig.3 Degradation process under the effects of random shock

因此,部件在時間內(nèi)不發(fā)生失效需滿足的條件是,期間沒有致命沖擊且退化總量低于失效閾值。據(jù)此可得可靠度()為

(9)

1.4 剩余壽命估計

根據(jù)首達時間的概念,在當前時刻為時,部件的剩余壽命可以定義為

=inf{:(+)≥|()<}

(10)

已知僅考慮Wiener退化過程的部件剩余壽命PDF為

(11)

式中:表示時刻部件的實際退化量。

在求取考慮隨機沖擊影響的部件剩余壽命PDF時,利用文獻[24]中的閾值轉(zhuǎn)換思想將式(10)中的固定失效閾值轉(zhuǎn)換為-(),結(jié)合全概率公式可得

(12)

式中:表示時刻部件的總退化量。

由式(12)可得考慮隨機沖擊影響的部件剩余壽命的期望表達式為

(13)

1.5 參數(shù)估計

=[Δ+1,Δ+2,…,Δ+]

(14)

(15)

式中:表示部件第個檢測間隔內(nèi)發(fā)生的非致命沖擊的次數(shù)。令Δ=[Δ1,Δ2,…,Δ]表示所有部件的退化檢測數(shù)據(jù),則Δ的對數(shù)似然函數(shù)可表示為

(16)

(17)

然后得到ln(Δ)關(guān)于和的一階偏導(dǎo)數(shù)分別為

(18)

(19)

(20)

(21)

2 視情維修與備件庫存聯(lián)合策略

2.1 視情維修策略

本文采取基于定期檢測的視情維修策略,具體如下。

(1) 若,≥或者在時間間隔(-1,]內(nèi)任一≥,則部件失效,在時刻進行失效性更換,成本為。

(2) 若在時間間隔(-1,]內(nèi)未發(fā)生致命沖擊且,<,根據(jù)狀態(tài)檢測數(shù)據(jù)獲得參數(shù)估計值,然后由式(13)計算得部件在時刻的期望剩余壽命為E(,)。設(shè)預(yù)防性更換的剩余壽命閾值為,為防止部件在下一檢測間隔內(nèi)失效,令≥Δ。若E(,)≤,則部件進行預(yù)防性更換,成本為,否則不采取任何操作。

2.2 備件庫存策略

無論失效性更換還是預(yù)防性更換均會產(chǎn)生換件需求,從而消耗庫存中的備件。本文以目前較為通用的庫存策略(,)為基礎(chǔ)闡述庫存消耗與補充過程,具體如下。

(1) 當產(chǎn)生失效性更換或者預(yù)防性更換的換件需求時,首先要檢查庫存水平,若庫存水平能滿足所有換件需求,則正常進行更換并更新當前庫存水平。若庫存水平小于等于則發(fā)起訂購-個備件的指令,經(jīng)過固定的備件交貨期后補充庫存。

(2) 當換件需求數(shù)量超過當前庫存水平時,則優(yōu)先保障失效性更換,同時發(fā)起訂購指令,到貨后優(yōu)先保障欠件更換。由于備件數(shù)量不足導(dǎo)致的單個部件單位時間停機損失成本為。

(3) 假設(shè)庫存補充過程的單次訂購成本為,備件單價為,單位時間單個備件存儲成本為。

圖4為維修與庫存聯(lián)合運行機制示意圖,展示了維修過程與庫存消耗、補充過程之間的關(guān)系,并給出了相關(guān)統(tǒng)計數(shù)據(jù)的更新和計算方法。

圖4 維修與庫存聯(lián)合運行機制Fig.4 Joint operation mechanism of maintenance and inventory

3 聯(lián)合優(yōu)化模型與求解算法

3.1 聯(lián)合優(yōu)化模型

對于視情維修與備件庫存聯(lián)合優(yōu)化問題,頻繁的檢測、更換以及較高的庫存水平會導(dǎo)致高昂的維修與庫存成本,反之成本雖會降低,但系統(tǒng)失效風險會上升,備件保障能力會下降。因此,為了平衡檢測、更換、訂購、存儲成本與缺件風險,本文以單位時間內(nèi)平均費用成本最低為目標,確定最優(yōu)聯(lián)合策略對應(yīng)的決策變量組合(Δ,,,)。模型表示如下:

