讓“雞兔同籠”改頭換面

王化山

[摘 要]人教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材將“雞兔同籠”這一經(jīng)典內(nèi)容作了布局上的調(diào)整，除了位置上的移動(dòng)，在課程內(nèi)容上也做了進(jìn)一步的補(bǔ)充和完善。而這一更改讓教師措手不及，因?yàn)檫@個(gè)學(xué)段的學(xué)生還是以直觀思維經(jīng)驗(yàn)為主，如何讓他們形成較為完善的抽象代數(shù)思維呢？

[關(guān)鍵詞]雞兔同籠;變式;建模

[中圖分類號(hào)] G623.5 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A [文章編號(hào)] 1007-9068（2022）02-0027-03

解決“雞兔同籠”這一經(jīng)典問題的方法很多，除了可以用拼湊法、繪圖法、列表法等傳統(tǒng)方法，還可以用假設(shè)法、邏輯推理法等來解決。不過，對(duì)五年級(jí)學(xué)生來說，他們也有一點(diǎn)得天獨(dú)厚的優(yōu)勢(shì)，那就是剛剛學(xué)會(huì)了簡易方程。對(duì)此，筆者便讓學(xué)生現(xiàn)學(xué)現(xiàn)賣，教授他們運(yùn)用解方程來應(yīng)戰(zhàn)“雞兔同籠”問題。

在新授課時(shí)，問題也隨之而來。筆者發(fā)現(xiàn)學(xué)生掌握解決問題的技巧后，課堂作業(yè)上卻無相關(guān)練習(xí)題可供訓(xùn)練。因?yàn)閺?fù)習(xí)鞏固必不可少，所以筆者通過互聯(lián)網(wǎng)搜索相關(guān)例題和訓(xùn)練題，但這些現(xiàn)成的例題都過于陳舊。于是某位前輩的忠告浮現(xiàn)在筆者耳畔：“‘雞兔同籠’無非就是一個(gè)兩積之和的數(shù)學(xué)模型，只要摸清這個(gè)模型的原理，就可以變化無窮，題目編之不盡。”作為數(shù)學(xué)教師，要搞清楚“雞兔同籠”問題的真面目，也就是其背后的數(shù)學(xué)本質(zhì)是什么。我們要求學(xué)生能夠融會(huì)貫通，對(duì)其背后的數(shù)學(xué)模型解構(gòu)游刃有余，那么教師更應(yīng)該做到揮灑自如。反過來想，依據(jù)“ax+b（c-x）=d”的初始模型，可以先給每個(gè)字母賦值，然后配備現(xiàn)實(shí)情境，最后編寫出形態(tài)各異的習(xí)題，豈不是更有趣？于是，筆者立即著手編題。

一、壓歲錢、書法、電子產(chǎn)品，與時(shí)俱進(jìn)

“雞兔同籠”問題其實(shí)是一個(gè)模式問題，可以衍生很多變式，而這些變式如果仍然停留在動(dòng)物的頭數(shù)和腿數(shù)，或者拘泥于一些日常生活中常見的物品，如桌椅數(shù)和桌椅腿數(shù)，那么勢(shì)必會(huì)降低學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣。學(xué)生在單調(diào)乏味的情境中很難產(chǎn)生解題的動(dòng)機(jī)和興趣，也很難自發(fā)地尋找當(dāng)前情境與雞兔情境中頭數(shù)和腿數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，即使自主地與“雞兔同籠”問題產(chǎn)生類比，也會(huì)生搬硬套，形成思維定式。而如果換成與現(xiàn)代生活密切相關(guān)的素材，情況則大為改觀。

習(xí)題1：2021年伊始，劉華一共收到了3500元壓歲錢。這些壓歲錢都裝在紅包里，其中100元的紅包和200元的紅包一共有10個(gè)，兩種紅包里的壓歲錢共計(jì)1800元。那么，劉華收到100元的紅包和200元的紅包各幾個(gè)？

