如何求解平面向量的數(shù)量積問題

張衡

平面向量的數(shù)量積問題的命題形式主要有三種：（1）根據(jù)已知的平面向量和夾角，求兩個向量的數(shù)量積；（2）根據(jù)已知向量的數(shù)量積，求向量的模、夾角；（3）根據(jù)已知的平面向量和夾角，求平面向量的模或數(shù)量積的取值范圍.平面向量的數(shù)量積問題，主要考查平面向量的運算法則、數(shù)量積定義、模長公式的應(yīng)用.下面，筆者介紹求解平面向量的數(shù)量積問題的三種途徑.

一、利用數(shù)量積的定義

若已知兩個向量與 ，則它們的數(shù)量積 ?就是其中一個向量的模與另一個向量在該向量的方向上的投影的乘積，即 ?=?cos θ，其中θ為向量與的夾角.運用平面向量的數(shù)量積定義解題，往往要先求得兩個向量的模；然后根據(jù)兩個向量的位置和方向，明確其夾角是銳角、直角，還是鈍角.當(dāng)兩個向量的夾角為銳角時，向量的數(shù)量積為正值；當(dāng)兩個向量的夾角為鈍角時，其值為負(fù)值；當(dāng)兩個向量的夾角為直角時，其值為零.

二、選用合適的基底

對于一些涉及幾何圖形的數(shù)量積問題，如果不 易求出所求向量的模長及其夾角，就可以根據(jù)圖形 的特點和題意尋找一組基底，并用這組基底表示出 所求向量及其數(shù)量積.通?？蓪⒁阎：蛫A角的向量 作為基底.若幾何圖形為直角三角形、矩形、等邊三角 形等，則可將這些幾何圖形的相 鄰兩條邊所在的向量作為基底.

三、建立坐標(biāo)系

一般地，若 =（x1 ，y1）， =（x2 ，y2），則兩個向量、 的數(shù)量積· = x1 x2+ y1 y2.有些幾何圖形中含有互相垂直的兩條直線，或為規(guī)則圖形，如長方形、正方形、等邊三角形、圓等，此時可根據(jù)圖形的特點，將兩條互相垂直的直線當(dāng)作坐標(biāo)軸，來建立平面直角坐標(biāo)系，再利用向量的坐標(biāo)形式表示出各個向量，通過向量的坐標(biāo)運算來求得向量的數(shù)量積.

例3.已知向量 ，? ，? 滿足||=||=2，||=1，（- ）·（- ）=0，則|- |的最大值是_______．

上述兩種解法都用到了坐標(biāo)系法，都需根據(jù)題意 構(gòu)造以 O 為圓心、2為半徑的圓，并以 O 為原點，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖4所示.再分別采用不同的形式設(shè) A、B、C 的坐標(biāo)，利用數(shù)量積的坐標(biāo)形式，并通過坐標(biāo)運算求得|- |的表達(dá)式和最值.在建立直角坐標(biāo)系時，往往需注意尋找或構(gòu)造相互垂直的兩條直線，這就需重點關(guān)注：（1）圖形中的直角，如直角梯形、直角三角形、矩形的直角；（2）可構(gòu)成垂直關(guān)系的直線，如圓的對稱軸、線段的中垂線等.

無論是運用定義法、基底法還是坐標(biāo)法來求解向量的數(shù)量積問題，我們都需熟練運用向量的運算法則、數(shù)量積的定義，靈活運用數(shù)形結(jié)合思想來輔助解題.因此，同學(xué)們在日常的學(xué)習(xí)中，需夯實基礎(chǔ)，學(xué)會靈活運用向量中的基本知識、方法和數(shù)學(xué)思想.

（作者單位：江蘇省揚州市新華中學(xué)）