Markov切換時(shí)滯基因調(diào)控網(wǎng)絡(luò)的均方同步和隨機(jī)無(wú)源同步*

曹 娟， 任鳳麗

（南京航空航天大學(xué) 數(shù)學(xué)系，南京 210016）

引 言

基因調(diào)控網(wǎng)絡(luò)是由DNA、RNA、蛋白質(zhì)和其他小分子相互作用組成的網(wǎng)絡(luò).探索基因調(diào)控網(wǎng)絡(luò)的動(dòng)力學(xué)行為對(duì)于揭示生物體內(nèi)控制基因表達(dá)的機(jī)制具有重要作用.基因調(diào)控網(wǎng)絡(luò)的微分方程模型可以描述蛋白質(zhì)和mRNA 的濃度變化，能夠凸顯生物系統(tǒng)的非線性動(dòng)力學(xué)行為，因而得到了廣泛研究.Chen 等[1]首次提出了一個(gè)具有常時(shí)滯的基因調(diào)控網(wǎng)絡(luò)模型，得到了該網(wǎng)絡(luò)穩(wěn)定的充分必要條件.文獻(xiàn)[2-5]主要分析了隨機(jī)基因調(diào)控網(wǎng)絡(luò)的穩(wěn)定性，并給出了相關(guān)結(jié)果.文獻(xiàn)[6-8]研究了隨機(jī)基因振蕩網(wǎng)絡(luò)的同步問(wèn)題.Ren 等[9]應(yīng)用分?jǐn)?shù)階Lyapunov 方法，得出了分?jǐn)?shù)階基因調(diào)控網(wǎng)絡(luò)實(shí)現(xiàn)Mittag-Leffler 穩(wěn)定和廣義Mittag-Leffler 穩(wěn)定的條件.Qian等[10]研究了帶時(shí)滯的分?jǐn)?shù)階基因調(diào)控網(wǎng)絡(luò)的有限時(shí)間同步，與文獻(xiàn)[11-14]相比，他們考慮的系統(tǒng)不具有隨機(jī)擾動(dòng).

自然界或工程應(yīng)用中經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)受外部隨機(jī)擾動(dòng)的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)，復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)也會(huì)因網(wǎng)絡(luò)環(huán)境的不確定性如環(huán)境噪聲、隨機(jī)故障、受到外部攻擊等表現(xiàn)出隨機(jī)特性.各類隨機(jī)現(xiàn)象對(duì)于系統(tǒng)性能會(huì)造成較大影響.如在游戲開(kāi)發(fā)領(lǐng)域，簡(jiǎn)單的數(shù)據(jù)同步也會(huì)使網(wǎng)絡(luò)發(fā)生延遲和抖動(dòng)，產(chǎn)生卡頓或瞬移等現(xiàn)象，因此分析游戲環(huán)境，設(shè)計(jì)網(wǎng)絡(luò)隨機(jī)同步的優(yōu)化算法顯得尤為重要.對(duì)于基因調(diào)控網(wǎng)絡(luò)的隨機(jī)同步問(wèn)題，可以轉(zhuǎn)化為穩(wěn)定性問(wèn)題，從而研究基因調(diào)控網(wǎng)絡(luò)的隨機(jī)均方同步.結(jié)合控制論中的無(wú)源理論，可以進(jìn)一步分析基因調(diào)控網(wǎng)絡(luò)的隨機(jī)無(wú)源同步，以挖掘更多關(guān)于網(wǎng)絡(luò)中個(gè)體的未來(lái)狀態(tài)和網(wǎng)絡(luò)拓?fù)淙肿兓?

鑒于此，本文研究了具有Markov 切換的時(shí)滯基因調(diào)控網(wǎng)絡(luò)均方同步和隨機(jī)無(wú)源性問(wèn)題，建立了網(wǎng)絡(luò)實(shí)現(xiàn)均方同步和無(wú)源的充分條件，并給出數(shù)值例子和仿真，驗(yàn)證了所得結(jié)論的可行性和有效性.本文的主要貢獻(xiàn)如下：

1)考慮到網(wǎng)絡(luò)通信往往具有隨機(jī)特征，例如隨機(jī)丟包等，本文基于隨機(jī)系統(tǒng)方法研究了隨機(jī)基因調(diào)控網(wǎng)絡(luò)，而文獻(xiàn)[1,9-10,15]未考慮基因調(diào)控系統(tǒng)的隨機(jī)特征；

2)揭示了時(shí)變時(shí)滯對(duì)基因調(diào)控網(wǎng)絡(luò)性能產(chǎn)生的影響，而文獻(xiàn)[1-3,5,9-14]未考慮時(shí)滯或只考慮了常數(shù)時(shí)滯；

3)針對(duì)隨機(jī)Markov 切換基因調(diào)控系統(tǒng)，在均方意義下給出同步和無(wú)源性分析，而文獻(xiàn)[1-3,9-14]未考慮Markov 切換特征.

