一道習(xí)題兩個(gè)答案的背后……

王永生

[摘 要]習(xí)題是訓(xùn)練學(xué)生思辨力的主陣地，能幫助學(xué)生提高數(shù)學(xué)閱讀能力。教師在指導(dǎo)學(xué)生解決問(wèn)題的過(guò)程中，要事前作好規(guī)劃和決策，總攬全局，科學(xué)籌劃，培養(yǎng)學(xué)生的審題能力和分析能力，這樣才能提高學(xué)生解決問(wèn)題的能力。

[關(guān)鍵詞]數(shù)學(xué);審題;計(jì)費(fèi);服務(wù);流量;追及;最少

[中圖分類(lèi)號(hào)] G623.5 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A [文章編號(hào)] 1007-9068（2022）02-0021-03

筆者在一篇文章中看到一道題目：

中國(guó)電信公司為了拓展5 G網(wǎng)絡(luò)業(yè)務(wù)，特推出兩種優(yōu)惠方案，具體預(yù)案如下表。

當(dāng)天翼手機(jī)用戶(hù)每月上網(wǎng)流量最少是多少時(shí)，兩種方案收取的費(fèi)用相等？

學(xué)生解答該題時(shí)，出現(xiàn)了兩種不同的思路和兩個(gè)答案。

一種思路是計(jì)算兩種方案保底消費(fèi)的差價(jià)可支付多少超額流量：60-40=20（元），20÷0.2=100（G），100+60=160（G）。通過(guò)檢驗(yàn)對(duì)比發(fā)現(xiàn)該思路的答案是正確的。

另一種思路則是采用設(shè)未知數(shù)列方程解應(yīng)用題的方法，直接設(shè)未知數(shù)，然后根據(jù)題干中兩種方案收取的網(wǎng)費(fèi)相等作為等量關(guān)系來(lái)列方程：設(shè)每月上網(wǎng)流量最少為x G時(shí)兩種方案征收的流量服務(wù)費(fèi)相等，因此，40+（x-60）×0.2=60+（x-200）×0.3，解得x=280。通過(guò)檢驗(yàn)所列方程和所求解，發(fā)現(xiàn)居然也是正確的。

為何會(huì)出現(xiàn)兩個(gè)不同的答案？而且兩個(gè)不同的答案居然都正確。對(duì)于這道題來(lái)說(shuō)，正確答案只會(huì)是其中之一，那么是哪個(gè)呢？

一、在對(duì)比檢驗(yàn)中找出多解原因

原文作者引導(dǎo)學(xué)生繼續(xù)討論，通過(guò)方方面面的對(duì)比，最后找到了原因：發(fā)現(xiàn)未知數(shù)x是上網(wǎng)流量，這個(gè)流量可能大于200 G，也可能少于200 G，第二種思路是用方程法解，其列式默認(rèn)流量比200 G多，因?yàn)閮蛇叾紲p去了保底消費(fèi)固定流量，所以此處的實(shí)際使用流量默認(rèn)大于200 G。而兩種方案都涉及分段收費(fèi)，也就是月結(jié)算使用流量未超出保底流量時(shí)，統(tǒng)一收取定額費(fèi)用，因此還存在介于兩個(gè)保底流量之間的使用量，其中一種方案按照保底消費(fèi)收費(fèi)，另一種按照分段計(jì)費(fèi)，所以還應(yīng)該列出一個(gè)流量比200 G少但是比60 G多的方程，即設(shè)每月流量最少為x G（60

在這種情況下，即在流量達(dá)到160 G時(shí)，方案一使用了100 G的超標(biāo)部分加收的流量費(fèi)20元，再加上方案一的保底消費(fèi)40元，共計(jì)60元，而這個(gè)實(shí)用額度160 G在方案二中屬于保底范圍，也就是說(shuō)160 G還在每月固定流量200 G內(nèi)，需要繳納的流量費(fèi)仍屬于保底消費(fèi)60元，此時(shí)在方案二下是一個(gè)恒量，與未知數(shù)x的大小無(wú)關(guān)，況且題目問(wèn)的是“當(dāng)天翼手機(jī)用戶(hù)每月上網(wǎng)流量最少是多少G時(shí)，兩種方案征收的費(fèi)用相等”。題中出現(xiàn)了“最少”，這是一個(gè)極易被忽略的關(guān)鍵詞。因?yàn)檫@個(gè)關(guān)鍵詞的存在，所以還要在兩個(gè)可行答案里做一番篩選，去掉較大的值，也就是280 G，而保留160 G作為最終答案。因此，該題的答案應(yīng)該是160 G。

