加權(quán)迭代最小二乘法在線估計(jì)鋰電池容量研究

崔一凡，鄭岳久

（上海理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，上海 200093）

0 引言

面對(duì)日趨嚴(yán)重的能源短缺與環(huán)境污染問題，環(huán)境友好的電動(dòng)汽車應(yīng)用越來越廣泛。鋰離子動(dòng)力電池作為電動(dòng)汽車的核心部件，具有比能量高、功率密度大、質(zhì)量輕等優(yōu)點(diǎn)。車輛運(yùn)行時(shí)，電池管理系統(tǒng)（Battery Management System，BMS）中的電池狀態(tài)估計(jì)影響車輛的整體控制，尤其是關(guān)乎電池的安全性與耐久性。容量作為電池的重要性能參數(shù)，是BMS 中所有管理算法的重要輸入。然而，電動(dòng)汽車使用過程中的充放電循環(huán)會(huì)使鋰離子電池老化、性能逐漸降低，電池容量的在線精準(zhǔn)估計(jì)成為一項(xiàng)難題。

目前關(guān)于電池容量估計(jì)的研究比較豐富，估計(jì)方法分為基于經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ偷娜萘款A(yù)測(cè)方法與基于數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的容量估計(jì)方法兩種?；诮?jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ偷娜萘款A(yù)測(cè)方法利用電池的使用循環(huán)歷史實(shí)現(xiàn)容量的估計(jì)與預(yù)測(cè)，例如Song 等研究了動(dòng)態(tài)工況下電池的壽命衰減情況，但由于經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ蜑殚_環(huán)模型，精度難以保證；韓雪冰對(duì)容量衰減模型進(jìn)行在線校正，但考慮到實(shí)際工況的復(fù)雜性、電池的一致性以及經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ蛥?shù)的失配問題，電池容量的在線估計(jì)仍難以實(shí)現(xiàn)?；跀?shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的容量估計(jì)方法主要利用充放電數(shù)據(jù)實(shí)現(xiàn)電池容量的預(yù)測(cè)與估計(jì)，根據(jù)原理可分為基于電池的某種特征和基于充放電電量變化與對(duì)應(yīng)荷電狀態(tài)（State of Charge，SOC）變化之比兩大類?；陔姵靥卣鞯娜萘抗烙?jì)方法一般適用于恒流充電工況，常用特征包括電池差分電壓（Differential Voltage，DV）、充放電曲線以及增量容量（Incremental Capacity，IC）曲線等。但該類方法的電池特征參數(shù)多從完整的充放電曲線中提取，耗時(shí)長(zhǎng)且不符合實(shí)車運(yùn)行狀況?；诔浞烹婋娏孔兓c對(duì)應(yīng)SOC 變化之比的方法又稱為SOC-電量增益法，適用于動(dòng)態(tài)工況下的電池容量估計(jì)。常用SOC-電量增益法為兩點(diǎn)間累計(jì)電量法，簡(jiǎn)稱為“兩點(diǎn)法”，即選擇兩個(gè)不同時(shí)刻點(diǎn)，根據(jù)兩點(diǎn)間的SOC 變化值與電量變化值求得電池容量。但該法中兩點(diǎn)的選擇多基于經(jīng)驗(yàn)，有很大隨意性?；诖?，本文在SOC-電量增益法的基礎(chǔ)上提出一種基于全SOC 區(qū)間內(nèi)的電池容量估計(jì)方法，降低了隨機(jī)選擇導(dǎo)致的誤差，有效提高了在線估計(jì)精度。

