TDOA定位精度分析

蘆偉東

（國(guó)家無(wú)線電監(jiān)測(cè)中心哈爾濱監(jiān)測(cè)站，黑龍江 哈爾濱 150010）

0 引言

到達(dá)時(shí)間差（TDOA）無(wú)源定位技術(shù)是根據(jù)目標(biāo)輻射源發(fā)射的射頻信號(hào)到達(dá)不同監(jiān)測(cè)站的時(shí)間差進(jìn)行目標(biāo)源定位的一種技術(shù)[1]。TDOA定位技術(shù)不要求目標(biāo)輻射源與各監(jiān)測(cè)站時(shí)間同步，但必須保證各監(jiān)測(cè)站間時(shí)間完全同步。由于TDOA定位技術(shù)具備系統(tǒng)復(fù)雜度低、定位精度較高和監(jiān)測(cè)站之間的距離不受限制等優(yōu)點(diǎn)[2]，其已在無(wú)線電頻譜管理領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用。本文主要研究了TDOA的定位原理，分析不同因素對(duì)定位精度和有效定位范圍的影響，為今后的無(wú)線電監(jiān)測(cè)定位工作提供參考建議。

1 TDOA定位基本原理

TDOA定位原理是基于雙曲線的定義：一個(gè)平面上與兩個(gè)固定點(diǎn)（稱為焦點(diǎn)）的距離差的絕對(duì)值是常數(shù)的點(diǎn)的軌跡。在無(wú)線電監(jiān)測(cè)定位中，無(wú)線電信號(hào)的傳播速度等于光速，目標(biāo)輻射源到兩個(gè)監(jiān)測(cè)站的距離差等于光速與到達(dá)時(shí)間差的乘積，所以目標(biāo)輻射源的運(yùn)動(dòng)軌跡就是以監(jiān)測(cè)站為焦點(diǎn)的雙曲線[1],[3]。如圖1所示。

圖1 TDOA定位原理示意圖

為了定位目標(biāo)輻射源，只有一條雙曲線還不夠，在平面內(nèi)需要至少三個(gè)監(jiān)測(cè)站才能得到兩條雙曲線，從而實(shí)現(xiàn)定位目標(biāo)輻射源。定位示意圖如圖2所示。

圖2 三站定位示意圖

對(duì)于多站定位的情[4-6]，假設(shè)TDOA定位系統(tǒng)由M+1個(gè)監(jiān)測(cè)站組成，其中主監(jiān)測(cè)站為S0，M個(gè)輔監(jiān)測(cè)站，各監(jiān)測(cè)站坐標(biāo)為(xi,yi,zi)，i=0,1,2…,M。設(shè)目

標(biāo)輻射源T(x,y,z)發(fā)出的無(wú)線電信號(hào)到達(dá)各監(jiān)測(cè)站

的時(shí)間為ti(i=0,1,2,…,M)，到達(dá)各監(jiān)測(cè)站的距離為ri(i=0,1,2,…,M)，則T到達(dá)第i個(gè)輔監(jiān)測(cè)站與到達(dá)主監(jiān)

測(cè)站的距離差為

對(duì)式（1）化簡(jiǎn)，得到

式中，li為

式（2）表示共有i=1,2,…,M個(gè)的方程構(gòu)成了一個(gè)非線性方程組，矩陣形式可表示為

式中，A，X，B分別為

為方便求解，可以進(jìn)一步把矩陣B分解為矩陣C和D

當(dāng)M=3時(shí)，A為方陣，根據(jù)克萊姆法則可解得

式中，ai為AX=C的解；bi為AX=D的解；i=1,2,3。將式（9）帶入式（2）得到

對(duì)式（10）求解可得

根據(jù)一元二次方程公式分析r0的求解情況：

（1）當(dāng)B2-AC≥0時(shí)，方程有解，可以實(shí)現(xiàn)定位；

（2）當(dāng)B2-AC=0時(shí)，方程僅有唯一解，即只存在一個(gè)交匯點(diǎn)，不會(huì)出現(xiàn)定位模糊；

（3）當(dāng)B2-AC＞0時(shí)，方程有兩個(gè)解，即存在兩個(gè)交匯點(diǎn)，會(huì)出現(xiàn)模糊定位；

（4）當(dāng)B2-AC＜0時(shí)，方程無(wú)解，即不存在交匯點(diǎn)，無(wú)法定位。

當(dāng)式（10）有兩個(gè)解，即存在定位模糊時(shí)，若兩個(gè)解的乘積小于零，則取正數(shù)解，可消除定位模糊；若兩個(gè)解的乘積大于零，即存在兩個(gè)正數(shù)解，需要其他輔助數(shù)據(jù)才能消除定位模糊，一般可以借助測(cè)向數(shù)據(jù)，借助地理坐標(biāo)計(jì)算兩個(gè)定位點(diǎn)相對(duì)測(cè)向站的方位角，與實(shí)際測(cè)量目標(biāo)輻射源的方位角進(jìn)行比較，即可消除定位模糊點(diǎn)，得到正確的r0值。

2 定位誤差分析

為分析不同參數(shù)對(duì)定位誤差的影響，引入幾何稀釋度（Geometric Dilution of Precision, GDOP）的概念，它可以作為衡量無(wú)源定位精度的重要指標(biāo)，清晰的描述定位誤差的空間幾何分布，GDOP值越小，表示定位精度越高。其表達(dá)式為

