基于相互無偏基和擬合優(yōu)度檢驗的頻譜感知方法

吳皓 張濤 陳躍 王海泉 潘鵬

（1. 中國電子科技集團公司第七研究所，廣州 510310；2. 中國人民解放軍91977部隊，北京 100036；3. 杭州電子科技大學(xué)，杭州 310018）

引 言

隨著無線通信技術(shù)的發(fā)展，大量的無線通信需求需要大量的無線頻譜，頻譜資源緊張的問題日益嚴重. 而另一方面，國際通用的靜態(tài)頻譜分配機制，即為特定的通信業(yè)務(wù)劃定固定的頻率范圍，造成無線頻譜的平均利用率很低. 這種分配機制盡管使得不同業(yè)務(wù)間的干擾得到有效避免，但也造成頻段資源空閑時間的增加，這就使得有限的頻譜資源非但得不到良好的利用反而遭到了浪費. 為使以上問題能夠得到有效解決，近年來，認知無線電(cognitive radio, CR)技術(shù)作為一種頻譜共享技術(shù)，得到了快速發(fā)展. 各種頻譜感知技術(shù)已被提出[1-9]，比較經(jīng)典的主要有以下方法. 文獻[4]介紹了基于信號能量的能量檢測法，其可以在不知道用戶信號任何信息的條件下完成對目標(biāo)頻段的頻譜感知. 因此，能量檢測法在CR領(lǐng)域中的應(yīng)用很廣. 但它也存在著一些不足之處，如當(dāng)系統(tǒng)的信噪比較低時，算法的效果并不是很好，并且算法無法分辨已調(diào)信號和干擾信號，而干擾信號會使能量檢測器做出錯誤判決. 文獻[5]研究了在噪聲不確定的情形下，能量檢測所需的樣本數(shù)量和檢測概率的關(guān)系，分析了噪聲不確定性對能量檢測的影響. 文獻[6]介紹了匹配濾波器感知法，該方法是基于最大化信噪比準(zhǔn)則的方法，其準(zhǔn)確性高且檢測速度快. 但該方法在檢測時必須依賴主用戶信號的先驗信息，這限制了它在實際中的應(yīng)用. 此外，當(dāng)主用戶信號類型不同時，該方法需設(shè)計出與信號類型相應(yīng)的匹配濾波器，這增加了設(shè)備的成本和復(fù)雜度. 文獻[7]介紹了循環(huán)平穩(wěn)特征檢測法，信號在送入無線信道之前，一般都要經(jīng)過調(diào)制、調(diào)頻、添加循環(huán)前綴等處理，因此信號的某些特性會體現(xiàn)出一定的周期性，這些特性被稱為循環(huán)平穩(wěn)特性. 基于這些特性，循環(huán)平穩(wěn)特征檢測法用來區(qū)分用戶信號和噪聲. 該方法在環(huán)境較差的場景下可以保持較好的檢測性能，而且它還能夠分辨不同的主用戶信號類型，但是該方法需對接收信號進行長時間的觀測，在進行判決時也需用到主用戶信號的先驗信息，計算復(fù)雜度較大.

以上方法都是基于信號的某種特征或信號的某個參數(shù)進行檢驗的方法. 文獻[8]在2009年首次將頻譜檢測表述為非參數(shù)的擬合優(yōu)度檢驗，而后，此方法得到了廣泛的研究[9-13]. 文獻[9]將神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)應(yīng)用于擬合優(yōu)度檢驗當(dāng)中，通過降低用戶信號的相關(guān)性從而提高系統(tǒng)檢測概率. 文獻[10]將接收信號樣本協(xié)方差矩陣的最大特征值與跡的均值的比值作為擬合優(yōu)度檢驗的對象，從而有效地避免了噪聲不確定性的影響. 本文的研究內(nèi)容主要集中在基于擬合優(yōu)度檢驗的頻譜感知方法. 擬合優(yōu)度檢驗算法通過統(tǒng)計分布函數(shù)挖掘數(shù)據(jù)信息，從而做出判決. 擬合優(yōu)度檢驗的基本思路是：當(dāng)僅有噪聲時，樣本服從于噪聲分布，當(dāng)用戶信號存在時，則樣本不會服從噪聲分布，因此便可將信號存在的問題轉(zhuǎn)換成其樣本是否滿足服從噪聲分布這一條件. 由此可知，擬合優(yōu)度檢驗是考慮信號整體特征，而非信號的某個參數(shù)特征，并且，它不需要任何信號的先驗信息.