1 預(yù)備知識(shí)

首先考慮一個(gè)簡(jiǎn)單的基因調(diào)控網(wǎng)絡(luò)：

其中t≥0，i,j∈N={1,2,···,n}，mi(t)∈R+和pi(t)∈R+分 別指第i個(gè)基因mRNA 和蛋白質(zhì)的濃度，參數(shù)ai>0和ci>0是 mRNA 和蛋白質(zhì)的降解率，di>0是 翻譯率.矩陣W=(wi j)∈Rn×n是該基因調(diào)控網(wǎng)絡(luò)的耦合矩陣，具體定義如下：

fj(pj(t))是 蛋白質(zhì)對(duì)轉(zhuǎn)錄的反饋調(diào)節(jié)，用Michaelis-Menten 或Hill 形式來(lái)描述.是有界常數(shù)，指時(shí)刻t轉(zhuǎn) 錄基因j到基因i的 轉(zhuǎn)錄率，Ii是 所有抑制基因i的 基因j的集合.

在實(shí)際應(yīng)用中，時(shí)滯的存在不可避免地會(huì)影響神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的動(dòng)態(tài)行為，所以具有時(shí)滯影響的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)穩(wěn)定性的研究受到了廣泛關(guān)注[14].相較于常時(shí)滯，時(shí)變時(shí)滯會(huì)給所考慮的網(wǎng)絡(luò)帶來(lái)更大的復(fù)雜性[15].同時(shí)，信息的轉(zhuǎn)錄過(guò)程以及相應(yīng)的化學(xué)反應(yīng)都需要充足的時(shí)間.考慮時(shí)變時(shí)滯，該GRN 變成

對(duì)于驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)(7)，相應(yīng)響應(yīng)系統(tǒng)如下：

設(shè)誤差emi(t)=xi(t)?mi(t)，epi(t)=yi(t)?pi(t).驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)(7)和響應(yīng)系統(tǒng)(8)之間的誤差動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)如下：

下面引入記號(hào)：

因此，所得向量形式誤差系統(tǒng)為

2 主要結(jié)果

本節(jié)將研究帶時(shí)變時(shí)滯和Markov 跳躍參數(shù)的兩個(gè)SGRNs(7)和(8)的均方隨機(jī)同步問(wèn)題，并給出系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)同步的充分條件.=0且>0， 則fj(·)稱 作Lurie 型函數(shù).若=0，則假設(shè)1 可改寫(xiě)為

若假設(shè)1 中

即fj是一個(gè)Lipschitz 型函數(shù).

下面給出與上述兩種情況相對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)(7)和(8)的同步結(jié)果.

定理1假設(shè)時(shí)變時(shí)滯h(t) 和 函數(shù)f(·)分別滿足條件(5)和(12)，則驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)(7)和相應(yīng)的響應(yīng)系統(tǒng)(8)實(shí)現(xiàn)均方同步，若存在正定矩陣P1k,P2k,Q1,Q2,Q3,R1， 正定對(duì)角矩陣S1,S2使得如下的對(duì)稱線性矩陣不等式對(duì)于所有的k∈S成立：

其中

證明考慮如下的Lyapunov-Krasovskii 泛函(LKF)：

其中P1k,P2k,Q1,Q2,Q3,R1是未知對(duì)稱正定矩陣.

其中 L 表示擴(kuò)散算子，并且

由引理2 和條件(12)可知

其中S1和S2是 正定對(duì)角矩陣，且L=diag{?1, ?2, ···,?n}.

則由引理3 可得

不等式(16)的最后一項(xiàng)可寫(xiě)成

結(jié)合式(16)～(20)，我們有

其中

下面，對(duì)不等式(15)兩邊同時(shí)取數(shù)學(xué)期望，得到

根據(jù)Lyapunov 穩(wěn)定性理論及定義1，為實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)(11)的均方漸近穩(wěn)定，必須有 E {dV(k,em(t),ep(t))}<0對(duì)所有非零em(t)和ep(t)都成立.

因此， E{dV(k,em(t),ep(t))}<0 對(duì)所有非零em(t)和ep(t) 成 立，意味著要證明 LV(k,em(t),ep(t))<0，這可以實(shí)現(xiàn)，當(dāng)且僅當(dāng)

由于不等式(23)是非線性的，應(yīng)用Schur 補(bǔ)引理[2]可得不等式(13).

