兩階段服務博弈模型的復雜動力學行為分析

劉雪薇， 周 偉

(蘭州交通大學 數(shù)理學院，甘肅 蘭州 730070)

近年來，國內外許多學者通過分岔與混沌等非線性動力學的知識來研究經(jīng)濟學模型的動態(tài)復雜特性，對企業(yè)的經(jīng)營管理給出了一些啟示.文獻[1-3]討論了市場中的競價問題，利用數(shù)值模擬對其產(chǎn)生的動力學現(xiàn)象進行了分析.文獻[4]構建了具有消費者剩余的動態(tài)雙寡頭經(jīng)濟學模型，對系統(tǒng)的局部和全局穩(wěn)定性展開研究.文獻[5]對一個投入研發(fā)的兩階段動力學模型進行了討論，借助Matlab數(shù)值模擬研究了該模型所產(chǎn)生的復雜動力學行為.文獻[6]對合作競爭供應鏈中的動態(tài)古諾博弈進行了分析.文獻[7]討論了2家零售商在發(fā)售產(chǎn)品給消費者時，二者之間所引起的競爭問題,通過數(shù)值仿真對創(chuàng)建的模型進行了研究，得到了最優(yōu)決策.文獻[8]分析了與回收價格有關的經(jīng)濟學模型，利用非線性動力學知識研究發(fā)現(xiàn)，過快的調整速度將會使系統(tǒng)陷入混沌，導致市場混亂.文獻[9]建立了一個具有有限理性的古諾雙寡頭動態(tài)模型，利用數(shù)值模擬刻畫了系統(tǒng)的復雜動態(tài)行為變化狀況.文獻[10]對廣告博弈競爭進行了數(shù)值仿真研究.文獻[11]構建了一條閉環(huán)供應鏈，對其中的產(chǎn)品回收情況進行了建模，借助非線性動力學知識對模型展開研究.文獻[12-13]對模型的全局性質、所產(chǎn)生的混沌同步以及間歇性等復雜動力學現(xiàn)象進行了分析.

當代社會能否獲得最優(yōu)質的服務成為消費者購買某一產(chǎn)品的一個重要影響因素，企業(yè)為吸引更多顧客也在逐漸加大對服務的投入力度.本文中，筆者參考上述文獻，對雙寡頭市場中的2家企業(yè)進行服務努力水平動態(tài)博弈競爭做出考慮.在生產(chǎn)同質產(chǎn)品的前提下，建立了一個具有有限理性的兩階段雙寡頭經(jīng)濟學模型，利用分岔與混沌等非線性動力學知識對該模型的局部及全局穩(wěn)定性展開討論分析.

1 模型的建立

考慮雙寡頭市場中，2家企業(yè)i(i=1,2)生產(chǎn)銷售同質產(chǎn)品，企業(yè)1,2在生產(chǎn)銷售過程中分別對產(chǎn)品進行服務投入，由于其投入程度不同，二者將設定各自的出售價格pi.此外，本研究對2家企業(yè)產(chǎn)品的生產(chǎn)成本不予考慮.

根據(jù)文獻[14-15]的研究結果，以及加入服務努力水平的影響，假設企業(yè)i的逆需求函數(shù)為

pi=a-b(qi+qj)+si,i,j=1,2，i≠j.

(1)

由2家企業(yè)的利潤函數(shù)分別對其銷量求一階偏導數(shù)，可以得到企業(yè)i關于產(chǎn)量qi的邊際利潤函數(shù)

(2)

(3)

為了更好地分析服務對企業(yè)之間競爭行為的影響，將(3)代入(1)，可以得到企業(yè)1,2關于服務努力水平的利潤函數(shù)

(4)

通過(4)對各自的服務努力水平求一階偏導數(shù)，得到2家企業(yè)分別關于其服務努力水平的邊際利潤函數(shù)

(5)

實際上，2家企業(yè)并不可能完全掌握市場信息進而做出完美預測.因此，假設企業(yè)1,2都是有限理性的.于是，引入梯度調整機制[17]，具體來說，即t+1時刻的服務努力水平由t時刻的邊際利潤決定.當?πi/?si?0時，企業(yè)在t+1時刻提高其服務努力水平；當?πi/?si=0時，企業(yè)在t+1時刻使其服務努力水平保持穩(wěn)定不變；而當?πi/?si?0時，企業(yè)在t+1時刻降低其服務努力水平.由此，便可得到如下形式的動態(tài)調整系統(tǒng)：