【編寫意圖】從學(xué)生感興趣的壓歲錢說起，代入感強(qiáng)，學(xué)生易于接受。即使不能運(yùn)用方程解決，學(xué)生也能湊出答案。該題有一個(gè)多余信息——3500元，需學(xué)生自行發(fā)現(xiàn)，并搜集有用信息代入模型，列式為100x+200（10-x）=1800。

習(xí)題2：王爺爺酷愛書法，在朋友的推薦下，王爺爺花392元買了兩套書法字帖，一共21本。一套是《啟功楷書字帖》，每本26元，另一套是《啟功隸書字帖》，每本12元。請(qǐng)問王爺爺購買的這兩套書法字帖各有幾本？

【編寫意圖】教育部發(fā)布的《中小學(xué)書法教育指導(dǎo)綱要》要求，從2013年春季開學(xué)始，書法教育將納入中小學(xué)教學(xué)體系。另外，練習(xí)書法貼近生活實(shí)際，能讓學(xué)生產(chǎn)生共鳴。代入模型后，列式為26x+12（21-x）=392。

習(xí)題3：2021年春節(jié)，某福利院獲得商家捐贈(zèng)的點(diǎn)讀機(jī)和兒童智能手表共100套，總價(jià)14000元。其中，點(diǎn)讀機(jī)每套500元，兒童智能手表每套50元。點(diǎn)讀機(jī)和兒童智能手表各有幾套呢？

【編寫意圖】本來此題的原意也是想從購物著手，但為了避免和學(xué)習(xí)文具重復(fù)，于是換成了學(xué)生喜愛且熟悉的電子產(chǎn)品，類似的有關(guān)電子設(shè)備的題目也可以編成“雞兔同籠”的習(xí)題。同樣代入模型，得到500x+50（100-x）=14000。

習(xí)題4：超市搞新年促銷活動(dòng)，李阿姨搶購了很多食品，其中純牛奶和豆奶一共買了5箱，共計(jì)84盒。已知純牛奶每箱12盒，豆奶每箱24盒。請(qǐng)問李阿姨買的純牛奶和豆奶各有幾箱？

【編寫意圖】筆者編寫此題的本意是想考查學(xué)生對(duì)“毫升”“升”等容積單位的理解和運(yùn)用，但是考慮到第十冊(cè)才學(xué)到，所以暫時(shí)作罷，換成盒數(shù)。代入模型后，列式為12x+24（5-x）=84。

壓歲錢、書法字帖、電子產(chǎn)品、超市購物……這些都不再是新瓶裝舊酒，而是徹底改頭換面，學(xué)生可以擺脫雞兔模式的束縛，通過對(duì)“雞兔同籠”問題的公式解構(gòu)來重新設(shè)計(jì)新的解題思路。不僅如此，不斷更換新的情境，學(xué)生就要在不同的情境間穿梭切換，而且每次都需要重新思考，有效避免了思維的機(jī)械重復(fù)。同時(shí)，不同情境下的解法又有著異曲同工之妙，學(xué)生會(huì)在不知不覺中歸納出一套自己的解法，形成獨(dú)特的經(jīng)驗(yàn)。

二、直播、游樂園、裝修，盡在其中

習(xí)題5：某網(wǎng)絡(luò)主播在平臺(tái)直播帶貨，賣的是某品牌燕窩。主播賣出一箱“白燕”平均要花20秒，賣出一箱“紅燕”平均要花15秒。該主播連續(xù)2分鐘不間斷地直播后共售出7箱燕窩。請(qǐng)問他售出的“白燕”和“紅燕”各幾箱？

【編寫意圖】直播帶貨也可以入題，直播帶貨可謂“時(shí)間就是金錢”，利用好直播時(shí)間，時(shí)間單位也可以用來編成“雞兔同籠”問題，再次讓學(xué)生看到“雞兔同籠”問題情境的時(shí)髦性和多樣性。該題應(yīng)先換算時(shí)間單位，2分=120秒，代入模型后，列式為20x+15（7-x）=120。

