一種更加嚴(yán)密的GNSS臺(tái)站位移熱彈性效應(yīng)模型

方 柳 明 鋒 任紅飛

1 地理信息工程國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，西安市雁塔路中段1號(hào)，710054 2 西安測(cè)繪研究所，西安市雁塔路中段1號(hào)，710054

GNSS坐標(biāo)時(shí)間序列中包含各種因素引起的非線性變化，如何定量分析和有效分離不同因素對(duì)時(shí)間序列非線性變化的影響，是GNSS坐標(biāo)時(shí)間序列分析領(lǐng)域的熱點(diǎn)和難點(diǎn)之一。GNSS坐標(biāo)時(shí)間序列中的非線性變化可分為3類：一是虛假的非線性變化，主要由GNSS數(shù)據(jù)處理模型不完善或其他系統(tǒng)誤差引起，如GNSS交點(diǎn)年周期誤差、天線相位中心模型誤差等[1-4]；二是真實(shí)的基準(zhǔn)站非線性運(yùn)動(dòng)，如海洋及大氣潮汐、環(huán)境負(fù)載、基巖及觀測(cè)墩熱膨脹效應(yīng)等[5-8]；三是其他未知因素引起的形變。其中，包括基準(zhǔn)站天線觀測(cè)墩及其所在基巖在內(nèi)的熱彈性形變是時(shí)間序列中非線性信號(hào)的貢獻(xiàn)源之一。

通常情況下，GNSS觀測(cè)墩的一端會(huì)直接固連在基巖上或具有穩(wěn)定結(jié)構(gòu)的建筑物頂端，常見(jiàn)的觀測(cè)墩材質(zhì)包括水泥(觀測(cè)墩)、鐵(桁架)、鋼(管)、鋁合金(桅桿)等(圖1)。溫度變化對(duì)GNSS臺(tái)站位移的影響可以分為兩個(gè)部分：一是地表溫度變化通過(guò)熱傳遞引起的基巖熱膨脹效應(yīng)，二是GNSS觀測(cè)墩溫度變化引起的熱脹冷縮效應(yīng)[9]。針對(duì)基巖受溫度變化產(chǎn)生的位移，目前有兩種分析方法：基于彈性半空間的熱彈性形變模型[10-11]和基于統(tǒng)一的、三維球體的熱彈性形變模型[12]。針對(duì)觀測(cè)墩的溫度變化，一般的處理方法如下[8]：將空氣溫度變化作為觀測(cè)墩內(nèi)部溫度變化，并且假設(shè)觀測(cè)墩是一維結(jié)構(gòu)，只存在軸向的形變，溫度變化只引起GNSS天線觀測(cè)墩地面以上部分的垂向位移。這種處理方法存在兩個(gè)缺陷：一是觀測(cè)墩并非一維結(jié)構(gòu)，溫度的變化不僅會(huì)引起觀測(cè)墩的垂向位移，還會(huì)引起水平位移；二是目前的線性模型僅考慮觀測(cè)墩地表以上部分的垂向形變，但觀測(cè)墩與基巖的熱傳導(dǎo)系數(shù)等材料參數(shù)并不一致，因此作為一個(gè)整體考慮并不符合實(shí)際?；谏鲜隼碚摚脧椥粤W(xué)及熱彈性力學(xué)相關(guān)理論，對(duì)軸對(duì)稱觀測(cè)墩在一維溫度場(chǎng)下的熱彈性問(wèn)題進(jìn)行分析建模，得到觀測(cè)墩位移的解析解。

圖1 觀測(cè)墩Fig.1 Monument

1 熱彈性形變建模與分析

1.1 基本假定

在進(jìn)行GNSS臺(tái)站位移熱彈性效應(yīng)建模時(shí)，會(huì)用到以下彈性力學(xué)基本假定[13]：連續(xù)性假定、完全彈性假定、均勻性假定、各向同性假定和小變形假定。

1.2 熱彈性形變建模

幾何方程、物理方程和平衡微分方程是彈性力學(xué)的3個(gè)基本方程，其中幾何方程描述位移和應(yīng)變之間的關(guān)系，物理方程描述應(yīng)力和應(yīng)變之間的關(guān)系，平衡微分方程描述應(yīng)力和體力之間的關(guān)系。對(duì)于圓柱形觀測(cè)墩，宜采用柱坐標(biāo)(r,φ,z)確定空間點(diǎn)的位置(圖2)。

圖2 柱坐標(biāo)系Fig.2 Cylindrical coordinate system

空間軸對(duì)稱的幾何方程為[13]：

(1)

式中，u、w為徑向和軸向的位移，εr、εφ、εz、γzr分別為徑向應(yīng)變、環(huán)向應(yīng)變、軸向應(yīng)變和切應(yīng)變。

空間軸對(duì)稱的物理方程為[13]：

(2)

式中，σr、σφ、σz、τzr分別為徑向應(yīng)力、環(huán)向應(yīng)力、軸向應(yīng)力和切應(yīng)力，α為熱膨脹系數(shù)，E為彈性模量，μ為泊松比，T為溫度差。

空間軸對(duì)稱的平衡微分方程為[13]：

(3)

