基于寬帶均勻同心球陣列的低復(fù)雜度二維波達(dá)方向估計(jì)算法

陳海華 王沛曌

①(南開(kāi)大學(xué)電子信息與光學(xué)工程學(xué)院 天津 300350)

②(天津市光電傳感器與傳感網(wǎng)絡(luò)技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 天津 300350)

1 引言

波達(dá)方向(Direction Of Arrival, DOA)估計(jì)是陣列信號(hào)處理中的重要問(wèn)題之一，在雷達(dá)、移動(dòng)通信、聲音信號(hào)處理、航空航天和衛(wèi)星通信等領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用[1]。傳統(tǒng)的DOA估計(jì)算法如最大似然估計(jì)(Maximum Likelihood Estimation, MLE)算法[2]、子空間估計(jì)算法及其改進(jìn)算法等至今仍被廣泛應(yīng)用。后者中最具代表性的算法是多重信號(hào)分類(MUltiple SIgnal Classification, MUSIC)算法[3]，以及通過(guò)旋轉(zhuǎn)不變性技術(shù)估計(jì)信號(hào)參數(shù)的方法(Estimating Signal Parameters via Rotational Invariance Techniques, ESPRIT)[4]。

相較于1維DOA估計(jì)方法，2維DOA估計(jì)算法因其可以完成兩個(gè)角度的同步獲取引起了廣泛關(guān)注。大部分2維DOA估計(jì)算法由1維DOA估計(jì)方法擴(kuò)展而來(lái)，如經(jīng)典的2維MUSIC算法[5]，利用入射信號(hào)的2維導(dǎo)向向量與噪聲子空間的正交特性進(jìn)行2維空間譜掃描估計(jì)信號(hào)入射角度。此外，基于酉變換的旋轉(zhuǎn)不變(Unitary-ESPRIT)算法[6]、基于總體最小二乘法的旋轉(zhuǎn)不變(Total Least Squares-ESPRIT, TLS-ESPRIT)算法[7]等，也是由1維ESPRIT算法發(fā)展而來(lái)的。研究表明，大部分基于譜峰搜索的2維DOA方法都具有更高的精度[8]，但其計(jì)算復(fù)雜度相較于1維DOA估計(jì)方法也急劇升高，因而如何降低2維DOA估計(jì)的復(fù)雜度也成了一個(gè)新的課題。針對(duì)此問(wèn)題，文獻(xiàn)[9]提出了一種基于均勻線性陣列的近場(chǎng)源定位降維MUSIC算法。該算法將導(dǎo)向矩陣分解為兩個(gè)參數(shù)矩陣，從而將傳統(tǒng)2維MUSIC問(wèn)題轉(zhuǎn)化為1維優(yōu)化問(wèn)題，并通過(guò)1次1維譜峰搜索及1次配對(duì)算法估計(jì)2維參數(shù)，極大地減少了計(jì)算量。該方法也可應(yīng)用于傳統(tǒng)均勻平面陣列[10]和L型陣列[11]的2維DOA估計(jì)。