(22)

式中:表示維修成本;表示庫存成本,具體計算公式分別為

=+++

(23)

=++

(24)

式中:,,,,,,分別表示系統(tǒng)運行周期內(nèi)的檢測次數(shù),失效性更換次數(shù),預(yù)防性更換次數(shù),所有部件累積停機時間,備件訂購次數(shù),累積訂購備件數(shù),所有備件累積存儲時間。

3.2 求解算法

由于維修過程以及庫存的消耗與補充過程較為復(fù)雜,顯式地解析出目標函數(shù)與決策變量之間的關(guān)系非常困難,因此可以利用MCS仿真系統(tǒng)中部件退化,以及維修與庫存的動態(tài)變化過程。同時,利用PSO算法在搜索空間內(nèi)快速求得最優(yōu)聯(lián)合策略。本文設(shè)計的PSO-MCS優(yōu)化算法具體如下。

設(shè)定相關(guān)參數(shù),初始化個粒子的速度和位置(Δ,,,),=1,2,…,。

對于每個給定的粒子,通過次MCS計算出對應(yīng)的適應(yīng)值(Δ,,,),仿真過程如下:

采用增量采樣法仿真部件自然退化增量和在(-1,]內(nèi)產(chǎn)生的隨機沖擊;

若經(jīng)檢測(-1,]內(nèi)產(chǎn)生的任一隨機沖擊強度≥,或者退化總量()≥,則產(chǎn)生失效性更換需求。檢查庫存水平,若能滿足換件需求則進行更換,否則欠件,發(fā)起訂購指令。期間記錄并更新相關(guān)數(shù)據(jù);

若所有<且()<,計算期望剩余壽命(),若()≤,則產(chǎn)生預(yù)防性更換需求。檢查庫存水平,若能滿足換件需求則進行更換,否則欠件,發(fā)起訂購指令。期間記錄并更新相關(guān)數(shù)據(jù);

等待到貨期間其余正常運行部件仍按照步驟2.2至2.4更新,備件到貨后若有欠件,則進行欠件更換,然后補充庫存,更新庫存水平;

判斷運行時間是否達到設(shè)定周期,若達到則轉(zhuǎn)入步驟27,否則令=+1,返回步驟22;

計算第次MCS的平均費用率,返回步驟21進入下一次循環(huán),直至仿真次;

最終得到粒子對應(yīng)的適應(yīng)值:

end。

搜索確定當前每個粒子的個體最優(yōu)解以及整個粒子群的當前整體最優(yōu)解。

基于和更新群體中每個粒子的速度和位置。

判斷是否滿足最大迭代次數(shù),若滿足則輸出最優(yōu)解,以及對應(yīng)的最優(yōu)聯(lián)合策略(Δ,,,),否則轉(zhuǎn)入步驟 2。

4 實例分析

4.1 模型驗證

陀螺儀是慣性導(dǎo)航平臺的關(guān)鍵組成部分,在軍事裝備、航空航天等領(lǐng)域有著重要的作用。實際使用過程中,受陀螺轉(zhuǎn)子高速旋轉(zhuǎn)磨損和外部隨機沖擊等影響,陀螺儀漂移系數(shù)逐漸增大,性能發(fā)生退化,最終導(dǎo)致失效。因此,通過定期檢測獲取陀螺儀退化數(shù)據(jù),建立退化模型,估計剩余壽命,在此基礎(chǔ)上確定合理的維修與庫存聯(lián)合策略,對保證任務(wù)順利進行和降低維修保障成本具有重要意義。

由于實際執(zhí)行任務(wù)期間隨機沖擊數(shù)據(jù)量化困難,通常檢測獲取的實際退化量已經(jīng)夾雜著隨機沖擊的影響,故而很難將部件自然退化與外部隨機沖擊剝離。因此,本文以6臺獨立工作的某型裝備內(nèi)陀螺儀的沖擊退化試驗數(shù)據(jù)為基礎(chǔ),結(jié)合仿真驗證本文模型。該數(shù)據(jù)記錄了按照通電時間,每天通過檢測設(shè)備獲取的6臺陀螺儀50天漂移系數(shù)退化數(shù)據(jù),具體如圖5所示。按照該型陀螺儀技術(shù)指標,選擇失效閾值為=9°/d。