1 SOC-電量增益法研究現(xiàn)狀

SOC-電量增益法的原理如式（1）所示，SOC 與電池容量的關(guān)系可表示為：

式中，

C

為電池總?cè)萘浚?p>ΔQ

為電量變化量，

ΔSOC

為SOC 變化量，

SOC

(

t

)為

t

時(shí)刻電池的荷電狀態(tài)，

SOC

(

t

)為

t

時(shí)刻電池的荷電狀態(tài)，

I

(

t

)為

t

時(shí)刻的電池電流，

η

為庫倫效率（一般

η

≈1），3 600 為將秒換算成小時(shí)的因數(shù)。

作為一個(gè)間接量，SOC 不能直接被測(cè)量，通常通過對(duì)狀態(tài)參數(shù)的計(jì)算得到。目前主流的SOC 估計(jì)算法包括開路電壓法、基于現(xiàn)代控制理論的最優(yōu)估計(jì)方法等。開路電壓法是一種直接且復(fù)雜度較低的方法，然而獲得準(zhǔn)確的開路電壓（Open Circuit Voltage，OCV）值需要滿足長(zhǎng)時(shí)間靜置的條件，因此在車輛行駛過程中并不能保證容量估計(jì)的準(zhǔn)確度。基于現(xiàn)代控制理論的最優(yōu)估計(jì)方法是目前常用方法，其通過最優(yōu)估計(jì)算法直接或間接地進(jìn)行SOC 估計(jì)，進(jìn)而預(yù)測(cè)電池容量。常用最優(yōu)估計(jì)算法包括最小二乘法（Least Squares，LS）、卡爾曼濾波法（Kalman Filter，KF）以及粒子濾波法（Particle Filter，PF），復(fù)雜度均較高。

SOC-電量增益法本質(zhì)上是一個(gè)線性回歸問題?；诖?，Plett提出一種加權(quán)總最小二乘（Weighted Total Least Squares，WTLS）法，將電流傳感器噪聲與SOC 誤差噪聲納入考慮，以實(shí)現(xiàn)電池容量的精確估計(jì)。使用線性回歸的方法不僅可以避免兩點(diǎn)法存在的缺點(diǎn)，還可以通過添加權(quán)重減少電量積分精度和SOC 估計(jì)精度對(duì)電池容量估計(jì)的影響。

根據(jù)以上研究結(jié)果，本文提出一種基于OCV 的容量在線估計(jì)方法，使用加權(quán)迭代最小二乘法（Iteratively Reweighted Least Squares，IRLS）提高在線估計(jì)的精度和魯棒性，實(shí)現(xiàn)全SOC 區(qū)間的電池容量估計(jì)。該法首先基于一階RC 模型，采用帶遺忘因子的最小二乘法（Forgetting Factor Recursive Least Square，F(xiàn)FRLS），在不同電池壽命條件下進(jìn)行OCV 在線辨識(shí)；其次利用OCV 在線估計(jì)結(jié)果間接獲得SOC 值，基于SOC-電量增益法的思路，使用IRLS算法估計(jì)電池容量。該法能克服兩點(diǎn)法存在的隨意性，在動(dòng)態(tài)工況下具有較高的容量估計(jì)精度和較小的計(jì)算量。

2 容量在線估計(jì)方法

2.1 基于FFRLS算法的OCV 在線辨識(shí)

等效電路模型簡(jiǎn)單實(shí)用、精度可靠，在BMS 系統(tǒng)中廣泛使用。常用的電池等效電路模型為

n

-RC 模型，該模型包含描述電池OCV 的電壓源部分和描述電池內(nèi)部各種擴(kuò)散與活化極化過程的RC 并聯(lián)元件。理論上，RC 元件的個(gè)數(shù)越多，模型精度越高，但也增加了計(jì)算的復(fù)雜程度。一階和二階RC 模型能較為準(zhǔn)確地描述電池動(dòng)態(tài)特性，且計(jì)算量適中，因此成為三元鋰離子電池（LiNiCOMnO，NCM）的首選?？紤]到一階RC 模型已經(jīng)可以達(dá)到足夠高的端電壓估計(jì)精度，且模型結(jié)構(gòu)更簡(jiǎn)單，計(jì)算量更小，因此選取該模型進(jìn)行OCV 的在線辨識(shí)。如圖1 所示，一階RC 模型包括理想電源（用OCV 表示）、歐姆內(nèi)阻

R

以及一個(gè)RC 并聯(lián)元件。模型的外特性方程可表示為：

式中，

U

為極化內(nèi)阻兩端電壓，

U

為輸出端電壓，

I

為電流，

R

為極化內(nèi)阻，

τ

為時(shí)間常數(shù)，

τ

=

R

C

。

Fig.1 First-order RC model圖1 一階RC 模型

帶遺忘因子

λ

的FFRLS算法能消除時(shí)變參數(shù)系統(tǒng)中舊數(shù)據(jù)對(duì)新數(shù)據(jù)辨識(shí)結(jié)果的影響，提高算法的收斂速度以及辨識(shí)時(shí)變參數(shù)的能力，適用于動(dòng)態(tài)工況下的參數(shù)辨識(shí)。標(biāo)準(zhǔn)的最小二乘形式為

y

=

φθ

+

e

，帶遺忘因子

λ

的FFRLS算法遞歸方程如表1 所示。一般情況下

λ

=0.95

～

1，經(jīng)過參數(shù)調(diào)整，發(fā)現(xiàn)