(4)

將觀測(cè)墩地表以上部分與地表以下部分分開(kāi)考慮：

1)對(duì)于觀測(cè)墩地表以上部分(向上為z軸正方向)，假定地表以上部分觀測(cè)墩溫度與地表溫度變化一致(即溫度T是時(shí)間的函數(shù)，與軸向坐標(biāo)z和徑向坐標(biāo)r無(wú)關(guān))，則τzr=0，可將式(4)進(jìn)一步簡(jiǎn)化為：

(5)

邊界條件為：

(6)

式中，l1為觀測(cè)墩地表以上部分的高度，R為觀測(cè)墩半徑。將邊界條件式(6)代入式(5)可得：

(7)

因此，可得地表以上部分觀測(cè)墩產(chǎn)生的垂向位移為：

wabove=αTl1

(8)

2)地表以下部分觀測(cè)墩中的溫度隨深度的分布為[14]：

(9)

觀測(cè)墩地表以下部分的邊界條件為(向下為z軸正方向)：

(10)

(11)

將式(9)和式(10)代入式(11)，可得方程組的解：

(12)

因此，地表以下部分觀測(cè)墩產(chǎn)生的位移為：

(13)

2 模型結(jié)果對(duì)比

彈性半空間模型分析得到的基巖垂向位移[8]為：

(14)

式中，μ1、α1、k1分別為基巖的泊松比、熱膨脹系數(shù)和熱擴(kuò)散系數(shù)。

(15)

(16)

文獻(xiàn)[8]中，觀測(cè)墩頂端的垂向位移為觀測(cè)墩地表以上部分位移wabove與基巖位移wbedrock的和：

(17)

由式(16)和式(17)可知，本文得到的觀測(cè)墩地表以上部分的垂向位移與文獻(xiàn)[8]的結(jié)果一致。對(duì)于觀測(cè)墩地表以下部分，文獻(xiàn)[8]中是將觀測(cè)墩與基巖作為一個(gè)整體考慮，忽略了觀測(cè)墩與基巖的熱擴(kuò)散系數(shù)、熱膨脹系數(shù)和泊松比等參數(shù)的不一致，因此將觀測(cè)墩地表以下部分與基巖分開(kāi)考慮會(huì)更符合實(shí)際。此外，文獻(xiàn)[8]還忽略了觀測(cè)墩的水平位移，由于水平位移會(huì)隨半徑的增大而增大，因此需要將接收機(jī)安裝在圓心處以消除水平位移對(duì)結(jié)果的影響。

表1 材料參數(shù)

圖3 總位移與溫度隨時(shí)間的變化Fig.3 Vertical displacement and temperature varied with time

圖4 本文模型與文獻(xiàn)[8]模型基巖位移對(duì)比Fig.4 The comparison of the bedrock displacement between the models in this paper and the literature [8]

圖5和圖6分別為本文模型與文獻(xiàn)[8]模型地表以下總位移和整體總位移對(duì)比，本文模型地表以下總位移和整體總位移分別比文獻(xiàn)[8]的結(jié)果大55.1%和24.2%。這是因?yàn)楸疚哪Ｐ椭杏^測(cè)墩頂端的垂向位移為觀測(cè)墩地表以上部分位移、地表以下部分位移和基巖部分位移之和，而文獻(xiàn)[8]中觀測(cè)墩頂端的垂向位移僅為觀測(cè)墩地表以上部分位移與基巖位移之和。由于觀測(cè)墩的熱膨脹系數(shù)(12×10-6/℃)比基巖的熱膨脹系數(shù)(6×10-6/℃)大，因此文獻(xiàn)[8]中將觀測(cè)墩與基巖作為一個(gè)整體會(huì)使總位移偏小。

圖5 本文模型與文獻(xiàn)[8]模型地表以下總位移對(duì)比Fig.5 The comparison of vertical underground displacement between the models in this paper and the literature [8]

圖6 本文模型與文獻(xiàn)[8]模型總位移對(duì)比Fig.6 The comparison of vertical displacement between the models in this paper and the literature [8]

3 結(jié) 語(yǔ)

本文基于彈性力學(xué)及熱彈性力學(xué)的相關(guān)理論，通過(guò)公式推導(dǎo)對(duì)軸對(duì)稱觀測(cè)墩在一維溫度場(chǎng)下的熱彈性問(wèn)題進(jìn)行建模與分析，提出一種更加嚴(yán)密的熱彈性模型，用于計(jì)算觀測(cè)墩位移。結(jié)果表明：

1)觀測(cè)墩的垂向位移由觀測(cè)墩及基巖的泊松比、熱膨脹系數(shù)、溫度差和高度共同決定。

2)本文提出的改進(jìn)模型中觀測(cè)墩頂端的垂向位移為觀測(cè)墩地表以上部分位移、地表以下部分位移和基巖部分位移之和，考慮了觀測(cè)墩與基巖材料參數(shù)的不同，相對(duì)于文獻(xiàn)[8]模型更符合實(shí)際，因此能更準(zhǔn)確地估算熱彈性效應(yīng)對(duì)GNSS臺(tái)站位移的影響。