上述降維DOA估計(jì)算法均設(shè)定到達(dá)信號(hào)為窄帶信號(hào)。然而在實(shí)際應(yīng)用中，到達(dá)信號(hào)為寬帶信號(hào)的情況也很常見(jiàn)，例如超寬帶通信、語(yǔ)音信號(hào)處理等。寬帶信號(hào)的DOA估計(jì)算法有非相干信號(hào)子空間方法(Incoherent Signal subspace Method,ISM)[12]、相干信號(hào)子空間方法(Coherent Signal subspace Method, CSM)[13]和頻率響應(yīng)不變波束形成器(Frequency Invariant Beamformers, FIB)[14]等方法。在ISM和CSM算法中，利用傅里葉變換把寬帶信號(hào)分解成多個(gè)窄帶信號(hào)后進(jìn)行DOA估計(jì)。而基于FIB的DOA估計(jì)算法首先對(duì)陣列響應(yīng)的頻率特性進(jìn)行補(bǔ)償，得到的陣列響應(yīng)具有頻率響應(yīng)不變特性，因而可以將現(xiàn)有的窄帶DOA估計(jì)算法推廣到寬帶信號(hào)中?；诰鶆蚓€性陣列的FIB采用固定頻率響應(yīng)補(bǔ)償網(wǎng)絡(luò)，可獲得感興趣頻帶內(nèi)某個(gè)特定角度的頻率響應(yīng)不變陣列，用于寬帶信號(hào)的DOA估計(jì)和波束形成[15]。為了改善DOA估計(jì)和波束形成在陣列末端的性能，文獻(xiàn)[16]提出基于均勻圓形結(jié)構(gòu)的FIB陣列，該陣列在360o方位角范圍內(nèi)的性能具有一致性，同時(shí)具備電子旋轉(zhuǎn)特性，并可以離線設(shè)計(jì)頻率響應(yīng)補(bǔ)償網(wǎng)絡(luò)，極大地降低了實(shí)時(shí)計(jì)算復(fù)雜度。為了進(jìn)一步改善DOA估計(jì)和波束形成在仰角末端的性能，可采用具有頻率響應(yīng)不變的均勻同心球陣列(Uniform Concentric Spherical Arrays,UCSA)[17]?；赨CSA的頻率響應(yīng)不變陣列，在整個(gè)空間內(nèi)的性能具有一致性，可應(yīng)用于寬帶信號(hào)2維DOA估計(jì)。

為了降低寬帶信號(hào)2維DOA估計(jì)的計(jì)算復(fù)雜度，本文提出一種基于FI-UCSA的降維MUSIC算法。首先通過(guò)離線設(shè)計(jì)頻率響應(yīng)補(bǔ)償濾波器得到FI-UCSA，該陣列具有近似頻率不變響應(yīng)特性。其次，將補(bǔ)償后的導(dǎo)向向量分解為方位角和仰角相關(guān)的兩個(gè)矩陣，構(gòu)造降維譜函數(shù)。之后，利用1維搜索方法估計(jì)信號(hào)的到達(dá)方位角，并隨之計(jì)算相應(yīng)的仰角。本文提出的寬帶信號(hào)2維DOA降維估計(jì)算法結(jié)合了頻率響應(yīng)不變陣列和降維算法，極大地降低了實(shí)時(shí)計(jì)算復(fù)雜度。理論分析和仿真結(jié)果驗(yàn)證了上述算法的有效性和優(yōu)越性。

2 數(shù)據(jù)模型

圖1 UCSA結(jié)構(gòu)圖

由式(5)可以看出，陣列響應(yīng)基本實(shí)現(xiàn)了頻率響應(yīng)不變特性。此外，本文設(shè)計(jì)的同心球陣列可等效為一個(gè)虛擬平面陣列，且具有電子可旋轉(zhuǎn)特性，即可通過(guò)波束形成系數(shù)的相位改變陣列的主瓣方向，同時(shí)在整個(gè)空間的性能具有一致性。陣列的頻率不變特性可以提高寬帶信號(hào)DOA估計(jì)的性能，降低計(jì)算復(fù)雜度；等效陣列的電子可旋轉(zhuǎn)特性可進(jìn)一步降低DOA估計(jì)的計(jì)算復(fù)雜度并保證各個(gè)角度信號(hào)估計(jì)性能的一致性。

3 低計(jì)算復(fù)雜度降維MUSIC算法

由式(20)和式(24)可知，到達(dá)信號(hào)的方位角和仰角的估計(jì)可避免2維搜索，只需根據(jù)式(20)進(jìn)行1維譜峰搜索，得到方位角的估計(jì)值，再通過(guò)式(24)的配對(duì)計(jì)算，得到相應(yīng)到達(dá)信號(hào)的仰角估計(jì)值。因而，該方法極大地降低了2維DOA估計(jì)的計(jì)算復(fù)雜度。

