一種變步長最小平均p范數自適應濾波算法

王 彪 李涵瓊 高世杰 張明亮 徐 晨

(江蘇科技大學電子信息學院 鎮(zhèn)江 212100)

1 引言

在自適應濾波算法中，以最小均方誤差為代價函數的最小均方算法(Least Mean Square, LMS)，在高斯噪聲環(huán)境中因其簡單性和魯棒性強得到了廣泛的研究和應用[1]。然而，在實際應用中，如：語音處理、信號處理、電力通信和水聲信道中，系統(tǒng)往往受到非高斯噪聲的干擾。已有研究表明，近海水聲信道中的非高斯噪聲多以帶有前鰲的鰲蝦類生物產生的噪聲為主，其表現出強烈的脈沖特性[2]。由于LMS算法只考慮了數據的2階統(tǒng)計量，在非高斯噪聲下，如脈沖噪聲，LMS算法收斂速度和穩(wěn)定性顯著下降[3]。為克服這個問題，Shao和Nikias[4]提出了最小平均p范數(Least Mean p-Power, LMP)算法，以誤差的p次方代替誤差的平方。LMP算法因其對脈沖噪聲具有魯棒性而備受關注，已被廣泛應用于多種場景，如系統(tǒng)辨識、回聲消除、語音預測等多個領域。

傳統(tǒng)LMP算法的步長為固定值，不能同時滿足較快的收斂速度和較低的穩(wěn)態(tài)誤差的要求，變步長是解決算法收斂速度和穩(wěn)態(tài)誤差的有效方法[5]。為改善固定步長LMP算法性能，相關研究人員開展了大量研究。付柏成等人[6]采用誤差的P 階互相關加權平均值來更新步長，提出了一種新的變步長歸一化LMP算法，該變步長方法使算法收斂更加平穩(wěn)，同時加快了算法的收斂速度。為進一步提高脈沖噪聲下LMP算法性能，郝燕玲等人[7]提出一種基于梯度加權平均的變步長歸一化最小平均p范數(Variable Step-Size-Normalized LMP, VSSNLMP)算法，該算法利用平滑梯度矢量控制步長的變化，提高了算法收斂速度和穩(wěn)態(tài)精度。為提高稀疏系統(tǒng)下LMP算法性能，陳思佳等人[8]將加權零吸引思想引入到LMP算法中，并基于無噪先驗誤差提出了變步長零吸引最小平均p范數(Improved Variable Step-Size Reweighted Zero Attracting-LMP, IVSS-RZA-LMP)算法。上述提出的變步長算法能夠同時獲得較快的收斂速度和較低的穩(wěn)態(tài)誤差，與固定步長LMP算法相比性能有所提高，但這些算法構造的變步長函數均未考慮脈沖噪聲對于步長改變的影響。

2 最小平均p范數算法

自適應濾波器的原理框架如圖1所示，輸入信號x(n)經過未知系統(tǒng)w0與噪聲信號v(n)疊加得到期望信號d(n)，x(n)經過自適應濾波器得到輸出信號y(n)。自適應濾波器通過期望信號d(n)與輸出信號y(n)相減得到誤差信號e(n)來調節(jié)濾波器權值向量w(n)，使濾波器權值向量w(n)逼近未知系統(tǒng)沖擊響應w0，從而達到系統(tǒng)辨識的目的。

x(n)=[x(n),x(n ?1),...,x(n ?M+1)]T為輸入信號，w0=[w1w2...wM]T為未知系統(tǒng)的單位脈沖響應，可得到圖1中自適應濾波器的期望信號d(n)

3 變步長最小平均p范數算法

3.1 VSS-LMP算法

自適應濾波算法的性能主要由收斂速度和穩(wěn)態(tài)誤差來衡量，變步長是提高算法性能的有效方法。在高斯噪聲下，采用瞬時誤差來更新步長是一種簡單有效的方法；但在非高斯噪聲(脈沖噪聲)下，估計誤差對脈沖噪聲敏感，不能直接用于步長的更新，需建立步長與誤差之間的非線性關系式，以對抗脈沖噪聲的干擾。文獻[9]提出基于變形高斯函數的抗脈沖噪聲干擾變步長方法，采用變形高斯函數來控制算法步長的改變，與其他變步長方法相比計算復雜度更低、算法收斂性更好和穩(wěn)態(tài)性能更優(yōu)。

本文對該變形高斯函數進一步改進，引入參數a, b，提出改進的變形高斯函數，其表達式為

圖1 系統(tǒng)辨識框圖

圖2 不同參數a, b下函數圖像

考慮步長之間的相關性，本文構造的步長由前一時刻步長和上述改進的變形高斯函數f(e(n))共同控制，采用移動平均法[10]構造步長函數，得到步長與誤差之間的關系式為