對于一個統(tǒng)計實驗，一般來說，樣本數(shù)越多，擬合優(yōu)度檢驗的檢測結(jié)果更加準(zhǔn)確. 基于這一思想，為了提高擬合優(yōu)度檢驗的準(zhǔn)確性，在本文中我們首先利用相互無偏基(mutually unbiased bases, MUB)矩陣對接收信號樣本做信號變換使得樣本數(shù)增加，然后采用KS(Kolmogorov-Smirnov)檢驗方法進行擬合優(yōu)度檢驗. MUB由一組正交矩陣或正交基組成，且相互之間的相關(guān)性很弱，因而經(jīng)這些正交矩陣變換后的數(shù)據(jù)也保持了弱相關(guān)性. 這一性質(zhì)能夠使得由變換而增加的數(shù)據(jù)具有相對的獨立性，從而提高頻譜檢測的效果. 事實上，本文的分析和仿真結(jié)果均表明，利用MUB矩陣對接收樣本做數(shù)據(jù)處理再進行KS檢驗的效果要優(yōu)于常規(guī)的KS檢驗.

1 基于擬合優(yōu)度檢驗的頻譜感知技術(shù)

1.1 二元假設(shè)檢驗?zāi)Ｐ?/h3>

頻譜感知的問題一般用二元假設(shè)模型表示，假設(shè)H1和H0分別代表主用戶存在和主用戶不存在，即H1表 示頻段被占用，不能被次用戶使用；H0表示頻段空閑，可以被次用戶使用. 頻譜感知有如下表現(xiàn)形式：

式中：r(t)表 示接收信號；s(t)表 示發(fā)送信號；n(t)表示高斯白噪聲. 基于此檢驗?zāi)Ｐ?，即可選擇檢測算法對r(t)進 行處理得到判決統(tǒng)計量T，最后對比判決統(tǒng)計量和門限值 γ的大小從而判斷頻譜的占用情況[5-6]：

對于檢測結(jié)果，頻譜感知的指標(biāo)一般有檢測概率Pd、 虛警概率Pfa和漏檢概率Pm. 用D0表示認知用戶認為主用戶不存在的情況，用D1表示認知用戶認為主用戶存在的情況.

檢測概率Pd表示主用戶占用某頻段時，被次用戶檢測出該頻段被占用的概率，表達式為

檢測概率越高，認知用戶就可以更好地感知頻譜空穴，從而提高頻譜的利用率.

虛警概率Pfa表示頻段未被占用時，次用戶誤判該頻段被占用的概率，表達式為

若虛警概率過高，會使認知用戶無法正確識別頻譜空穴，使得頻譜利用率無法增加.

漏檢概率Pm表示當(dāng)某頻段被占用時，認知用戶判定主用戶不存在的概率，表達式為

若漏檢概率過高，會使認知用戶把已使用的頻譜當(dāng)作頻譜空穴，從而干擾主用戶的通信.

1.2 基于擬合優(yōu)度檢驗的頻譜感知

文獻[8]首次從擬合優(yōu)度檢驗的角度去考慮頻譜感知問題：當(dāng)沒有信號傳輸時，樣本服從噪聲分布，而信號的出現(xiàn)會改變樣本的分布，因此可通過判斷樣本的分布情況來判斷信號是否存在.