式中，PdE為定位誤差協(xié)方差矩陣，可通過(guò)誤差方程求得[7-8]。

對(duì)式（1）中Δri=ri-r0取全微分，可得

將式（14）寫成矩陣形式

由式（15）可得

由式（20）可知，TDOA的定位誤差主要由站址誤差和距離誤差決定，而距離誤差等于光速與到達(dá)時(shí)間差的乘積，光速是恒定不變的，所以距離誤差等同于到達(dá)時(shí)間誤差。因?yàn)榈竭_(dá)各輔助監(jiān)測(cè)站的測(cè)量時(shí)差含有相同的誤差因素，所以距離測(cè)量誤差相關(guān)。設(shè)距離測(cè)量誤差零均值，在每次測(cè)量到達(dá)時(shí)間差時(shí)，站址誤差保持不變，并且導(dǎo)致站址誤差的因素之間和站址誤差之間互不相關(guān)，則定位誤差的協(xié)方差為[9]

式中

假設(shè)站址誤差各方向的標(biāo)準(zhǔn)差相同，可得到

由式（24）可知，影響定位精度的主要因素是到達(dá)時(shí)差測(cè)量誤差和站址誤差，目標(biāo)輻射源與各監(jiān)測(cè)站的位置關(guān)系與定位精度有關(guān)，到達(dá)時(shí)差測(cè)量誤差和站址誤差取決于設(shè)備精度，可視為TDOA定位系統(tǒng)的固有誤差，所以我們主要分析不同的位置關(guān)系對(duì)受控區(qū)域定位精度的影響，選擇合適的監(jiān)測(cè)站部署位置。

3 實(shí)驗(yàn)仿真

在三維空間中定位目標(biāo)輻射源的位置，至少需要三個(gè)距離差，由兩站確定一個(gè)雙曲面，因此至少需要四個(gè)監(jiān)測(cè)站。為了更貼近實(shí)際情況，本文只選取四個(gè)監(jiān)測(cè)站進(jìn)行TDOA定位實(shí)驗(yàn)，假設(shè)測(cè)時(shí)差誤差στ=5 ns，站址誤差σs=0.005 km，目標(biāo)輻射源高度z=10 km不變，四個(gè)紅色圓圈表示監(jiān)測(cè)站所在位置，仿真區(qū)域?yàn)閤、y坐標(biāo)軸-200～200 km構(gòu)成的正方形范圍內(nèi)。

3.1 正方形布站

監(jiān)測(cè)站坐標(biāo)為S0(-10, 10, 0.3) km,S1(10, -10, 0.2)km,S2(-10, -10, 0.3) km,S3(10, 10, 0.2) km。GDOP分布如圖3所示。

圖3 正方形布站GDOP分布

監(jiān)測(cè)站坐標(biāo)為S0(-150, 150, 0.3) km,S1(150, -150,0.2) km,S2(-150, -150, 0.3) km,S3(150, 150, 0.2)km。GDOP分布如圖4所示。

圖4 正方形布站GDOP分布

3.2 菱形布站

監(jiān)測(cè)站坐標(biāo)為S0(-20, 0, 0.3) km,S1(0, 10, 0.2)km,S2(20, 0, 0.3) km,S3(0, -10, 0.2) km。GDOP分布如圖5所示。

圖5 菱形布站GDOP分布

3.3 平行四邊形布站

監(jiān)測(cè)站坐標(biāo)為S0(0, 10, 0.3) km,S1(20, 10, 0.2)km,S2(-10, -10, 0.3) km,S3(10, -10, 0.2) km。GDOP分布如圖6所示。

圖6 平行四邊形布站GDOP分布

3.4 三角形布站

監(jiān)測(cè)站坐標(biāo)為S0(-30, 30, 0.3) km,S1(0, 0, 0.2)km,S2(0, 30, 0.3) km, S3(30, 30, 0.2) km。GDOP分布如圖7所示。

3.5 星形布站

監(jiān)測(cè)站坐標(biāo)為S0(-30, 30, 0.3) km,S1(0, 0, 0.2)km,S2(0, -30, 0.3) km,S3(30, 30, 0.2) km。GDOP分布如圖8所示。

圖8 星形布站GDOP分布

監(jiān)測(cè)站坐標(biāo)為S0(-150, 150, 0.3) km,S1(0, 0, 0.2)km,S2(0, -150, 0.3) km,S3(150, 150, 0.2) km。GDOP分布如圖9所示。

圖9 星形布站GDOP分布

3.6 結(jié)果分析

以上實(shí)驗(yàn)是在目標(biāo)輻射源高度、測(cè)時(shí)差誤差和站址誤差不變的基礎(chǔ)上完成的，從仿真結(jié)果可以看出，菱形、平行四邊形和三角形布站的GDOP值分布在某些方向定位精度較高，但其他方向定位精度偏低；正方形和星形布站的GDOP值分布相對(duì)比較均勻，站間距增大后，定位精度明顯提高；正方形布站的GDOP分布存在定位精度很差的方向，可以視為定位盲區(qū)；星形布站形式得到的GDOP值分布最均勻，且定位精度更高。

通過(guò)以上結(jié)果分析，可以得出以下結(jié)論：在目標(biāo)輻射源高度、測(cè)試差誤差和站址誤差不變的前提下，星形布站形式定位精度高，受控區(qū)域大且GDOP值分布均勻，是相對(duì)理想的布站形式。在今后的無(wú)線電安全保障類工作中，對(duì)重點(diǎn)區(qū)域的無(wú)線電安全管控可以使用星形布站的形式，適當(dāng)拉大站間距，使管控區(qū)域得到最優(yōu)的定位精度。

4 結(jié)束語(yǔ)

本文通過(guò)研究時(shí)差定位原理，分析了影響定位誤差的主要因素，并在固定測(cè)時(shí)差誤差、站址誤差和目標(biāo)輻射源高度的前提下，分析了監(jiān)測(cè)站布局對(duì)定位精度的影響，并得出結(jié)論，為今后無(wú)線電安全保障工作提供了布站形式的參考建議。