其中，β為平滑因子，其值為小于1且接近于1的常數，β控制了步長的穩(wěn)定性，β值越大步長變化越穩(wěn)定，受誤差e(n)影響越小，本文β取值0.98。式(6)中a,b,β為常值參數，共同調節(jié)步長的取值范圍，控制算法的收斂速度和穩(wěn)態(tài)誤差。本文構造的變步長函數μ(e(n))當系統(tǒng)受到脈沖噪聲干擾時，能維持步長穩(wěn)定；當誤差較小時，能產生小步長，以降低穩(wěn)態(tài)誤差。本文所提VSS-LMP算法具體實現步驟如表1所示。

3.2 算法收斂性分析

表1 VSS-LMP算法框圖

因此，當參數a,b滿足式(12)時本文所提變步長LMP算法收斂。

4 算法仿真與性能分析

4.1 脈沖噪聲模型

4.2 系統(tǒng)辨識仿真實驗

4.2.1 參數對算法性能分析

網絡課程資源可借助高校圖書館在線服務功能，建設集網絡課程資源與圖書館電子資源于一體的個性化、可視化、創(chuàng)新型服務平臺，使成人高等教育網絡學習資源更加豐富，課外文獻資料查閱更加便捷?；趫D書館電子管理服務平臺的課程制作，需滿足平臺嵌入要求，如時長、格式等，且網絡課程建設應傾向于學生感興趣的專業(yè)領域，使學生易于接受，同時便于后期的應用與推廣。

研究參數a對VSS-LMP算法性能的影響。參數b取值為0.01，平滑因子β取值為0.98，算法范數p取值為1.2，上述參數的選擇均在滿足步長穩(wěn)定條件下，采用試錯法獲得最佳取值[14]。參數a分別取值為0.0002, 0.0004, 0.0006, 0.0008, 0.0010, 0.0020和0.0030，仿真脈沖噪聲參數N2=[1.4, 0, 0.03,0]下，算法性能曲線如圖3所示。

分析圖3可知，當參數a分別為0.0002, 0.0004,0.0006, 0.0008, 0.0010, 0.0020和0.0030時，算法收斂時的NMSD值分別為-32.12 dB, -29.79 dB,-28.12 dB, -26.30 dB, -25.23 dB, -20.28 dB,-10.43 dB。當參數a取值大于0.0008時，算法收斂所需的迭代次數相差不大，此時參數a主要影響算法收斂時的穩(wěn)態(tài)誤差，參數a越小算法穩(wěn)態(tài)誤差越低。當參數a取值小于0.0008時，隨著參數a的減小，算法初始收斂速度和系統(tǒng)突變后的收斂速度會逐漸變差。當參數a為0.0008和0.001時，算法收斂速度接近，但參數a為0.0008時穩(wěn)態(tài)誤差更低一些。因此，在本仿真環(huán)境下，為獲得更快的收斂速度和更低的穩(wěn)態(tài)誤差，參數a取值為0.0008時，算法性能相對更優(yōu)。

研究參數b對VSS-LMP算法性能的影響。參數a取值為0.0008，參數b分別取0.002, 0.005, 0.010,0.020, 0.030, 0.040, 0.050，其他參數設定不變，算法性能曲線如圖4所示。

分析圖4可知，參數b分別為0.002, 0.005, 0.010,0.020, 0.030, 0.040, 0.050時，算法收斂所需迭代次數分別為1471, 2086, 2396, 3481, 3545, 4536, 5449,6633，可知參數b越小收斂速度越快但收斂時穩(wěn)態(tài)誤差越高。隨著參數b取值大于0.010時，參數b越大穩(wěn)態(tài)誤差越低，但系統(tǒng)突變后算法收斂到穩(wěn)定狀態(tài)需要更多的迭代次數。當參數b為0.005和0.010時，收斂時的迭代次數分別為2086, 2396，收斂時的NMSD值分別為-23.49 dB, -24.78 dB，可犧牲一些收斂速度換取更低一點的穩(wěn)態(tài)誤差，因此參數b取0.010時算法性能相對更優(yōu)。

圖3 不同參數a下VSS-LMP性能曲線

圖4 不同參數b下VSS-LMP算法性能曲線

4.2.2 不同算法性能比較

將文獻[15]基于Sigmoid函數、文獻[16]基于雙曲正切函數和文獻[17]基于高斯分布曲線的變步長方法引入到LMP算法步長中，同時仿真了文獻[6]基于梯度加權平均的VSS-NLMP算法。將上述變步長算法與本文提出的VSS-LMP算法和固定步長LMP算法進行比較，分別在信噪比5 dB, 15 dB,25 dB下進行仿真實驗。各變步長算法的步長表達式如表2所示，各算法參數均取此仿真條件下性能的最佳值，算法范數p均取值為1.2。α穩(wěn)定分布噪聲參數可由式(15)得出，分別為N1=[1.4, 0, 0.3, 0],N2=[1.4, 0, 0.03, 0], N3=[1.4, 0, 0.003, 0]，各算法性能曲線分別如圖5、圖6、圖7所示。

