一種有限脈沖響應(yīng)濾波器格型結(jié)構(gòu)優(yōu)化方法及靈敏度分析

莊 陵 張文靜

(重慶郵電大學(xué)通信與信息工程學(xué)院 重慶 400065)

(移動通信教育部工程研究中心 重慶 400065)

(移動通信技術(shù)重慶市重點實驗室 重慶 400065)

1 引言

未來無線通信系統(tǒng)因其復(fù)雜性、多樣化面臨諸多挑戰(zhàn)。由于正交頻分復(fù)用(Orthogonal Frequency Division Multiplexing, OFDM)已無法滿足未來無線通信要求，因此其他多載波調(diào)制候選方案在學(xué)術(shù)界得到廣泛研究，如濾波器組多載波調(diào)制(Filter Bank Multi-Carrier, FBMC)、子帶濾波的正交頻分復(fù)用(Filtered Orthogonal Frequency Division Multiplexing, F-OFDM)等。其中的原型濾波器即有限脈沖響應(yīng)(Finite Impulse Response,FIR)濾波器，是多載波調(diào)制系統(tǒng)中合成和分析濾波器的主要組成部分[1]。FIR濾波器有穩(wěn)定性好、實現(xiàn)復(fù)雜度低和容易實現(xiàn)線性相位等特點，但在無限精度下設(shè)計的FIR原型濾波器直接應(yīng)用于實際系統(tǒng)，會使得系統(tǒng)性能與理論結(jié)果存在偏差，這主要是有限字長(Finite Word Length, FWL)效應(yīng)造成的，F(xiàn)WL效應(yīng)使得FIR濾波器實際零點位置與理論發(fā)生偏離[2]，如圖1所示，當(dāng)量化字長Bc=16 bit時，F(xiàn)IR濾波器理想零點分布和實際零點分布。FWL效應(yīng)引入濾波器系數(shù)誤差和舍入噪聲[3,4]，其中濾波器系數(shù)誤差用靈敏度衡量。

圖1 15階FIR濾波器零點分布

目前通過優(yōu)化靈敏度，即降低濾波器系數(shù)誤差改善FWL效應(yīng)主要從優(yōu)化濾波器系數(shù)與改進濾波器實現(xiàn)結(jié)構(gòu)兩方面展開。從優(yōu)化濾波器系數(shù)方面，文獻[5-8]提出濾波器正交狀態(tài)空間實現(xiàn)稀疏化，使濾波器系數(shù)矩陣元素盡可能為平凡參數(shù)(0, ±1)，降低濾波器系數(shù)誤差，提高對FWL效應(yīng)的抵抗能力，但此類方法在迭代時對目標(biāo)函數(shù)和約束條件有限制。從改進濾波器實現(xiàn)結(jié)構(gòu)方面，與濾波器直接型結(jié)構(gòu)和級聯(lián)型結(jié)構(gòu)相比，格型結(jié)構(gòu)對FWL效應(yīng)有更好的魯棒性[9]。文獻[10]和文獻[11]分別提出注入式格型結(jié)構(gòu)和抽頭式格型結(jié)構(gòu)，但上述兩種結(jié)構(gòu)系數(shù)固定，無法對其結(jié)構(gòu)優(yōu)化。因此文獻[12]將注入式格型結(jié)構(gòu)中自由參數(shù)，即注入系數(shù)，與抽頭式格型結(jié)構(gòu)結(jié)合，得到混合結(jié)構(gòu)的濾波器系數(shù)靈敏度要優(yōu)于前兩者。文獻[13]在文獻[12]的基礎(chǔ)上引入另一組自由參數(shù)，并利用基于窮舉法和遺傳算法的混合算法對自由參數(shù)優(yōu)化，得到系數(shù)靈敏度較好的混合格型結(jié)構(gòu)。

以上改進濾波器格型結(jié)構(gòu)方法都基于無限脈沖響應(yīng)(Infinite Impulse Response, IIR)濾波器，與IIR濾波器格型遞歸結(jié)構(gòu)不同，F(xiàn)IR濾波器格型結(jié)構(gòu)是非遞歸的，因此上述方法不能直接用于改進FIR濾波器格型結(jié)構(gòu)。因格型結(jié)構(gòu)對量化誤差不敏感[14]，目前基于FIR濾波器格型結(jié)構(gòu)優(yōu)化較少考慮因量化帶來的濾波器系數(shù)誤差對濾波器性能的影響，但隨著未來無線通信網(wǎng)絡(luò)向超低延遲、高頻譜效率、高傳輸速率和業(yè)務(wù)多樣性發(fā)展[15]，對濾波器設(shè)計也提出更高要求。因此本文從改進FIR濾波器格型結(jié)構(gòu)優(yōu)化濾波器系數(shù)誤差方向展開，提出一種改進FIR濾波器格型結(jié)構(gòu)。首先給出改進FIR濾波器格型結(jié)構(gòu)及其傳輸函數(shù)表達式，然后推導(dǎo)出FIR濾波器格型結(jié)構(gòu)狀態(tài)空間實現(xiàn)參數(shù)表示及狀態(tài)空間實現(xiàn)結(jié)構(gòu)系數(shù)靈敏度公式并對其理論分析，最后通過仿真實例對比分析不同采樣周期和量化字長約束下傳統(tǒng)格型結(jié)構(gòu)與改進格型結(jié)構(gòu)的頻響特性和系數(shù)靈敏度并給出相應(yīng)結(jié)論。