此類(lèi)問(wèn)題，比過(guò)去單一的分段計(jì)費(fèi)問(wèn)題更加復(fù)雜，因?yàn)樵黾恿肆硪环N收費(fèi)方式，兩種收費(fèi)方式都是分段的，而且分段區(qū)間是錯(cuò)開(kāi)的，學(xué)生很難兼顧到兩種方式的動(dòng)態(tài)變化。實(shí)際上，這類(lèi)題的難點(diǎn)在于，未知數(shù)到達(dá)某個(gè)值時(shí)，其中起步價(jià)高一些的計(jì)費(fèi)模式處于靜止定額狀態(tài)時(shí)，另一種模式已經(jīng)啟動(dòng)加收程序。如方案二流量在200 G以?xún)?nèi)費(fèi)用固定為60元，而將這個(gè)60元作為方案一的收費(fèi)，則會(huì)計(jì)算出一個(gè)新的流量數(shù)，此時(shí)，二者相等其實(shí)是固定方案二的起步價(jià)而等待方案一的追平。但是，在兩種方案同時(shí)達(dá)到60元額度、流量達(dá)到160 G后，方案二的費(fèi)用還要維持60元一段時(shí)間，而此時(shí)，方案一已經(jīng)開(kāi)始持續(xù)低速上升，方案二達(dá)到200 G保底額度后，才開(kāi)始高速追趕，最后動(dòng)態(tài)追平方案一的收費(fèi)。轉(zhuǎn)換成統(tǒng)計(jì)圖如下：

二、類(lèi)比遷移到“追及問(wèn)題”的缺陷

之后原文作者又借題發(fā)揮，類(lèi)比遷移到“追及問(wèn)題”中，把該問(wèn)題比擬成追及問(wèn)題：兩名跑步選手本身就拉開(kāi)了一段距離，快者在前，慢者在后，一開(kāi)始行進(jìn)速度快者原地不動(dòng)，行進(jìn)速度慢者追上行進(jìn)速度快者（類(lèi)比160 G），行進(jìn)速度快者還是沒(méi)動(dòng)，行進(jìn)速度慢者繼續(xù)往前跑，等行進(jìn)速度慢者跑了一段時(shí)間，到了行進(jìn)速度快者起程的時(shí)間，行進(jìn)速度快者才開(kāi)始追趕進(jìn)速度慢者，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間（類(lèi)比280 G），行進(jìn)速度快者追上了行進(jìn)速度慢者，再之后行進(jìn)速度快者和行進(jìn)速度慢者都在跑，行進(jìn)速度慢者就永遠(yuǎn)追不上行進(jìn)速度快者了，也就沒(méi)有第三次追及了。

筆者認(rèn)為原文作者的遷移能力和聯(lián)想能力非常高超，但是解題思路及決策路線(xiàn)存在瑕疵。

眾所周知，在解決應(yīng)用題時(shí)，首要任務(wù)就是審題，將題干中涉及的信息一字一字讀清楚，不漏放任何一個(gè)細(xì)節(jié)和任何一個(gè)邏輯關(guān)鍵詞。就本題而言，由于原文作者和學(xué)生在列方程時(shí)本身就審題不到位，忽略了題干中能夠影響和左右解題思路和問(wèn)題走向的關(guān)鍵詞“最少”，這是一個(gè)邏輯關(guān)聯(lián)詞，限定了答案的范圍，但是可惜被無(wú)視了。于是原文作者和學(xué)生就稀里糊涂得出兩個(gè)答案，而且作了一番驗(yàn)算后，發(fā)現(xiàn)兩個(gè)答案都是正確的，而且無(wú)懈可擊、無(wú)法駁倒。他們沒(méi)有用發(fā)展變化聯(lián)系的眼光來(lái)看待兩個(gè)答案，把它們看成是孤立存在的，從而引發(fā)了為什么會(huì)有不同但是都正確的答案的疑惑。