記觀測樣本為X，當(dāng)沒有傳輸信號時，樣本服從于噪聲的分布，分布函數(shù)記為F?(x). 當(dāng)信號出現(xiàn)時，樣本便不會服從于分布F?(x). 因此，檢測信號出現(xiàn)就等價于檢驗觀測樣本X是否服從零假設(shè)給出的噪聲分布F?(x)，若樣本服從噪聲的分布則判定信號不存在，否則就判定信號存在，有

擬合優(yōu)度檢驗可以不是針對直接的觀測信號，主要針對的是實數(shù)樣本集，由于通信系統(tǒng)中的信號一般都是復(fù)數(shù)的形式，所以在進行擬合優(yōu)度之前要對初始的樣本值進行取模操作. 對于變換樣本時首先確定其在零假設(shè)下的理論分布. 以基于經(jīng)驗累積分布函數(shù)(empirical cumulative distribution function，ECDF)型擬合優(yōu)度檢驗為例，信號檢測的通用流程如下：

首先確定檢驗算法，即樣本的ECDF和理論分布函數(shù)的差值度量函數(shù)；再根據(jù)確定的檢驗算法和虛警概率Pfa以及樣本長度n， 確定門限γ；接著根據(jù)觀測樣本(或變換樣本)的形式確定零假設(shè)H0下樣本理論分布F?(x)；然后根據(jù)選用的檢驗算法計算檢驗統(tǒng)計量；最后檢驗判決.

在介紹具體的檢驗方法之前，我們先給出ECDF的定義，若Fn(x)是 樣本X的 經(jīng)驗概率分布，X={x1,x2,···,xn}，則

式中，1 (·)為 示性函數(shù)，若xi≤x， 則1 (xi≤x)為1，否則為0. 在計算經(jīng)驗概率分布時，可以先對樣本值按照升序進行排序，這樣就可以通過簡單的計算得到所有樣本的ECDF值，計算公式如下：

判決統(tǒng)計量的值取決于樣本理論分布和經(jīng)驗概率分布的差異程度，判決統(tǒng)計量越大說明其差異程度越大，當(dāng)判決統(tǒng)計量大于門限時，判斷為信號存在，否則就只存在噪聲. 不同的擬合優(yōu)度檢驗方法對其差異程度的計算也就是判決統(tǒng)計量的計算不同，以KS檢驗為例，當(dāng)樣本為X時其判決統(tǒng)計量Dn的計算如下：

2 MUB矩陣介紹

2.1 MUB矩陣的定義

若B1,B2,···,Bd是M×M階的d個酉陣，即

記Bj=[bj1,bj2,···,bjM]， 對于任何的i≠j，有

2.2 MUB矩陣的構(gòu)造

2.2.1 M=p(p為素數(shù))

當(dāng)M為素數(shù)時，可直接構(gòu)造MUB矩陣，構(gòu)造方法如下：

式中： ωp=ej2π/p,Fp={0,1,···,p?1}. 當(dāng)a,b都取定而x遍 歷數(shù)域 Fp即x依 次取從0到p?1的數(shù)時，便得到一個p維 的向量va,b； 當(dāng)a取 定而b、x遍 歷數(shù)域 Fp便得到p個向量，將這p個向量稱作一組基Ba； 當(dāng)a,b,x遍歷數(shù)域 Fp便 得到p個 基，最終生成一個維度為M×M2的矩陣.

2.2.2 M=ps(p 為 奇素數(shù)， s>1)

當(dāng)維度為素數(shù)冪時，構(gòu)造MUB矩陣需要用到有限域的知識. 關(guān)于有限域理論的知識由于篇幅原因在此不做贅述，讀者可參考文獻[14]. 在這一節(jié)中假設(shè)p>2，為了介紹MUB矩陣的構(gòu)造，有必要先介紹有限域中跡(trace)的定義，如下所示：

定義 假設(shè)α ∈F=Fpm，K =Fp，t raceF/K(α)定義如下：

利用trace的概念，則可以構(gòu)造出MUB矩陣. 具體的構(gòu)造方法如下：

設(shè)M=q=ps， 其中p為 大于2的素數(shù)，s為正整數(shù). 令

則當(dāng)x取 遍 Fp中的所有元素時，va,b形 成一個q維的向量. 令

則Ba形 成一個酉陣，維度為q×q， 而 {Ba1,Ba2,···,Baq}形成一個維度為M×M2的MUB.