2 改進FIR濾波器格型結(jié)構(gòu)

N階FIR濾波器格型結(jié)構(gòu)傳輸函數(shù)為

圖2 改進格型結(jié)構(gòu)單元

圖3 FIR濾波器格型改進結(jié)構(gòu)

3 改進格型結(jié)構(gòu)狀態(tài)空間表示及相應(yīng)靈敏度

3.1 狀態(tài)空間實現(xiàn)

3.2 靈敏度表達式理論推導(dǎo)與分析

4 仿真實例及分析

以11階低通線性相位FIR濾波器為例，分別計算不同采樣周期Ts下傳統(tǒng)格型結(jié)構(gòu)和改進格型結(jié)構(gòu)系數(shù)靈敏度，并比較頻響特性在量化字長約束下的變化情況。仿真中的濾波器通帶截止頻率為ωp=0.2π Hz，阻帶截止頻率為ωs=0.5π Hz，阻帶最小衰減為αs=30 dB。

4.1 靈敏度分析

根據(jù)3.2節(jié)傳統(tǒng)格型結(jié)構(gòu)和改進格型結(jié)構(gòu)系數(shù)靈敏度公式，給定不同的Ts值，分析傳統(tǒng)格型結(jié)構(gòu)Rz和改進格型結(jié)構(gòu)Rρ系數(shù)靈敏度。由表1可知，當(dāng)Ts=10?2s時，傳統(tǒng)格型結(jié)構(gòu)系數(shù)靈敏度小于改進格型結(jié)構(gòu)系數(shù)靈敏度，說明此時傳統(tǒng)格型結(jié)構(gòu)因量化產(chǎn)生的濾波器系數(shù)誤差小于改進格型結(jié)構(gòu)，但隨著Ts減小，傳統(tǒng)格型結(jié)構(gòu)系數(shù)靈敏度保持不變，改進格型結(jié)構(gòu)系數(shù)靈敏度逐漸減小，并且由表1可知，改進格型結(jié)構(gòu)系數(shù)靈敏度并非隨著Ts減小一直無限減小，如Ts減小到10-4/10-5s時，改進格型結(jié)構(gòu)系數(shù)靈敏度減小趨于數(shù)值1。下面在頻響特性曲線中分析量化字長和Ts對濾波器頻響特性的影響。

4.2 頻響特性分析

為驗證上述結(jié)論并分析傳統(tǒng)格型結(jié)構(gòu)和改進格型結(jié)構(gòu)抗FWL效應(yīng)能力，將結(jié)構(gòu)系數(shù)小數(shù)部分舍入量化到Bc位 ，得到以下頻響特性曲線。

表1 不同Ts下結(jié)構(gòu)系數(shù)靈敏度

圖4表示采樣周期為10-2s，量化字長為8 bit時理想、傳統(tǒng)格型結(jié)構(gòu)和改進格型結(jié)構(gòu)的頻響特性對比曲線。圖4傳統(tǒng)格型結(jié)構(gòu)頻響特性曲線雖遠離理想狀態(tài)，但表現(xiàn)穩(wěn)定，而改進格型結(jié)構(gòu)頻響特性曲線發(fā)生明顯偏離，這是因為采樣頻率低時，改進格型單元具有較差的數(shù)值特性，即有限字長特性、系數(shù)靈敏度等。

圖4 頻率響應(yīng)特性比較(Ts=10-2 s, Bc=8 bit)

圖5表示采樣周期為10-2s，量化字長為10 bit時理想、傳統(tǒng)格型結(jié)構(gòu)和改進格型結(jié)構(gòu)的頻響特性對比曲線。與圖4相比，隨著量化字長增大，傳統(tǒng)格型結(jié)構(gòu)頻響特性曲線靠近理想頻響特性曲線不明顯，而改進格型結(jié)構(gòu)頻響特性曲線相比于圖4改進格型結(jié)構(gòu)頻響特性曲線更接近理想曲線，說明改進格型結(jié)構(gòu)對量化字長的敏感程度優(yōu)于傳統(tǒng)格型結(jié)構(gòu)。

圖5 頻率響應(yīng)特性比較(Ts=10-2 s, Bc=10 bit)