實(shí)際上，從該題“當(dāng)用戶(hù)每月上網(wǎng)流量最少是多少G時(shí)，兩種方案征收的費(fèi)用相等”中，就可以敏銳判斷出無(wú)線(xiàn)流量服務(wù)費(fèi)相等的流量節(jié)點(diǎn)至少有兩個(gè)，否則邏輯關(guān)聯(lián)詞“最少”就是廢話(huà)。而數(shù)學(xué)語(yǔ)言的凝練簡(jiǎn)潔告訴我們，這種決定問(wèn)題走向影響解題大勢(shì)的邏輯關(guān)聯(lián)詞是不會(huì)輕易出現(xiàn)的，事出必有因，所以當(dāng)學(xué)生求得流量達(dá)到160 G時(shí)流量費(fèi)相等，教師就應(yīng)該敏銳覺(jué)察到此時(shí)的流量節(jié)點(diǎn)超過(guò)了方案一的固定流量，而沒(méi)有達(dá)到方案二的固定流量。也就是說(shuō)，方案一加收超額流量費(fèi)后，方案二還是保底消費(fèi)，也就是方案一的超額收費(fèi)追平方案二的定額收費(fèi)，而在前期雙方都未達(dá)到節(jié)點(diǎn)時(shí)，發(fā)現(xiàn)方案一的收費(fèi)無(wú)論如何都不可能與方案二的收費(fèi)相等（40<60），此時(shí)就應(yīng)該推斷出160 G是首次追平的流量節(jié)點(diǎn)，那么還存在第二次追平，就是月使用流量超過(guò)方案二的固定流量（200 G）后，方案二的收費(fèi)就會(huì)逆勢(shì)上漲（因?yàn)?.3元>0.2元）。教師引導(dǎo)學(xué)生尋求流量費(fèi)用相等的另外一個(gè)流量節(jié)點(diǎn)，這個(gè)流量節(jié)點(diǎn)預(yù)判出現(xiàn)在200 G后，再通過(guò)比較得出最少的流量節(jié)點(diǎn)，而不是在學(xué)生誤打誤撞得出答案后討論為什么會(huì)有不同但是都正確的答案。這個(gè)問(wèn)題本身就很幼稚，也容易誤導(dǎo)學(xué)生，出現(xiàn)“一問(wèn)兩答”的尷尬局面。

由此可見(jiàn)，原文作者在指導(dǎo)學(xué)生解決問(wèn)題時(shí)審題嚴(yán)重不過(guò)關(guān)且敷衍。如果按原文作者的做法，那么在學(xué)生獨(dú)立解決該問(wèn)題時(shí)，當(dāng)求出一個(gè)流量費(fèi)用相等的流量節(jié)點(diǎn)后就不可能再分析是否有流量費(fèi)用相等的其他的流量節(jié)點(diǎn)，因?yàn)楦鶕?jù)答案的唯一性，求出一個(gè)流量節(jié)點(diǎn)就算大功告成。毫無(wú)疑問(wèn)，這不僅會(huì)讓學(xué)生養(yǎng)成麻痹大意的習(xí)慣，還容易制造錯(cuò)解。

因?yàn)橐馔獬霈F(xiàn)了兩個(gè)答案，才引起教師的重視，去深入探究這個(gè)問(wèn)題，但是這種探究其實(shí)是沒(méi)有必要的，甚至將簡(jiǎn)單問(wèn)題復(fù)雜化，這種復(fù)雜的雙線(xiàn)變化問(wèn)題，明顯已經(jīng)超綱，而且也不符合分段收費(fèi)教學(xué)的真正目標(biāo)定位。造成這種被動(dòng)局面的原因是審題不嚴(yán)，教師沒(méi)有把握好這類(lèi)題目的關(guān)鍵命門(mén)。題中說(shuō)到的“最少”其實(shí)已經(jīng)指明了方向，學(xué)生只要對(duì)比分析出：方案一收費(fèi)模式的基礎(chǔ)額度低于方案二的，起步價(jià)也低于方案二的，而且增速也低于方案二的。如此一來(lái)，在方案一收費(fèi)模式的增長(zhǎng)階段和方案二收費(fèi)模式的停滯階段，也就是60 G和200 G之間，必有一個(gè)交匯點(diǎn)，這個(gè)交匯點(diǎn)就是最小值，因?yàn)榇藭r(shí)方案二是保底收費(fèi)，只能是方案一去追平方案二的收費(fèi)，而方案二的收費(fèi)無(wú)法降至與方案一收費(fèi)相等。

三、折線(xiàn)統(tǒng)計(jì)圖的啟用

筆者佩服原文作者豐富的想象力，在確定是否還有其他流量費(fèi)用相等的流量節(jié)點(diǎn)時(shí)，腦洞大開(kāi)地把該問(wèn)題類(lèi)比遷移成“追及問(wèn)題”模型，從而讓學(xué)生在直觀(guān)的行程問(wèn)題中類(lèi)推揣摩，明白除了上面兩個(gè)答案，絕無(wú)第三個(gè)答案的可能。