4 仿真結(jié)果

本節(jié)對(duì)本文所提低復(fù)雜度2維DOA估計(jì)算法進(jìn)行了仿真。在所有仿真結(jié)果中均假設(shè)有D=2個(gè)信號(hào)，到達(dá)角度分別為(θ1,φ1)=(10?,30?), (θ2,φ2)=(25?,45?)，兩個(gè)信號(hào)的頻率范圍均為(0.3π,0.5π)。本文所采取的UCSA共有K=2個(gè)球面，第1個(gè)球面上的陣元個(gè)數(shù)為64個(gè)，由8陣元均勻圓形陣列旋轉(zhuǎn)至8 個(gè)不同仰角得到，因而P1=Q1=8，半徑r?1=0.6。類似地，第2個(gè)球面上P2=Q2=10，半徑r?2=0.8。經(jīng)IDFT后，方位角和仰角上的相位模式個(gè)數(shù)分別取W=7和Z=7。離散步長(zhǎng)即掃描精度設(shè)為Δθ=Δφ=0.25?。每次仿真進(jìn)行N=300次蒙特卡羅實(shí)驗(yàn)。

基于上述FI-UCSA并采用本文提出的低復(fù)雜度2維DOA估計(jì)算法性能如圖5所示。本文采用均方根誤差(Root Mean Square Error, RMSE)作為性能指標(biāo)，即

其中，φ?d,n和θ?d,n分別是在第n次蒙特卡羅實(shí)驗(yàn)中第d個(gè)信號(hào)方位角和仰角的估計(jì)值。作為對(duì)比，本文還對(duì)傳統(tǒng)2維MUSIC算法、ESPRIT算法以及兩種CSM類算法進(jìn)行了仿真。

圖5展示的是DOA估計(jì)的RMSE隨著SNR變化的情況。在此例中，數(shù)據(jù)長(zhǎng)度J=629，共對(duì)上述5個(gè)算法的性能進(jìn)行了比較。其中2維MUSIC算法、本文所提降維低復(fù)雜度MUSIC算法以及ESPRIT算法是在FI-UCSA基礎(chǔ)上進(jìn)行角度估計(jì)的，RSS算法和基于陣列接收數(shù)據(jù)的修正算法是CSM類算法。由圖5可得，本文所提算法與傳統(tǒng)2維MUSIC算法和ESPRIT算法相比性能均有所改善，同時(shí)，由于RSS算法受預(yù)估角度值的影響，因此低信噪比下本文所提算法性能略優(yōu)。而本文所提算法復(fù)雜度僅為5.20×107，相較于傳統(tǒng)2維MUSIC的4.83×109，以及兩種CSM類算法的9.67×108和8.03×108，極大地降低了計(jì)算復(fù)雜度。

圖2 陣列的頻率不變性

圖3 陣列的電子可旋轉(zhuǎn)和空間一致特性

圖4 DOA估計(jì)的分辨率隨SNR的變化

鑒于MUSIC估計(jì)方法是基于譜峰搜索的DOA估計(jì)算法，其精度受掃描步長(zhǎng)影響。相較于兩個(gè)維度均需要按掃描步長(zhǎng)確定角度估計(jì)值的方法，本文所提算法在進(jìn)行第2步仰角估計(jì)時(shí)只需進(jìn)行配對(duì)計(jì)算，無(wú)需再次搜索，因此不受掃描步長(zhǎng)的影響。圖6為角度估計(jì)RMSE受掃描步長(zhǎng)影響的情況。在本次實(shí)驗(yàn)中，掃描步長(zhǎng)Δθ=Δφ=[1?,0.5?,0.25?,0.1?]，信噪比SNR為10 dB。由圖6可以看出，隨著掃描精度的提高，傳統(tǒng)2維MUSIC算法的性能與本文所提算法性能越來(lái)越接近。在低信噪比下，角度估計(jì)受噪聲影響較大，同一個(gè)估計(jì)角度在不同掃描精度下，會(huì)偏向不同的臨近值，因此圖中RMSE值有部分波動(dòng)。在實(shí)際應(yīng)用中，由于掃描精度的提高會(huì)帶來(lái)算法復(fù)雜度的指數(shù)上升，因此需要根據(jù)實(shí)際在掃描精度與算法性能之間取得平衡。