由圖5可知，當信噪比為5 dB時，本文提出的VSS-LMP算法收斂速度快于其他仿真變步長算法，同時該算法實現了最低的穩(wěn)態(tài)誤差。在低信噪比下，文獻[15]收斂時穩(wěn)態(tài)誤差與定步長LMP算法接近，系統(tǒng)突變后收斂速度比定步長LMP算法略快。文獻[16]、文獻[17]和VSS-NLMP算法犧牲了收斂速度獲得了更低一些的穩(wěn)態(tài)誤差。所提出的VSS-LMP算法和VSS-NLMP算法穩(wěn)態(tài)誤差一致，但VSS-LMP算法初始收斂速度和系統(tǒng)突變后收斂速度顯著更快。

由圖6可知，當信噪比為15 dB時，VSS-LMP算法具有更快的收斂速度和更低的穩(wěn)態(tài)誤差，且系統(tǒng)突變后VSS-LMP算法能快速收斂到穩(wěn)定狀態(tài)，表明該算法的系統(tǒng)跟蹤能力強。文獻[15]收斂時穩(wěn)態(tài)誤差與定步長LMP算法相同，但文獻[15]具有更快的收斂速度；文獻[16]收斂速度與定步長LMP算法一致但具有更低的穩(wěn)態(tài)誤差；文獻[17]比文獻[15]收斂速度更慢但文獻[17]具有略低的穩(wěn)態(tài)誤差；VSS-NLMP算法比文獻[16]收斂時穩(wěn)態(tài)誤差略低且系統(tǒng)突變后收斂速度略快。本文提出的VSS-LMP算法和已有的VSS-NLMP算法收斂時穩(wěn)態(tài)誤差接近，但所提的VSS-LMP算法能實現更快的收斂速度。

由圖7可知，當信噪比為25 dB時，VSS-LMP算法和文獻[15-17]收斂速度基本一致，且收斂速度均快于定步長LMP算法。系統(tǒng)突變后變步長算法比定步長LMP算法具有更快的收斂速度。VSS-NLMP算法收斂速度相比于其他變步長算法略慢，但VSSNLMP算法穩(wěn)態(tài)誤差接近本文提出的VSS-LMP算法。文獻[15]和定步長LMP算法穩(wěn)態(tài)性能最差，收斂時NMSD值為-28.95 dB；VSS-LMP穩(wěn)態(tài)性能最好，收斂時NMSD值為-38.39 dB，與文獻[15]和定步長LMP算法相比NMSD值降低了9.44 dB。

表2 各算法比較

圖5 信噪比5 dB算法性能曲線

通過上述對比分析可知，在低信噪比和高信噪比下，相比于定步長LMP算法、文獻[15-17]中變步長算法和已有的VSS-NLMP算法，本文所提的VSS-LMP算法具有更好的收斂速度和更強系統(tǒng)跟蹤能力。

4.2.3 實測水聲信道辨識

為進一步研究各算法性能，在脈沖噪聲下，本節(jié)將實測水聲信道脈沖響應作為權向量w0進行辨識，仿真了各算法的估計性能。文獻[18]指出某近海領域的噪聲參數可由N4=[1.82, 0, 0.0317, 0]表示，因此本節(jié)選擇此參數作為脈沖噪聲參數。圖8為測得的宜昌清江某一時刻的信道沖擊響應[19]，信道長度為400，本節(jié)選擇此作為待辨識的未知系統(tǒng)響應。各算法參數均取最佳值，如表2所示，各算法范數p均取值為1.2。采樣點數為1×105，在5×104采樣時刻，系統(tǒng)發(fā)生突變，即對信道脈沖響應取反，各算法的收斂曲線如圖9所示。

由圖9可知辨識實測水聲信道時，VSS-LMP算法和VSS-NLMP算法同時實現了最低的穩(wěn)態(tài)誤差。與已有變步長算法和固定步長LMP算法相比，本文所提VSS-LMP算法實現了最快的收斂速度，且系統(tǒng)突變后算法依然能快速收斂到穩(wěn)定狀態(tài)。進一步驗證了本文所提VSS-LMP算法的性能。

圖7 信噪比25 dB算法性能曲線

圖8 某一時刻實測水聲信道脈沖響應

圖9 實測水聲信道辨識各算法性能曲線

5 結束語

在α穩(wěn)態(tài)分布脈沖噪聲背景下，本文考慮脈沖噪聲對于步長改變的影響，通過改進的變形高斯函數建立步長因子和誤差信號之間的非線性關系式，采用移動平均法構造變步長函數，提出了一種對脈沖噪聲具有魯棒性的變步長LMP自適應濾波算法。仿真實驗表明，在低信噪比和高信噪比下，VSS-LMP算法與定步長LMP算法和已有變步長算法相比具有更快的收斂速度和更強的系統(tǒng)跟蹤能力。通過實際水聲信道辨識仿真，進一步驗證了所提的VSSLMP算法保證低穩(wěn)態(tài)誤差的同時，實現了更快的收斂速度。