但是這種遷移類(lèi)比是要以學(xué)生對(duì)追及問(wèn)題爛熟于心為前提的，而教材沒(méi)有單設(shè)這一內(nèi)容，教材中只有行程問(wèn)題中的相遇問(wèn)題，鮮有提及追及問(wèn)題，追及問(wèn)題只是課后的拓展內(nèi)容。如果學(xué)生對(duì)“追及問(wèn)題”本身就一知半解，或者印象模糊，那么也就不可能想象出追及問(wèn)題的情境。更何況課外教輔中追及問(wèn)題的變形變式很多，很多編者將追及問(wèn)題中的追及過(guò)程編寫(xiě)得曲折離奇，其過(guò)程復(fù)雜多樣，所以筆者認(rèn)為讓學(xué)生通過(guò)追及問(wèn)題來(lái)對(duì)照理解只有兩個(gè)流量費(fèi)用相等的流量節(jié)點(diǎn)還是有困難的。那么如何讓學(xué)生明白流量費(fèi)用相等的流量節(jié)點(diǎn)只有這兩個(gè)呢？筆者認(rèn)為折線(xiàn)圖是首選。

觀(guān)察分析折線(xiàn)圖可以直觀(guān)地發(fā)現(xiàn)：表示方案一的折線(xiàn)與表示方案二的折線(xiàn)在160 G和280 G這兩個(gè)坐標(biāo)處匯合。對(duì)照縱坐標(biāo)可以看出，這兩種方案在160 G和280 G時(shí)流量費(fèi)用相等，第一次是60元，第二次高于60元。流量超過(guò)280 G后，兩條折線(xiàn)的差距越拉越大，從趨勢(shì)上看漸行漸遠(yuǎn)，不可能再交匯，所以流量費(fèi)用相等的流量節(jié)點(diǎn)只有兩個(gè)。

通過(guò)復(fù)式折線(xiàn)圖還容易看出流量少于160 G時(shí)，方案一的流量費(fèi)用一直少于方案二的;流量處于160 G和280 G之間時(shí)，方案一的流量費(fèi)用反超方案二的流量費(fèi)用;流量多于280 G時(shí)，方案一的流量費(fèi)用又處于劣勢(shì)，方案二的流量費(fèi)用逆勢(shì)而上。兩種方案費(fèi)用的對(duì)比“反轉(zhuǎn)再反轉(zhuǎn)”，所以作為天翼手機(jī)用戶(hù)，如果每月流量少于160 G或多于280 G，選擇方案一比較劃算，而流量恰在160 G與280 G之間，那么選擇方案二比較劃算，這樣不僅保留原有情境，還讓學(xué)生在回顧和起用舊知復(fù)式折線(xiàn)統(tǒng)計(jì)圖的同時(shí)，進(jìn)一步體驗(yàn)到復(fù)式折線(xiàn)統(tǒng)計(jì)圖能反映多組數(shù)據(jù)對(duì)比高低和變化趨勢(shì)的特性，逐漸形成分類(lèi)討論和分段計(jì)費(fèi)思想以及數(shù)形結(jié)合的思想。

將收費(fèi)問(wèn)題轉(zhuǎn)化成追及問(wèn)題，似乎只有通過(guò)折線(xiàn)統(tǒng)計(jì)圖才能展現(xiàn)出來(lái)，這種直觀(guān)的手段可以很好地揭示出兩個(gè)變量的對(duì)應(yīng)關(guān)系，但是如果從問(wèn)題本身的角度出發(fā)，這種做法似乎又增加了思考難度，因?yàn)閷W(xué)生必須清楚地理解數(shù)量關(guān)系才能成功繪制出復(fù)式折線(xiàn)統(tǒng)計(jì)圖。而繪制復(fù)式折線(xiàn)統(tǒng)計(jì)圖的難點(diǎn)在于學(xué)生要相對(duì)準(zhǔn)確地把握各個(gè)量的大致差距以及增長(zhǎng)性收費(fèi)的增長(zhǎng)率，也就是折線(xiàn)的斜率，這些都需要學(xué)生對(duì)數(shù)據(jù)變化有敏銳的洞察力和判斷力，而如果學(xué)生真有這種分析力，那么脫離折線(xiàn)統(tǒng)計(jì)圖同樣也能找到正解。

綜上所述，習(xí)題是訓(xùn)練學(xué)生思辨力的主陣地，教師在指導(dǎo)學(xué)生解決問(wèn)題的過(guò)程中，要事前作好規(guī)劃和決策，培養(yǎng)學(xué)生的審題能力和分析能力，總攬全局，科學(xué)籌劃，這樣才能提高學(xué)生對(duì)問(wèn)題的解決能力。

[ 參 考 文 獻(xiàn) ]

[1] 鄭保華.小學(xué)數(shù)學(xué)“問(wèn)題解決”教學(xué)的優(yōu)化策略[J].數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2021（04）.

[2] 劉春風(fēng).優(yōu)化小學(xué)數(shù)學(xué)解決問(wèn)題的教學(xué)策略[J].基礎(chǔ)教育研究，2019（06）.

[3] 苗培林.小學(xué)數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的優(yōu)化策略[J].教書(shū)育人，2017（28）.

（責(zé)編 吳美玲）