λ

=0.98 時(shí)，辨識(shí)結(jié)果具有良好的穩(wěn)定性與收斂速度。根據(jù)一階RC 模型的外特性方程，確定算法的輸出向量、輸入向量以及待辨識(shí)參數(shù)的具體表達(dá)式，并代入表1 中的遞歸公式，即實(shí)現(xiàn)了FFRLS算法的參數(shù)辨識(shí)。

Table 1 Parameter identification process of FFRLS algorithm表1 FFRLS 參數(shù)辨識(shí)過程

2.2 一階RC 模型的參數(shù)辨識(shí)方案

一階RC 模型中包含OCV、歐姆內(nèi)阻

R

、極化內(nèi)阻

R

和時(shí)間常數(shù)

τ

4個(gè)參數(shù)，隨著電池的老化，模型參數(shù)也隨之發(fā)生變化，因此需要進(jìn)行在線辨識(shí)。理論上以上4個(gè)參數(shù)均需要辨識(shí)，但由于觀測(cè)量只有電壓、電流信號(hào)，若待辨識(shí)參數(shù)數(shù)量較多，實(shí)際應(yīng)用時(shí)可能會(huì)出現(xiàn)結(jié)果波動(dòng)的情況。因此，為提高算法的可靠性且降低計(jì)算復(fù)雜度，可以簡(jiǎn)化待辨識(shí)參數(shù)，只辨識(shí)對(duì)模型輸出精度影響較大的部分參數(shù)，將其他參數(shù)當(dāng)作與SOC 相關(guān)的已知參數(shù)。模型中不同參數(shù)對(duì)輸出精度的影響程度不同，可用模型參數(shù)的敏感性描述。文獻(xiàn)［9］對(duì)電池整個(gè)SOC 范圍和生命周期內(nèi)的模型精度進(jìn)行分析，考察各參數(shù)的敏感性，最終確定歐姆內(nèi)阻

R

為敏感性最高的關(guān)鍵參數(shù)。因此可以認(rèn)為，本文采用的一階RC 模型輸出精度受歐姆內(nèi)阻

R

的影響較大，受極化內(nèi)阻

R

和時(shí)間常數(shù)

τ

的影響較小。即隨著電池的老化，歐姆內(nèi)阻

R

作為影響模型精度的關(guān)鍵參數(shù)，應(yīng)不斷進(jìn)行辨識(shí)與更新，而極化內(nèi)阻

R

和時(shí)間常數(shù)

τ

則可作為已知參數(shù)。通過以上分析，確定待辨識(shí)參數(shù)為OCV 和歐姆內(nèi)阻

R

。

根據(jù)一階RC 模型確定FFRLS算法的輸出與輸入向量，將式（3）變形為式（4），得到算法的輸出向量、輸入向量及待辨識(shí)參數(shù)分別如式（5）、式（6）、式（7）所示。

式中，

U

為實(shí)測(cè)端電壓值；極化電壓

U

由式（8）迭代計(jì)算得到，其中

R

、

τ

、

R

均由當(dāng)前SOC 查表得到。基于新鮮電池25℃條件下的新標(biāo)歐洲循環(huán)測(cè)試（New European Driving Cycle，NEDC）測(cè)試數(shù)據(jù)和遺傳算法得到極化內(nèi)阻

R

和時(shí)間常數(shù)

τ

的初始值，以此作為參考值。

2.3 采用加權(quán)迭代最小二乘法的容量估計(jì)

最小二乘線性回歸問題的本質(zhì)是求(

y

-

Δy

)=

kx

的解，該式假設(shè)在因變量

y

上存在噪聲。將式（1）變形為：

式中，

x

表示一段時(shí)間間隔內(nèi)電量的變化，

y

表示對(duì)應(yīng)時(shí)間間隔內(nèi)SOC 的變化；

β

為常數(shù)值，

β

為系數(shù)值，均屬于待估值；

ν

包含SOC 估計(jì)過程中的各類誤差噪聲。

電池總?cè)萘恐档挠?jì)算公式為：

SOC 由OCV 在線估計(jì)值查表得到，因變量

y

易出現(xiàn)異常值或隨機(jī)誤差項(xiàng)