2.2.3 M=2n(n >1)[15]

當(dāng)M為2的冪時，設(shè)q=M. MUB矩陣的構(gòu)造如下：

當(dāng)x取 遍 Fq中 的所有元素時，va,b形 成一個q維的向量.令

則Ba形 成一個酉陣，維度為q×q， 而 {Ba1,Ba2,···,Baq}形成一個維度為M×M2的MUB.

3 基于MUB的KS檢驗

MUB中的每個酉矩陣都表示了空間中的一個座標(biāo)架，并且不同座標(biāo)架之間的相關(guān)系數(shù)都很小，僅為(M為空間的維度，即樣本的長度)，這樣樣本經(jīng)過MUB矩陣變換后，就可以產(chǎn)生幾乎獨立的新的樣本. 基于這些新樣本，可以做出更加準(zhǔn)確的判決.基于MUB的擬合優(yōu)度檢驗過程如圖1所示，具體的數(shù)學(xué)推導(dǎo)過程如下所示，應(yīng)用場景為加性高斯白噪聲信道.

圖1 基于MUB的擬合優(yōu)度檢驗過程Fig. 1 Process of goodness fit test based on MUB

設(shè){y1,y2,···,yM}為樣本集，當(dāng)樣本未經(jīng)MUB矩陣轉(zhuǎn)換，KS檢驗的判決統(tǒng)計量

設(shè)矩陣Bi(i=1,2,···,M)為MUB中的任一矩陣，令

這樣就得到M2個數(shù)據(jù)

基于這M2個數(shù)據(jù)，進行擬合優(yōu)度檢驗. 具體的檢測方案如下：

該方法是將樣本數(shù)擴大到M2，所以首先對新的樣本集Z進行升序處理. 當(dāng) {y1,y2,···,yM}是均值為零、方差為 δ2的復(fù)高斯噪聲，并且其實部和虛部都是獨立同分布時，由于處理之后的樣本集的分布并沒有大的改變，因此對每個樣本值取模以后，其模值的概率分布函數(shù)仍為瑞利分布. 其分布函數(shù)和經(jīng)驗函數(shù)如下所示：

其判決統(tǒng)計量

4 仿真實驗

仿真基于高斯信道模型，假設(shè)噪聲已知且是高斯信道，發(fā)送信號為16QAM調(diào)制信號. 檢測模型如下所示：

式中：xi表示接收樣本的第i個分量； ωi表示噪聲的第i個分量；ρ表示信噪比；h表示信道；si表示發(fā)送信號的第i個分量；M表示發(fā)送端的天線數(shù)，即信號的長度.

由于檢驗的門限值會隨著樣本數(shù)和虛警概率的改變而改變，因此我們在仿真前必須確定好相應(yīng)的門限值. 本次仿真的虛警概率統(tǒng)一定為5%，通過10 000次蒙特卡洛確定檢驗門限值，如表1所示.

表1 兩種檢驗方式的門限值Tab. 1 Threshold values of two inspection methods

基于高斯信道環(huán)境，采用基于MUB的KS檢驗算法針對發(fā)送天線數(shù)M分別為16、32和64時進行仿真，并同傳統(tǒng)的KS算法做比較，具體的仿真結(jié)果見圖2.

圖2 KS檢驗仿真對比結(jié)果Fig. 2 KS test simulation comparison results

從圖2仿真結(jié)果可知，采用基于MUB的KS檢驗對信號進行判決，其檢測概率有一定程度的提高，提高的幅度分別為2 dB、1.5 dB、1 dB以上.

5 結(jié) 論

本文介紹了將擬合優(yōu)度檢驗作為頻譜感知的方法以及MUB矩陣的構(gòu)造方法，相比于傳統(tǒng)的擬合優(yōu)度檢驗方法，本文在此基礎(chǔ)上通過MUB矩陣對信號樣本進行預(yù)處理從而提高了信號的檢測概率，并且該方法的計算復(fù)雜度主要體現(xiàn)在數(shù)字的乘法，在現(xiàn)有的技術(shù)條件下很容易實現(xiàn). 除了KS檢驗之外，還有多種擬合優(yōu)度檢驗的方法，皆可嘗試用MUB矩陣對樣本做預(yù)處理以達到提高信號檢測概率的目的，這也是我們后續(xù)的研究方向.