(6)

其中αi?0為企業(yè)i的調整速度.將(5)代入(6)，便可得到該動態(tài)調整系統(tǒng)的具體表達形式

(7)

2 平衡點的穩(wěn)定性分析

通過令s1(t+1)=s1(t)，s2(t+1)=s2(t)，可得到系統(tǒng)(7)的4個平衡點，即

可以發(fā)現(xiàn)，系統(tǒng)有3個邊界均衡點E0，E1，E2和唯一的內部Nash均衡點E*.此外，這4個均衡點還代表了2家企業(yè)所采取的不同策略.為了保證系統(tǒng)的經(jīng)濟學意義，系統(tǒng)(7)的所有平衡點應該是非負的，結合上述討論可得，系統(tǒng)的參數(shù)要滿足條件

S={(a,b,η)|a?0,b?0,η?0,9bη-8?0,9bη-4?0}，

也就是

由于平衡點的穩(wěn)定性可以通過該點Jacobian矩陣的特征值大小來分析，于是首先求出系統(tǒng)(7)的Jacobian矩陣

并且可以得到以下命題.

命題1邊界均衡點E0是不穩(wěn)定的結點.

證系統(tǒng)(7)在E0處的Jacobian矩陣為

由上文可知，αi?0，a?0，b?0，所以，λi?1，|λi|?1.因此，邊界均衡點E0是不穩(wěn)定結點.

E0=(0,0)表示2家企業(yè)都沒有服務投入.而由于服務可以幫助企業(yè)增加利潤，并使企業(yè)在市場上更具競爭力，所以企業(yè)有必要進行服務投入.故接下來，討論E1和E2的穩(wěn)定性.

命題2對于邊界均衡點E1，有以下3種情況：

證系統(tǒng)(7)在E1處的Jacobian矩陣為

求得其特征值

為了討論邊界均衡點E1的穩(wěn)定性，需要對參數(shù)的范圍進行分類討論，詳細結果如下.

綜上所述，均衡點E1的穩(wěn)定性即為命題2中所列的3種情況.

命題3邊界均衡點E2的穩(wěn)定性與命題2中均衡點E1的穩(wěn)定性情況相似.

證系統(tǒng)(7)在E2處的Jacobian矩陣為

求得其特征值

由于邊界均衡點E1，E2關于坐標軸對稱，因此，對均衡點E2穩(wěn)定性的討論與命題2中對均衡點E1穩(wěn)定性的討論結果極其相似，故不再多作證明.

在邊界均衡點上，至少有一家企業(yè)的服務努力水平為0，這可能給企業(yè)造成損失，長期虧損甚至可能使企業(yè)破產(chǎn)退出市場.因此，邊界均衡點是波動的，不能為實際經(jīng)營提供參考.鑒于此，不考慮邊界均衡點，而是進一步分析內部均衡點的穩(wěn)定性，即Nash均衡點.

由于Nash均衡點E*的特征值較為復雜，利用其特征值大小不好判斷出它的穩(wěn)定性，因此需要借助Jury判據(jù)來分析其局部穩(wěn)定性情況.

命題4系統(tǒng)在滿足以下條件時，Nash均衡點E*具有局部穩(wěn)定性.

證系統(tǒng)在E*處的Jacobian矩陣為

由此可得該矩陣的跡和行列式

(8)

(9)

根據(jù)Jury判據(jù)

(10)

將(8)與(9)代入(10)并化簡，可得

從而命題4得證.

Nash均衡點E*表示2家企業(yè)都進行了服務投入.顯然，這一點代表著更重要的經(jīng)濟意義.

3 數(shù)值模擬

主要借助1-D分岔圖及其相應的最大Lyapunov指數(shù)譜和2-D分岔圖來研究系統(tǒng)通向混沌的路徑.通過數(shù)值模擬刻畫吸引盆與吸引子的演化狀態(tài)，對系統(tǒng)進行全局動力學分析.