圖6表示采樣周期為10-4s，量化字長為16 bit時理想、傳統(tǒng)格型結(jié)構(gòu)和改進格型結(jié)構(gòu)的頻響特性對比曲線。與圖4和圖5對比可知，隨著采樣周期減小，量化字長增大，由上述圖5分析可知改進格型結(jié)構(gòu)對量化敏感程度優(yōu)于傳統(tǒng)格型結(jié)構(gòu)，并且由表1可知，采樣周期小于10-2s時，改進格型結(jié)構(gòu)系數(shù)靈敏度小于傳統(tǒng)格型結(jié)構(gòu)系數(shù)靈敏度，即改進格型結(jié)構(gòu)濾波器系數(shù)誤差較小，因此其頻響特性曲線較傳統(tǒng)格型結(jié)構(gòu)頻響特性曲線接近理想狀態(tài)。

圖6 頻率響應(yīng)特性比較(Ts=10-4 s, Bc=16 bit)

圖7表示采樣周期為10-5s，量化字長為16 bit時理想、傳統(tǒng)格型結(jié)構(gòu)和改進格型結(jié)構(gòu)的頻響特性對比曲線。圖6、圖7對比發(fā)現(xiàn)，圖7的改進格型結(jié)構(gòu)頻響特性曲線接近理想頻響特性曲線程度與圖6區(qū)別不明顯，因為當(dāng)采樣周期為10-4s和10-5s時，改進格型結(jié)構(gòu)系數(shù)靈敏度值相差不大，即因量化帶來的濾波器系數(shù)誤差相差較小，因此圖6、圖7改進格型結(jié)構(gòu)頻響特性曲線接近理想頻響特性曲線程度相差不明顯。

圖7 頻率響應(yīng)特性比較(Ts=10-5 s, Bc=16 bit)

由上述對各圖的描述和分析可知，量化字長或采樣頻率增大對改進格型結(jié)構(gòu)頻響曲線影響比傳統(tǒng)格型結(jié)構(gòu)頻響特性曲線影響明顯。為直觀表示量化字長和采樣周期對兩種結(jié)構(gòu)頻響特性曲線的影響，分別計算傳統(tǒng)格型結(jié)構(gòu)和改進格型結(jié)構(gòu)的幅頻響應(yīng)與理想幅頻響應(yīng)在各歸一化頻率點的平均數(shù)值差ωRz和ωRρ。

由表2可知，當(dāng)Bc=8 bit,Bc=10 bit或Bc=16 bit時，隨著采樣周期Ts減小，ωRz值不變，表明采樣周期Ts不影響傳統(tǒng)格型結(jié)構(gòu)幅頻響應(yīng)曲線，ωRρ值減小，表明改進格型結(jié)構(gòu)幅頻響應(yīng)與理想幅頻響應(yīng)的差值減小，且當(dāng)Bc=16bit時，改進格型結(jié)構(gòu)幅頻響應(yīng)更接近理想幅頻響應(yīng)。當(dāng)采樣周期Ts=10?2/10?3/10?4s時，隨著Bc增大，ωRz值改變不明顯，ωRρ值減小明顯，表明量化字長對改進格型結(jié)構(gòu)幅頻特性曲線影響比傳統(tǒng)格型結(jié)構(gòu)幅頻特性曲線大。

綜上分析結(jié)果，采樣周期Ts改變對傳統(tǒng)格型結(jié)構(gòu)系數(shù)靈敏度和頻響特性均無影響，而改進格型結(jié)構(gòu)隨著采樣周期Ts減小，其系數(shù)靈敏度減小趨于數(shù)值1，頻響曲線更接近理想狀態(tài)，在量化字長約束下，與傳統(tǒng)格型結(jié)構(gòu)頻響曲線相比，改進格型結(jié)構(gòu)頻響曲線更接近理想狀態(tài)，即改進格型結(jié)構(gòu)抗FWL效應(yīng)能力優(yōu)于傳統(tǒng)格型結(jié)構(gòu)。

5 結(jié)論

未來無線通信網(wǎng)絡(luò)發(fā)展對濾波器設(shè)計提出更高要求。格型結(jié)構(gòu)具有較好的抗FWL效應(yīng)能力，但缺少從硬件實現(xiàn)的結(jié)構(gòu)優(yōu)化方向研究如何降低濾波器系數(shù)誤差的文獻。本文提出一種改進FIR濾波器格型結(jié)構(gòu)，推導(dǎo)并分析結(jié)構(gòu)系數(shù)靈敏度表達式。仿真實例表明，與傳統(tǒng)格型結(jié)構(gòu)相比，改進格型結(jié)構(gòu)因FWL效應(yīng)帶來的濾波器系數(shù)誤差更小，即系數(shù)靈敏度更小，在量化字長約束下，改進格型結(jié)構(gòu)頻響曲線更接近理想曲線，有效改善因FWL效應(yīng)導(dǎo)致的濾波器性能下降問題。