圖5 陀螺儀漂移系數(shù)退化數(shù)據(jù)Fig.5 Degradation data of gyro drift coefficient

根據(jù)沖擊退化試驗數(shù)據(jù),采用本文參數(shù)估計方法得到的退化模型參數(shù)估計結(jié)果為(,,,,)=(0.12,0.05,1.00,1.21,0.19)。將此結(jié)果用于后續(xù)仿真優(yōu)化中退化過程的參數(shù)設(shè)定,保證優(yōu)化結(jié)果的有效性。聯(lián)合優(yōu)化模型和PSO-MCS優(yōu)化算法涉及的初始參數(shù)值如表1所示。

表1 參數(shù)設(shè)置

通過仿真優(yōu)化得到最優(yōu)平均費用率為256.05元/天,對應(yīng)的4個決策變量的最優(yōu)組合為(Δ,,,)=(5,8,6,29),由此確定了考慮隨機沖擊影響的視情維修與備件庫存最優(yōu)聯(lián)合策略,實驗結(jié)果如圖6所示。

圖6 考慮隨機沖擊影響的優(yōu)化結(jié)果及庫存水平變化Fig.6 Optimization results and inventory level changes considering effects of random shock

4.2 對比分析

為進一步證明工作在復(fù)雜環(huán)境中的關(guān)鍵部件,其視情維修與備件庫存聯(lián)合策略考慮外部隨機沖擊影響的必要性,以及本文提出模型的有效性,將本文模型(簡稱為M)與僅考慮自然退化(基于Wiener過程)的視情維修與備件庫存聯(lián)合策略模型(簡為稱M)進行對比。需要說明的是,M所用退化試驗數(shù)據(jù)為另一組沒有隨機沖擊的6臺陀螺儀漂移系數(shù)退化數(shù)據(jù),M實驗結(jié)果如圖7所示。

圖7 僅考慮自然退化的優(yōu)化結(jié)果及庫存水平變化Fig.7 Optimization results and inventory level changes only considering natural degradation

結(jié)果表明,M的最優(yōu)平均費用率為106.91元/天,對應(yīng)的4個決策變量的最優(yōu)組合為(Δ,,,)=(7,10,2,18)。由此可見,相比于M,不受外部隨機沖擊影響的M的維修保障成本明顯下降,檢測間隔和預(yù)防性更換閾值增大,安全庫存和最大庫存減小,說明了隨機沖擊會顯著改變視情維修與備件庫存聯(lián)合策略以及相關(guān)成本。

關(guān)于隨機沖擊造成以上顯著改變的內(nèi)在原因,本文從可靠度和剩余壽命兩方面進行深入剖析,結(jié)果如圖8所示。

圖8(a)展示了由式(3)和式(9)得到的M和M的可靠度曲線,圖8(b)以陀螺儀1為例展示了在不同退化檢測時間點上,由式(11)和式(12)估計的M和M的剩余壽命PDF以及期望剩余壽命,并給出了對應(yīng)的實際剩余壽命。觀察可知,M中的陀螺儀可靠度出現(xiàn)明顯下降的時間比M中的陀螺儀要提前近40天,說明隨機沖擊會加速陀螺儀的退化。加速退化的結(jié)果會進一步影響陀螺儀剩余壽命的估計,進而對最優(yōu)策略(Δ,,,)的制定產(chǎn)生影響。同時,由于陀螺儀更換頻率加快,以及隨機沖擊帶來更大的失效不確定性,維修保障成本也會隨之增加。至此,得到了M和M優(yōu)化結(jié)果差距的內(nèi)在原因,同時充分證明了本文構(gòu)建模型的意義及必要性。

另一方面,為證明本文提出模型的有效性,將M的最優(yōu)聯(lián)合策略(Δ,,,)=(7,10,2,18)應(yīng)用于M,得到M的平均費用率為3 740.87元/天,遠遠超過M的最優(yōu)平均費用率256.05元/天。這是因為M并未考慮隨機沖擊影響,將其最優(yōu)聯(lián)合策略應(yīng)用于M理論上會造成停機數(shù)量的增加,從而導(dǎo)致平均費用率急劇上升。100次MCS的實驗結(jié)果驗證了該假設(shè),具體結(jié)果是:M在其最優(yōu)聯(lián)合策略下的平均停機數(shù)為0,M在M最優(yōu)聯(lián)合策略下的平均停機數(shù)為14。這一結(jié)果表明本文構(gòu)建模型能有效改善聯(lián)合策略,減少停機數(shù)量,降低維修保障成本。