ν

，從而產(chǎn)生異方差性，此時(shí)再采用最小二乘法估計(jì)模型會(huì)使參數(shù)精度降低且不具有漸近有效性。因此，引入迭代加權(quán)最小二乘回歸系數(shù)，采用IRLS 代替最小二乘法進(jìn)行參數(shù)量估計(jì)。根據(jù)前一次回歸殘差大小確定因變量

y

中各觀測(cè)值的權(quán)重，將SOC 存在的誤差或異常值情況考慮在內(nèi)。

將式（10）轉(zhuǎn)換為矩陣形式，表示為：

式中，

Y

為

n

*1 觀測(cè)向量；

X

為

n

*2 已知矩陣；

H

為參數(shù)估計(jì)量，

H

=[

β

,

β

]；

V

表示隨機(jī)誤差向量。利用最小二乘法解得參數(shù)

H

的估計(jì)值為：

3 耐久性實(shí)驗(yàn)

選用同一批次的4個(gè)18650 電池進(jìn)行循環(huán)壽命實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)參數(shù)如表2 所示。將溫度、充放電倍率和放電深度作為影響電池老化的因素，設(shè)計(jì)如表3 所示的實(shí)驗(yàn)方案。實(shí)驗(yàn)在45℃、25℃和10℃溫度下交替進(jìn)行，分別代表夏季高溫、常規(guī)溫度以及冬季低溫的工作條件；電池充放電循環(huán)過程中的SOC 范圍分別為0%～100%和30%～80%，放電深度（DOD）為100%和50%；以標(biāo)準(zhǔn)充電電流0.9A 進(jìn)行充電，選擇6A、3A 的大倍率電流進(jìn)行放電以加速電池老化。

Table 2 Basic parameters of the tested batteries表2 電池基本性能參數(shù)

Table 3 Experimental scheme表3 實(shí)驗(yàn)方案

圖2 為實(shí)驗(yàn)流程，包括一個(gè)循環(huán)周期的電池衰減、基本性能測(cè)試以及對(duì)應(yīng)的NEDC 動(dòng)態(tài)工況測(cè)試，其中基本性能測(cè)試包括標(biāo)準(zhǔn)容量測(cè)試和電池混合脈沖功率性能測(cè)試（Hybrid Pulse Power Characterization，HPPC）。

Fig.2 Experiment procedure圖2 實(shí)驗(yàn)流程

首先進(jìn)行25℃下的基本性能測(cè)試與NEDC 動(dòng)態(tài)工況實(shí)驗(yàn)，隨后調(diào)節(jié)溫度至某一衰減環(huán)境溫度并以0.9A 的標(biāo)準(zhǔn)充電電流將電池SOC 調(diào)至實(shí)驗(yàn)所需狀態(tài)，最后按所設(shè)放電電流進(jìn)行一個(gè)循環(huán)周期的充放電循環(huán)。當(dāng)電池在某一衰減環(huán)境溫度下完成一個(gè)充放電循環(huán)周期后，調(diào)節(jié)溫度至25℃進(jìn)行基本性能與NEDC 測(cè)試。在每個(gè)衰減環(huán)境溫度下重復(fù)以上過程2次，整個(gè)實(shí)驗(yàn)周期以電池容量衰減至20%為結(jié)束點(diǎn)。

4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

4.1 電池衰減特性

共獲得4 塊電池包括初始狀態(tài)在內(nèi)的14 次標(biāo)準(zhǔn)容量測(cè)試數(shù)據(jù)。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，4 塊電池的容量逐漸減少，容量保持率逐漸下降，具體如圖3 所示。雖然電池還未衰減至電池壽命終止值，但通過已有數(shù)據(jù)足夠驗(yàn)證算法的估計(jì)效果。

Fig.3 Measured capacity results圖3 容量測(cè)試結(jié)果

25℃下的HPPC 測(cè)試可以獲得電池OCV 和內(nèi)阻數(shù)據(jù)。以Cell2 電池為例，初始狀態(tài)下標(biāo)定的OCV-SOC 曲線如圖4 所示。一般研究中默認(rèn)鋰離子電池的OCV-SOC 曲線隨電池衰減變化不明顯，在算法的開發(fā)過程中統(tǒng)一采用電池初始狀態(tài)下的OCV-SOC 曲線作為標(biāo)定參數(shù)。但在由OCV辨識(shí)結(jié)果間接估計(jì)SOC 的過程中，因OCV 與SOC 的對(duì)應(yīng)關(guān)系隨壽命變化而導(dǎo)致的SOC 估計(jì)誤差是本文需要考慮的因素。

Fig.4 OCV-SOC curve of cell 2 in initial state圖4 Cell 2 初始狀態(tài)下OCV-SOC 曲線

采用遺傳算法，根據(jù)NEDC 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)可以實(shí)現(xiàn)一階RC模型參數(shù)的線下辨識(shí)。圖5 為基于Cell2 電池NEDC 數(shù)據(jù)的模型參數(shù)辨識(shí)結(jié)果，可以看出隨著實(shí)驗(yàn)的進(jìn)行，模型參數(shù)均有增大趨勢(shì)。