選取初值s1=0.595 7，s2=0.947 2，固定參數(shù)α2=0.997 8，a=17.632 1，b=4.027 8，η=0.487 0.圖1給出了2家企業(yè)與企業(yè)1的調整速度α1相關的1-D分岔圖及其對應的最大Lyapunov指數(shù)譜.圖1a中，s1藍色分岔曲線表示企業(yè)1的服務努力水平，s2紅色分岔曲線表示企業(yè)2的服務努力水平.經(jīng)分析觀察可得，系統(tǒng)(7)在該組參數(shù)下發(fā)生了較為簡單的flip分岔.當α1?1.056時，系統(tǒng)保持穩(wěn)定；當α1≈1.414時，發(fā)生第1次flip分岔，隨后進入穩(wěn)定的2周期循環(huán)；α1≈1.490時，發(fā)生第2次flip分岔，并進入4周期循環(huán)；α1≈1.511時，發(fā)生第3次flip分岔，進入8周期循環(huán)，之后陷入混沌.圖1b是圖1a相應的最大Lyapunov指數(shù)圖.當最大Lyapunov指數(shù)小于0時，系統(tǒng)處于穩(wěn)定狀態(tài)；最大Lyapunov指數(shù)等于0表示系統(tǒng)剛好處于分岔節(jié)點；而最大Lyapunov指數(shù)大于0意味著系統(tǒng)進入混沌.可以觀察到，圖1b中，8周期循環(huán)后，最大Lyapunov指數(shù)在小范圍內來回振蕩，說明系統(tǒng)在穩(wěn)定與混沌間來回切換，但只是小范圍情況.對比分析圖1a，b可觀察到，2幅圖的分岔點十分吻合.

圖1 α2=0.997 8時,系統(tǒng)(7)關于α1的1-D分岔圖及其相應的最大Lyapunov指數(shù)譜

圖2給出了系統(tǒng)(7)在固定參數(shù)下的2-D分岔圖、局部放大圖及其產(chǎn)生的吸引子.可見其吸引子產(chǎn)生共存現(xiàn)象.選取初值s1=0.309 1，s2=0.263 8，固定參數(shù)a=1.367 4，b=1.761 1，η=1.241 7，得到如圖2a所示的雙參數(shù)分岔圖，其中不同顏色代表不同的周期，且由1周期開始.經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)，系統(tǒng)從穩(wěn)定走向混沌的路徑主要是通過flip分岔.具體來說，隨著α1,α2的增大，參數(shù)(α1,α2)首先穿越棕色區(qū)域到達綠色區(qū)域，使得系統(tǒng)發(fā)生2周期分岔；接下來，由綠色區(qū)域穿越到黃色區(qū)域，發(fā)生4周期分岔；最終，從黃色區(qū)域進入黑色區(qū)域，陷入混沌.還能看到，圖2a中間部分呈現(xiàn)出類似“皇冠”的形狀.將“皇冠”部分局部放大，則得到圖2b.仔細觀察可以清楚地看到，“皇冠”內部含有些許雜點，而這些雜點是由于吸引子的共存所產(chǎn)生的.在雜點區(qū)域選取α1=α2=7.876 8，其他參數(shù)固定不變，數(shù)值模擬出系統(tǒng)在該組參數(shù)下的吸引子及其吸引盆，結果如圖2c所示.可以發(fā)現(xiàn)，圖2c中確實有2組吸引子共存，一組是關于對角線對稱的紅色4周期點，另一組是位于對角線上的1片黑色弱吸引子.由此即可說明吸引子共存現(xiàn)象的產(chǎn)生是雜點存在的理由.

圖2 系統(tǒng)(7)在(α1,α2)平面的雙參數(shù)分岔圖、局部放大結果及其產(chǎn)生的吸引子

令2家企業(yè)的調整速度相等，即α1=α2=α.圖3給出了系統(tǒng)(7)的吸引子與其吸引盆的演化過程以及全局分岔的發(fā)生過程.選取初值s1=0.780 2，s2=0.081 1，固定參數(shù)a=3.303 2，b=1.105 5，η=1.876 9.圖3a中，α=2.059 96時，2組吸引子共存，即位于黃色區(qū)域的紅色12周期點和位于對角線上淺藍區(qū)域的Milnor吸引子,其中黃色與淺藍區(qū)域分別為其對應的吸引域.另外，圖3a中的深藍區(qū)域表示逃逸域.隨著α增加至2.066 85，紅色12周期點演化為12周期不變環(huán)，關于對角線對稱分布在4部分黃色吸引域內，且每一部分都含有3個不變環(huán)，如圖3b所示.而當α=2.071 6時，各個部分的不變環(huán)相互融合在一起，形成4片無規(guī)律的混沌吸引子，如圖3c所示.仔細觀察圖3c可以發(fā)現(xiàn)，4片紅色混沌吸引子與其黃色的吸引域邊界發(fā)生接觸.這種吸引子與其吸引盆邊界相接觸的情況，是全局分岔的一種類型，也稱之為“邊界危機”.當α增大到2.072 2，如圖3d所示，混沌吸引子及其吸引盆在經(jīng)過全局分岔后發(fā)生破裂，共存消失，只留下對角線上的Milnor吸引子.能夠觀察到，雖然吸引子和吸引盆被摧毀，但仍能看到它們的殘留部分，破裂后的混沌吸引子形成“魂魄”依存于原來的吸引域，圖3d并不是完全純凈的淺藍吸引域.

