解答數(shù)列最值問題的三種措施

王麗君

數(shù)列最值問題往往具有較強的綜合性，常與函數(shù)、不等式、平面幾何、向量等知識相結(jié)合.求解數(shù)列最值問題，需先運用等差和等比數(shù)列的通項公式、性質(zhì)、前 n 項和公式求得并化簡目標式，然后采用合適的措施求其最值.那么，有哪些措施呢？下面結(jié)合實例予以介紹.

一、利用數(shù)列的單調(diào)性

數(shù)列作為一種特殊的函數(shù)，具有單調(diào)性.如同求函數(shù)最值問題的思路一樣，可以先判斷出數(shù)列的單調(diào)性，然后根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性來求最值.判斷數(shù)列的單調(diào)性，往往要將數(shù)列的前后項 an 、an +1相減或相除，以比較前后項之間的大小關(guān)系，若 an > an +1 ，則函數(shù)單調(diào)遞減；若an < an +1 ，則函數(shù)單調(diào)遞增.

解答本題，要先根據(jù)等比數(shù)列的前 n 項和公式求得 bn 的表達式；然后將 bn +1、bn 作商，從而判斷出數(shù)列的單調(diào)性；再根據(jù)n 的取值情況和數(shù)列的單調(diào)性，找出數(shù)列的最大項.利用數(shù)列的單調(diào)性是求解數(shù)列最值問題的簡便方法之一.

二、運用基本不等式

基本不等式是解答最值問題的一種重要方法.在求解數(shù)列最值問題時，可將目標式化為兩項之和或積的形式，并使其中之一為定值，便可根據(jù)基本不等式求得目標式的最值.在運用基本不等式求最值時，還需要確?！耙徽薄岸ā薄叭嗟取钡臈l件成立.

例2.設(shè) bn =2n ，試求 f（n）=（n ∈ N ）?的最大值.

變形后的目標式的分母中含有 n、兩式的和，且其積為定值，而兩式都為正數(shù)，可以運用基本不等式求最值.需要注意的是，在求得最值后，還要檢驗等號成立的條件是否滿足題目要求.

三、數(shù)形結(jié)合

由于數(shù)列是一種較為特殊的函數(shù)，而函數(shù)有數(shù)與形的雙重特征，所以在求解數(shù)列最值問題時，可畫出數(shù)列的圖形，通過數(shù)形結(jié)合來求最值.值得說明的是，數(shù)列的圖形是由一些孤立的點構(gòu)成的，因為其定義域為 N .在圖形上找到一些臨界的位置，如最高點、最低點、切點、交點等，據(jù)此建立關(guān)系式，即可解題.

解答數(shù)列最值問題，要仔細研究數(shù)列的特點、規(guī)律、性質(zhì)，從不同方向與角度進行思考，力求尋找到最簡便的方法，以達到高效解題的目的.

（作者單位：江蘇省包場高級中學(xué)）