習(xí)題6：寒假里，韋丹家一行5人去游樂園游玩，成人門票每人260元，兒童門票每人200元，買門票一共花了1180元。請(qǐng)問韋丹家有幾個(gè)成人和幾個(gè)兒童一起去了游樂園？

【編寫意圖】游樂園是學(xué)生感興趣的話題，可緊緊抓住學(xué)生的好奇心。本題列式為260x+200（5-x）=1180。

到此為止，絕大多數(shù)學(xué)生都能順利解決以上六道習(xí)題。

習(xí)題7：李叔叔家正在裝修，客廳地面用兩種規(guī)格的方形地磚鋪成。一種地磚邊長是0.4米，另一種地磚邊長是0.8米。已知客廳面積為24平方米，共用去地磚60塊。請(qǐng)問兩種規(guī)格的地磚各用了多少塊？

【編寫意圖】本題又換單位了，這次換成面積單位，許多學(xué)生解題時(shí)會(huì)忽略要先計(jì)算地磚的面積，再代入“雞兔同籠”模型，導(dǎo)致正確率直線下降。邊長0.4米的地磚面積為0.4×0.4=0.16（平方米），邊長0.8米的地磚面積為0.8×0.8=0.64（平方米），代入模型后，則有0.16x+0.64（60-x）=24。

如果說創(chuàng)新情境、緊跟時(shí)代是為了激發(fā)學(xué)生的探究興趣，讓“雞兔同籠”這一古老問題煥發(fā)出新的生機(jī)，那么習(xí)題7中的“鋪地磚”情境就是為了將代數(shù)問題與幾何問題掛鉤，實(shí)現(xiàn)學(xué)科內(nèi)不同分支的融合?！半u兔同籠”問題本是代數(shù)問題，但是通過一定的轉(zhuǎn)化，可換裝成幾何問題。學(xué)生通過計(jì)算地磚的面積來推算需要的塊數(shù)，這樣一來，學(xué)生所掌握的幾何知識(shí)就可以遷移到代數(shù)問題中，憑借幾何知識(shí)來加深對(duì)算術(shù)問題的理解，可謂“他山之石，可以攻玉”。買門票是生活中常見的情境，但過去這類情境多用于方案設(shè)計(jì)，通過規(guī)劃和計(jì)算比較哪種購票方案最省錢，而習(xí)題6則是讓學(xué)生通過總票價(jià)和單價(jià)推算出兒童票和成人票各有幾張，這種用熟悉情境編寫新問題的做法，可以讓學(xué)生較快進(jìn)入狀態(tài)，并摸清解題線索，且不受原有題型的負(fù)遷移影響。

三、健身、環(huán)保、自駕，包羅萬象

習(xí)題8：寒假里，李強(qiáng)堅(jiān)持健身。從2月12日到2月18日，他每天不是做一次俯臥撐就是做一次仰臥起坐。已知李強(qiáng)平均每次做俯臥撐145個(gè)，平均每次做仰臥起坐20個(gè)，這幾天他一共做仰臥起坐和做俯臥撐640個(gè)。請(qǐng)問這幾天他做俯臥撐幾次？做仰臥起坐幾次？

【編寫意圖】這題意在提醒學(xué)生寒假不忘健身，因?yàn)轭}目沒有明示“雞兔”總“頭”數(shù)——做運(yùn)動(dòng)的天數(shù)，所以很多學(xué)生錯(cuò)算成18-12=6（天），導(dǎo)致這道題正確率不高。正確的天數(shù)應(yīng)為18-12+1=7（天），列式為145x+20（7-x）=640。

習(xí)題9：螞蟻森林熱度不減?？爝f員小明和同事們組成的“綠化隊(duì)”打算在螞蟻森林“植樹”。計(jì)劃男員工每組植樹6棵，女員工每組植樹5棵。他們5個(gè)組計(jì)劃一共植樹28棵。請(qǐng)問男員工分為幾組？女員工分為幾組？