a.α=2.059 96； b.α=2.066 85； c.α=2.071 6； d.α=2.072 2.

選取初值s1=0.396 5，s2=0.061 6，固定參數(shù)α2=2.344 1，a=5.183 6，b=2.077 6，η=1.67，圖4數(shù)值模擬了系統(tǒng)(7)在不同調整速度下吸引子的演化狀態(tài).當α1=1.856 8時，如圖4a所示，存在4周期點.而隨著α1增大至2.012 8，圖4a中的4周期點演化為圖4b中的8周期點，系統(tǒng)(7)發(fā)生了倍周期分岔.此時，圖4a，b都表示系統(tǒng)處于穩(wěn)定狀態(tài).當α1=2.131 8時，系統(tǒng)開始處于不穩(wěn)定狀態(tài)，8周期點演化為8片內部結構看起來較為簡單的混沌吸引子，見圖4c.隨著α1進一步增加至2.216 8，8片混沌吸引子兩兩融合，變?yōu)?片結構較為復雜的混沌吸引子，如圖4d所示.當α1=2.266 8時，混沌吸引子的內部結構不再清晰，變得更為復雜，其面積也隨著α1的增大而增大，如圖4e所示.當α1=2.326 8時，見圖4f，4片混沌吸引子兩兩相互融合，演化為2片更大的混沌吸引子，此時，內部結構同樣復雜且不清晰.分析圖4可以發(fā)現(xiàn)，隨著α1的增大，系統(tǒng)(7)由剛開始的穩(wěn)定狀態(tài)轉向混沌狀態(tài)，暗示著市場由穩(wěn)定陷入無序混亂的情形.這表明，企業(yè)需要適當控制調整速度，適時調整策略，避免自身陷入混亂.

a.α1=1.856 8； b.α1=2.012 8； c.α1=2.131 8； d.α1=2.216 8； e.α1=2.266 8； f.α1=2.326 8.

4 結 論

構建了一個具有有限理性的兩階段動態(tài)服務雙寡頭經(jīng)濟學模型.首先得到系統(tǒng)參數(shù)的取值范圍，并對它的4個平衡點進行穩(wěn)定性分析，利用邊界均衡點Jacobian矩陣的特征值來判斷3個邊界均衡點的類型及穩(wěn)定性，利用Jury判據(jù)得到系統(tǒng)唯一Nash均衡點的局部穩(wěn)定性條件.隨后，通過數(shù)值模擬討論分析系統(tǒng)出現(xiàn)的動態(tài)復雜行為.利用1-D分岔圖和最大Lyapunov指數(shù)研究調整速度的變化對系統(tǒng)產(chǎn)生的影響，結果發(fā)現(xiàn)，隨著調整速度的增大，系統(tǒng)會由穩(wěn)定狀態(tài)陷入混沌.此外，利用雙參數(shù)分岔圖研究系統(tǒng)通向混沌的路徑時發(fā)現(xiàn)，系統(tǒng)通過flip分岔的方式陷入混沌.由數(shù)值模擬驗證了吸引子共存現(xiàn)象的產(chǎn)生是2-D分岔圖中雜點存在的理由.最后，借助吸引盆和吸引子的演化狀態(tài)，對系統(tǒng)進行全局動力學分析發(fā)現(xiàn)，隨著調整速度的增大，吸引子與其吸引盆接觸發(fā)生全局分岔.上述研究結果可以說明，參數(shù)的微小改變可以引起市場的巨大波動，甚至導致市場陷入無序混亂的狀態(tài).由此可以給企業(yè)提供一定的經(jīng)營和管理啟示，企業(yè)應當適時調整策略，避免自身陷入混亂.