怎樣巧用橢圓的定義解題

陸凱

橢圓的定義主要包括第一定義、第二定義以及第 三定義.在解答有關(guān)橢圓的問題時，靈活地運用這三個 定義，能有效地簡化運算，提升解題的效率.這就要求 我們深入研究橢圓的三個定義，探究其內(nèi)涵和外延， 將其靈活地應(yīng)用于解題中.

一、巧用橢圓的第一定義解題

若在平面內(nèi)有兩個定點 F1 、F2 ，動點 P 到這兩 個定點之間的距離之和等于定值 2a（大于 |F | 1F2 ），那 么動點的軌跡方程就是橢圓，該定義為橢圓的第一定 義.這里， P 為橢圓上的任意一點，兩個定點分別為橢 圓的焦點，記 |F | 1F2 = 2c .由該定義可以得出 | PF | 1 + | PF | 2 = 2a .若問題中涉及橢圓上一點到兩定點之間的 距離，如有關(guān)焦點三角形、焦半徑的問題，我們就可以 根據(jù)橢圓的第一定義，建立關(guān)于焦半徑 | PF | 1 、| PF | 2 的關(guān)系式，從而使問題順利獲解.

例1.若 P 是橢圓 x 2 a2 + y2 b 2 = 1（a > b > 0） 上的任意一 點，F(xiàn)1 、F2 為橢圓的焦點，以 PF2 為直徑作圓 M ，證 明：圓 M 必定與圓 x 2 + y2 = a2 相切

我們只要抓住關(guān)鍵信息： PF2 為圓的直徑，PF1 是 橢圓的焦半徑，根據(jù)橢圓的第一定義，建立關(guān)系式： | PF | 1 + | PF | 2 = 2a ，便可根據(jù)圓的性質(zhì)和三角形中位線 的性質(zhì)證明結(jié)論.

二、巧用橢圓的第二定義解題

若動點 M 到定點 F 的距離，與其到定直線 l 的距 離之比是一個常數(shù) e = c a（e < 1） ，則點 M 的軌跡是橢圓. 這個定義是橢圓的第二定義，其中定點 F 為橢圓的焦 點、定直線 l 為橢圓的準線，常數(shù) e 為橢圓的離心率. 若已知橢圓上動點到準線的距離，或已知動點的軌跡是橢圓，就可以根據(jù)橢圓的第二定義建立動點到定點 的距離以及動點到定直線的距離之間的關(guān)系式.

例2.若方程 m（x ） 2 + y2 + 2y + 1 =（x - 2y + 3） 2 表示 橢圓，則 m 的取值范圍是 .

變形后的方程可看作橢圓上動點 （x，y） 到定點 （0，1） 和定直線 l：x - 2y + 3 = 0 的距離之比.根據(jù)橢圓的 第二定義可知 e= 5 m ，而橢圓的離心率 e ∈（0，1） ，據(jù)此 即可求得 m 的取值范圍.

三、巧用橢圓的第三定義解題

若平面內(nèi)的動點 P 與兩定點連線的斜率之積等 于常數(shù) e 2 - 1（e ∈（0，1）） ，則動點 P 的軌跡是橢圓.該定義 為橢圓的第三定義，其中的兩個定點是橢圓的焦點，e 是離心率.若已知動點與橢圓的兩焦點連線的斜率之 積，就可以判定該動點的軌跡方程是橢圓，建立關(guān)于 e 的關(guān)系式即可解題.

例3.在 ?ABC 中，B（6，0），C（0，-6），且 k AB?k AC =- 4 9 ， 求頂點 A 的軌跡方程.

由kAB?kAC = - 4 9 ，可聯(lián)想到橢圓的第三定義，于是 將 B、C 看作橢圓的焦點，將 A 看作橢圓上的動點，根 據(jù)橢圓的第三定義，建立關(guān)系式 e 2 - 1 = - 4 9 ，便可求得 橢圓的方程.

總之，我們不僅要熟悉橢圓的三個定義，還要善于 挖掘題目中的隱含條件，尋找與焦點、準線、過焦點的 直線的斜率有關(guān)的信息，將其與三個定義關(guān)聯(lián)起來， 這樣才能靈活地運用橢圓的三個定義去解題.

（作者單位：江蘇省鹽城市龍岡中學(xué)）