【編寫意圖】這道題意在告訴學(xué)生，涉及植樹情境的并非就是“植樹問題”，也可以是“雞兔同籠”問題。本題列式為6x+5（5-x）=28。

習(xí)題10：寒假里，李華和張陽相約去九寨溝游玩。李華開車20分鐘到達(dá)目的地，張陽開車30分鐘到達(dá)目的地。已知李華從家驅(qū)車抵達(dá)目的地再到張陽家一共是39千米。如果李華和張陽各開一輛車，1分鐘一共行駛了1550米，請(qǐng)問他們的車每分鐘各行多少米？

【編寫意圖】這道題的正確率最低，學(xué)生可能是被“行程”繞暈了。另外，筆者刻意用分鐘做單位，一是因?yàn)閷W(xué)生尚未學(xué)會(huì)將分鐘數(shù)化為用分?jǐn)?shù)表示的小時(shí)數(shù)，如30分鐘換算成[12]小時(shí)，20分鐘換算成[13]小時(shí);二是想避開直接出示速度單位。本題的“雞兔”總“頭”數(shù)——李華和張陽分別開車到達(dá)目的地的路程之和，這個(gè)條件比較隱蔽，其實(shí)題目中已經(jīng)給出，即39千米=39000米。將條件代入模型，列式為20x+30（1550-x）=39000。

任何學(xué)科的教學(xué)都講究三維目標(biāo)，其中最難實(shí)現(xiàn)的就是“第三維”——情感態(tài)度價(jià)值觀，尤其是數(shù)學(xué)學(xué)科，很難滲透情感教育和道德教育。過去的“雞兔同籠”模型就遭到一些學(xué)者的質(zhì)疑，說將雞和兔子放在一個(gè)籠子里飼養(yǎng)，這不符合養(yǎng)殖科學(xué)，也無法培養(yǎng)學(xué)生關(guān)愛動(dòng)物和敬畏生命的悲憫情懷。而且，有的解法中甚至提到“假設(shè)每只兔子砍掉兩條腿，每只雞‘移植’兩條腿”，這種假設(shè)本身就違背珍愛生命的德育宗旨?，F(xiàn)在，將題目換成書法、環(huán)保、健身等情境，就可以有效滲透德育教育，培養(yǎng)學(xué)生熱愛生命、珍視健康、保護(hù)環(huán)境、人與自然和諧共處的正確價(jià)值觀和世界觀，學(xué)生在學(xué)到數(shù)學(xué)知識(shí)的同時(shí)，也提高了道德水準(zhǔn)，陶冶了情操。

以上十道例題，采用的情境形形色色，運(yùn)用的數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)也很多，但是都有一個(gè)結(jié)構(gòu)相同的內(nèi)核。誠然，研究“雞兔同籠”問題的價(jià)值不能拘泥于雞兔本身，而在于這個(gè)模式下的數(shù)學(xué)推理規(guī)則，讓學(xué)生在建模的過程中體會(huì)問題條件與問題邏輯之間的關(guān)聯(lián)以及各個(gè)數(shù)量的結(jié)構(gòu)框架，這才是設(shè)計(jì)“雞兔同籠”問題的目的——訓(xùn)練學(xué)生的思維能力，塑造學(xué)生的數(shù)學(xué)思想方法，用數(shù)學(xué)來開啟學(xué)生智慧的大門。

[ 參 考 文 獻(xiàn) ]

[1] 徐曉良.“笨”方法也是“好”方法：《雞兔同籠》單元重組引發(fā)的思考[J].小學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)，2020（32）.

[2] 羅增儒.基于綜合實(shí)踐活動(dòng)的教學(xué)探究：“雞兔同籠”聽課札記[J].中小學(xué)課堂教學(xué)研究，2020（09）.

[3] 曹一鳴.堅(jiān)守與創(chuàng)新：數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的中國傳統(tǒng)文化[J].教育視界，2020（23）.

[4] 余金龍.“假”戲真做? 弄“假”成真：《雞兔同籠》教學(xué)設(shè)計(jì)（一）[J].小學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)，2020（17）.

（責(zé)編 李琪琦）