圖5 DOA估計(jì)的RMSE隨SNR的變化

圖7展示了算法性能隨陣列參數(shù)設(shè)定的變化。圖7(a)展示了陣列陣元個(gè)數(shù)對(duì)DOA估計(jì)性能的影響。圖中橫坐標(biāo)P1表示第1個(gè)均勻圓環(huán)上陣元個(gè)數(shù)，而第2個(gè)圓環(huán)上的個(gè)數(shù)P2=P1+2，兩個(gè)均勻圓環(huán)分別旋轉(zhuǎn)Q1=P1和Q2=P2個(gè)角度得到均勻同心球陣列。為了便于比較，本例中方位角和仰角的相位模式個(gè)數(shù)分別取W=5和Z=5。另外，信噪比SNR設(shè)定為15 dB。由圖7(a)可以看出，隨著陣元個(gè)數(shù)的增多，DOA估計(jì)值的RMSE呈下降趨勢(shì)。

圖6 DOA估計(jì)的RMSE隨掃描步長(zhǎng)的變化

圖7 DOA估計(jì)的RMSE隨設(shè)定參數(shù)的變化

由式(4)可知，每個(gè)相位模式下貝塞爾函數(shù)的值由當(dāng)前頻率和陣列半徑共同決定，是影響頻率補(bǔ)償濾波器和DOA估計(jì)性能的重要因素[17]。本文分別對(duì)陣列半徑和工作頻帶寬帶對(duì)算法性能的影響進(jìn)行了仿真，如圖7(b)和圖7(c)所示。由圖可知，陣列半徑越小、工作頻帶越窄，算法性能越好。

另外，由式(4)還可以看出，本文設(shè)計(jì)的寬帶陣列具有頻率不變特性，該特性歸功于引入的頻率補(bǔ)償濾波器。然而，頻率補(bǔ)償濾波器的模在設(shè)計(jì)時(shí)需要加以限制[14]，否則將引起接收噪聲的放大，導(dǎo)致DOA估計(jì)性能下降。令濾波器的模值限制值為β，DOA估計(jì)性能受該值影響的情況如圖7(d)所示。可以看出，DOA估計(jì)的RMSE隨著β值的增加而上升。然而過(guò)小的β值會(huì)造成補(bǔ)償濾波器的設(shè)計(jì)困難，因而實(shí)際運(yùn)用中要根據(jù)上述情況平衡β的取值。

綜上，在FIB的實(shí)際應(yīng)用中，若想獲得較好的DOA估計(jì)性能，可考慮增加陣元個(gè)數(shù)、減小陣列半徑和陣列有效頻率帶寬、對(duì)頻率補(bǔ)償濾波器的模值進(jìn)行合理限制等操作，同時(shí)也要考慮到計(jì)算復(fù)雜度的問(wèn)題，折中選取。

5 結(jié)論

本文研究了基于FI-UCSA的寬帶信號(hào)到達(dá)角估計(jì)問(wèn)題，提出一種基于1維搜索的可配對(duì)降維MUSIC算法。本算法將具有FI特性的UCSA相位模式導(dǎo)向向量分解為方位角和仰角相關(guān)的兩個(gè)矩陣，構(gòu)建1維到達(dá)角譜函數(shù)，從而可通過(guò)1維搜索得到方位角信息。與之配對(duì)的信號(hào)源仰角估計(jì)值可通過(guò)最小二乘法得到，因而避免了2維搜索過(guò)程，極大地降低了運(yùn)算復(fù)雜度。此外，本文采用的FI-UCSA具有頻率響應(yīng)不變特性，可進(jìn)一步降低寬帶信號(hào)處理的計(jì)算復(fù)雜度。多個(gè)仿真結(jié)果表明，本文所提方法能獲得比ESPRIT算法與傳統(tǒng)2維MUSIC算法精度更高的結(jié)果。