圖8 可靠度曲線與剩余壽命估計結(jié)果Fig.8 Reliability curves and estimation results of remaining useful life

4.3 敏感性分析

接下來進一步探究隨機沖擊參數(shù)對M優(yōu)化結(jié)果的影響。將隨機沖擊參數(shù),,分別獨立調(diào)整,得到M優(yōu)化結(jié)果對不同參數(shù)的敏感程度,具體如表2所示。

表2 不同隨機沖擊參數(shù)對應(yīng)的優(yōu)化結(jié)果

由表2可知,反映隨機沖擊到達率的參數(shù)對優(yōu)化結(jié)果影響較大,最優(yōu)費用率和安全庫存與的變化呈明顯正相關(guān)關(guān)系。這是因為在沖擊強度不變的情況下,沖擊頻率的增加或減少將直接影響陀螺儀的實際退化速度,進而影響陀螺儀的更換頻率,最終導(dǎo)致費用率發(fā)生改變。同時,由于安全庫存的設(shè)置與訂購成本、存儲成本和停機成本高度相關(guān),為保證聯(lián)合優(yōu)化模型達到最優(yōu)費用率,安全庫存必然會隨著的變化發(fā)生明顯改變。

反映沖擊強度均值的參數(shù)對優(yōu)化結(jié)果影響同樣較大,最優(yōu)費用率和安全庫存與的變化亦呈明顯正相關(guān)關(guān)系。這是因為在沖擊到達率和沖擊強度標準差不變的情況下,的變化除了會影響陀螺儀的實際退化速度,還會影響突發(fā)型失效發(fā)生的概率,從而導(dǎo)致與相似的結(jié)果。但是,反映沖擊強度標準差的參數(shù)對優(yōu)化結(jié)果沒有明顯影響。這是因為經(jīng)過式(15)等的轉(zhuǎn)換,對陀螺儀退化增量的貢獻相比于和可忽略不計。

以上敏感性分析結(jié)果表明,隨機沖擊參數(shù)對聯(lián)合優(yōu)化策略和維修保障成本的影響不可忽視,尤其λ和μ是產(chǎn)生影響的關(guān)鍵因素。

5 結(jié) 論

本文針對在復(fù)雜環(huán)境中工作的關(guān)鍵部件,基于定期檢測策略提出了一種考慮隨機沖擊影響的多部件系統(tǒng)視情維修與備件庫存聯(lián)合優(yōu)化模型,拓展了聯(lián)合優(yōu)化模型在復(fù)雜環(huán)境中的應(yīng)用,且模型具有一定的通用性。建立了隨機沖擊影響下的退化模型及可靠度函數(shù)模型,在首達時間的意義下利用閾值轉(zhuǎn)換思想推導(dǎo)出了剩余壽命PDF,采用極大似然法估計了退化模型參數(shù)。制定了考慮隨機沖擊影響的視情維修與備件庫存聯(lián)合策略,以平均費用率最低為目標建立了聯(lián)合優(yōu)化模型,并設(shè)計了PSO-MCS優(yōu)化算法。以陀螺儀為例驗證了復(fù)雜環(huán)境中模型考慮隨機沖擊影響的必要性以及模型的有效性,同時敏感性分析結(jié)果表明隨機沖擊對多部件系統(tǒng)視情維修與備件庫存聯(lián)合優(yōu)化結(jié)果具有重要影響。進一步說明了本文提出模型具有潛在的實際應(yīng)用價值。

由于現(xiàn)有研究包括本文均在固定檢測周期下開展視情維修與備件庫存聯(lián)合優(yōu)化,而在部件退化后期的檢測間隔內(nèi)往往更易發(fā)生失效性更換,造成較大經(jīng)濟損失。因此,在下一步工作中,將研究如何利用部件剩余壽命信息確定合理的可變檢測周期,并對動態(tài)檢測周期視角下的視情維修與備件庫存聯(lián)合優(yōu)化問題深入探討。