Fig.5 Model parameter identification results at different aging levels of Cell 2圖5 Cell 2 不同衰減程度下參數(shù)辨識(shí)結(jié)果

4.2 OCV 在線辨識(shí)結(jié)果

以Cell2 電池為例，基于新鮮電池25℃下NEDC 動(dòng)態(tài)工況數(shù)據(jù)得到的OCV 和歐姆內(nèi)阻參數(shù)辨識(shí)結(jié)果如圖6 所示。圖中OCV 的參考值為根據(jù)當(dāng)前SOC 值插值查表得到，

R

參考值為根據(jù)HPPC 測(cè)試計(jì)算出的

R

值查表得到?？梢钥闯?，參數(shù)在線辨識(shí)結(jié)果整體上與參考值基本吻合。以第32次循環(huán)和第224次循環(huán)的Cell 2為例，圖7（a）為電池在不同老化程度下的OCV辨識(shí)結(jié)果；圖7（b）為根據(jù)圖7（a）的OCV辨識(shí)結(jié)果，由SOC-OCV標(biāo)定曲線間接估計(jì)出的SOC估計(jì)值。

Fig.6 Parameter online identification results based on NEDC operating conditions of fresh batteries圖6 新鮮電池NEDC 工況參數(shù)在線辨識(shí)結(jié)果

4.3 容量估計(jì)結(jié)果

基于Cell2 電池的SOC 估計(jì)結(jié)果和NEDC 數(shù)據(jù)，兩點(diǎn)法與本文提出的IRLS算法在不同衰減程度下的電池容量估計(jì)結(jié)果和精度對(duì)比如圖8 所示。從圖中可以看出，兩點(diǎn)法估計(jì)誤差大且穩(wěn)定性較低，而IRLS算法在整個(gè)SOC 范圍內(nèi)能夠保證較高的估計(jì)精度，且誤差穩(wěn)定在一定范圍內(nèi)。圖9 為使用IRLS算法得到的Cell1、Cell3、Cell4 3 塊電池在不同衰減程度下的容量估計(jì)結(jié)果，圖中容量實(shí)測(cè)值由耐久性實(shí)驗(yàn)環(huán)節(jié)中的標(biāo)準(zhǔn)容量測(cè)試得到。可以看出，IRLS算法的容量估計(jì)精度較高，誤差均在2%以內(nèi)。

Fig.7 Identification results under different cycles圖7 不同衰減程度下參數(shù)辨識(shí)結(jié)果

Fig.8 Capacity estimation results of Cell 2圖8 Cell 2 容量估計(jì)結(jié)果

Fig.9 Capacity estimation result of Cell 1，3，4圖9 Cell 1、3、4 容量估計(jì)結(jié)果

5 結(jié)論

本文基于SOC-電量增益法的容量估計(jì)思路，采用IRLS 法計(jì)算

ΔQ

與

ΔSOC

之間的線性關(guān)系，在全SOC 區(qū)間實(shí)現(xiàn)了容量的在線估計(jì)。首先利用FFRLS算法實(shí)現(xiàn)包含OCV 和

R

的一階RC 模型參數(shù)在線辨識(shí)，然后通過OCV 辨識(shí)結(jié)果查表間接得到SOC 估計(jì)值。在容量估計(jì)過程中，IRLS算法采用的迭代加權(quán)避免了兩點(diǎn)法選點(diǎn)的隨機(jī)性以及SOC 估計(jì)存在的誤差，確保了容量估算精度。通過模擬實(shí)車運(yùn)行條件進(jìn)行不同老化條件下的電池耐久性實(shí)驗(yàn)以及相應(yīng)的NEDC 動(dòng)態(tài)工況測(cè)試，結(jié)果表明，與兩點(diǎn)法相比，IRLS算法具有更高的估計(jì)精度和更好的魯棒性。本文采用的是18650 電池，在后續(xù)研究中，會(huì)考慮其他電池的衰減特性，對(duì)模型的選擇以及對(duì)應(yīng)的參數(shù)辨識(shí)方案進(jìn)行改進(jìn)，提高算法的普適性。此外，亦會(huì)考慮將本文方法與適用于恒流工況的容量在線估計(jì)方法相結(jié)合，以實(shí)現(xiàn)對(duì)全工況的容量估計(jì)。