與文獻(xiàn)[14]中定理1 的證明類似，我們可得 l imt→∞E(‖emi(t)‖2+‖epi(t)‖2)=0.因此系統(tǒng)(11)實(shí)現(xiàn)均方漸近穩(wěn)定，這意味著系統(tǒng)(7)和(8)實(shí)現(xiàn)均方隨機(jī)同步.定理1 證畢.□

注1假定函數(shù)fj(·)滿足假設(shè)1，則相應(yīng)的系統(tǒng)(7)和(8)之間均方隨機(jī)同步條件可以通過(guò)如下的Lyapunov-Krasovskii 泛函(LKF)構(gòu)造出來(lái)：

現(xiàn)據(jù)假設(shè)，存在正定對(duì)角矩陣Z1和Z2使得

如下定理給出了上述情形下，均方隨機(jī)同步的漸近條件.

式(23)兩邊對(duì)t從 0 到tp積 分，并考慮初始條件V(r0,em(0),ep(0))=0，可得不等式

故由定義2，結(jié)論得證.□

注2本文所考慮的問(wèn)題與現(xiàn)有基因調(diào)控網(wǎng)絡(luò)相關(guān)文獻(xiàn)內(nèi)容相比，有以下幾個(gè)方面不同：

① 本文同時(shí)考慮內(nèi)部和外部擾動(dòng)，即考慮具有Brown 運(yùn)動(dòng)ω (t) 和 Markov 切換η (t)的基因調(diào)控網(wǎng)絡(luò)；

② 本文對(duì)轉(zhuǎn)錄函數(shù)f(·)提出了兩種假設(shè)，即Lurie 型(式(5))和Lipschitz 型(式(12))，并分別給出了在每種假設(shè)下系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)均方同步的充分條件；

③ 本文不僅研究了驅(qū)動(dòng)響應(yīng)系統(tǒng)的均方同步，還研究了隨機(jī)無(wú)源同步問(wèn)題.

注3 與文獻(xiàn)[4]中的定理1 對(duì)比，本文并未施加對(duì)于噪聲強(qiáng)度的限制，并且本文的定理1 或2 可以使得該Markov 基因調(diào)控網(wǎng)絡(luò)實(shí)現(xiàn)均方隨機(jī)同步.與文獻(xiàn)[8]中的定理1 相比，本文對(duì)于轉(zhuǎn)錄函數(shù)和時(shí)變時(shí)滯的限制更嚴(yán)格，需要有大于0 的某個(gè)下界，但定理3 中需存在的正定矩陣未要求其具有模式依賴性，更利于實(shí)現(xiàn)均方意義下的無(wú)源同步.

3 數(shù)值仿真

考慮具有兩種跳躍模式的網(wǎng)絡(luò)(11)，參數(shù)描述如下：

模式1

模式2

圖1～4 給出了系統(tǒng)(11)的狀態(tài)軌道，而圖5 給出了對(duì)應(yīng)轉(zhuǎn)移概率矩陣Q的Markov 鏈r(t)的切換行為.由該數(shù)值仿真可清晰地看出，子系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)了均方漸近同步和隨機(jī)無(wú)源同步.

圖1 第一個(gè)基因mRNA 濃度誤差Fig.1 The error state of mRNA concentration of the 1st gene

圖2 第二個(gè)基因mRNA 濃度誤差Fig.2 The error state of mRNA concentration of the 2nd gene

圖5 Markov 鏈的切換模式Fig.5 The evolutionary process of Markovian switching

4 結(jié) 論

本文研究了具有Markov 切換的時(shí)變時(shí)滯基因調(diào)控網(wǎng)絡(luò)的均方同步和隨機(jī)無(wú)源同步問(wèn)題，在轉(zhuǎn)錄函數(shù)為L(zhǎng)urie 型和Lipschitz 型的情況下，通過(guò)構(gòu)造恰當(dāng)?shù)腖-K 泛函，分別得到驅(qū)動(dòng)響應(yīng)系統(tǒng)達(dá)到均方同步的充分判據(jù).特別地，轉(zhuǎn)錄函數(shù)為L(zhǎng)ipschitz 型的情形時(shí)，還給出該結(jié)構(gòu)的隨機(jī)無(wú)源同步結(jié)果.通過(guò)與相關(guān)文獻(xiàn)對(duì)比可知，本文的模型更具有一般性和實(shí)際意義.最后給出了一個(gè)仿真實(shí)例，驗(yàn)證獲得結(jié)論的有效性.進(jìn)一步地，我們可以分析帶Lévy 噪聲項(xiàng)的Markov 切換時(shí)滯基因調(diào)控網(wǎng)絡(luò)的相應(yīng)隨機(jī)同步問(wèn)題.