基于頻譜分析的水體波浪-紊動(dòng)流速分離方法*

段雨新，張占飛，張英豪

(1：聊城大學(xué)地理與環(huán)境學(xué)院, 聊城 252059) (2：聊城大學(xué)季羨林學(xué)院, 聊城 252059)

紊流作為河、湖以及濱海環(huán)境中一種常見(jiàn)的水體運(yùn)動(dòng)形式，是水體中物質(zhì)輸移的基本動(dòng)力. 水體的紊動(dòng)水平直接影響著水體中泥沙、污染物質(zhì)以及被動(dòng)標(biāo)量(對(duì)流動(dòng)不產(chǎn)生影響的標(biāo)量，如熱量、物質(zhì)濃度場(chǎng)等)的擴(kuò)散與輸移過(guò)程[1-2]. 由于紊流條件下水質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)要素具有隨機(jī)性與無(wú)序性，水體紊動(dòng)水平通常由統(tǒng)計(jì)方法進(jìn)行表征[3]. 如明渠流條件下，水體紊動(dòng)強(qiáng)度可由統(tǒng)計(jì)理論中瞬時(shí)流速的標(biāo)準(zhǔn)差進(jìn)行表示. 然而，天然狀態(tài)下河、湖以及濱海環(huán)境中水體還常常受到風(fēng)浪影響，且風(fēng)浪影響下由水質(zhì)點(diǎn)周期性運(yùn)動(dòng)引起的流速變化通常大于水體紊動(dòng)帶來(lái)的流速變化[4-6]，單純計(jì)算瞬時(shí)流速標(biāo)準(zhǔn)差會(huì)明顯高估水體紊動(dòng)強(qiáng)度. 將水質(zhì)點(diǎn)紊動(dòng)流速與周期運(yùn)動(dòng)進(jìn)行分離，不僅能夠用于受波浪影響水體的紊動(dòng)分析，進(jìn)而還有助于研究天然水體中物質(zhì)、能量的擴(kuò)散與輸移過(guò)程.

目前，有關(guān)水體波浪-紊動(dòng)流速分離的方法有很多. Benilov等[7]指出，與水體自由表面波動(dòng)相關(guān)的水質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)可看做由波浪引起的軌道運(yùn)動(dòng)，相反，不相關(guān)的水質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)則是紊動(dòng). 利用這一原理，Benilov和Filyushkin通過(guò)對(duì)水體流速以及水面位移進(jìn)行同步測(cè)量，實(shí)現(xiàn)了波浪軌道流速與紊動(dòng)流速的分離[7]. 然而，該方法需要采用壓力傳感器或波浪計(jì)對(duì)水面位移進(jìn)行同步測(cè)量. Trowbridge等同時(shí)使用兩臺(tái)流速儀對(duì)水體流速進(jìn)行觀測(cè)，通過(guò)對(duì)比兩臺(tái)流速儀的流速數(shù)據(jù)，認(rèn)為兩者之間存在良好相關(guān)性的運(yùn)動(dòng)為波浪軌道流速，而相關(guān)性較差的則為紊動(dòng)流速[6,8]. 然而，這種方法需要使用兩臺(tái)流速儀進(jìn)行同步觀測(cè). 近些年，對(duì)于實(shí)驗(yàn)室制造的具有單一周期的規(guī)則波浪，許多學(xué)者采用相位平均法(phase-averaging method)對(duì)波浪-紊動(dòng)流速進(jìn)行分離[9-11]. 相位平均法通過(guò)將瞬時(shí)流速的時(shí)間序列按照波周期劃分為不同的序列段，每個(gè)序列段則包含一個(gè)完整波形，通過(guò)對(duì)不同序列段相同相位的瞬時(shí)流速進(jìn)行平均，得到相位平均流速，各序列段瞬時(shí)流速與相應(yīng)相位平均流速的差值則為紊動(dòng)流速. 然而，相位平均法僅適用于實(shí)驗(yàn)室水槽中制造的具有單一周期的規(guī)則波浪的紊動(dòng)流速分離，而自然條件下波浪往往由不同周期、波高以及波長(zhǎng)的波浪組成[12]，相位平均法不能用于野外條件下水體波浪-紊動(dòng)流速的分離.

本文根據(jù)流速的頻譜分布特征提出了一種新的用于水體波浪-紊動(dòng)流速分離方法，該方法不需要使用壓力傳感器或波浪計(jì)對(duì)水面位移進(jìn)行同步測(cè)量，僅需通過(guò)一臺(tái)流速儀對(duì)水體流速進(jìn)行高頻測(cè)量，便可將水體波浪軌道流速與紊動(dòng)流速進(jìn)行分離. 通過(guò)驗(yàn)證，該方法對(duì)實(shí)驗(yàn)室規(guī)則波浪條件以及野外不規(guī)則波浪條件下水體波浪-紊動(dòng)流速的分離均具有良好效果.

1 原理與方法

波浪作用下，水體瞬時(shí)流速u可表示為：

u=U+uw+u′

(1)

式中，U為時(shí)均流速，uw為波浪軌道流速，u′為紊動(dòng)流速. 時(shí)均流速為瞬時(shí)流速時(shí)間序列的算數(shù)平均，即：

(2)

式中，T為測(cè)量時(shí)間.

基于頻譜分析的水體波浪-紊動(dòng)流速分離方法(頻譜分析法)主要根據(jù)瞬時(shí)流速的頻譜分布特征對(duì)流速進(jìn)行分離. 波浪作用下，瞬時(shí)流速的能量譜(power spectral density, PSD)分布中存在明顯峰域，該峰域反映了水體波浪信息，且峰域中最大值所對(duì)應(yīng)的頻率為波浪主頻率，而峰域以外則反映了水體紊動(dòng)信息. 波浪-紊動(dòng)流速的分離，主要是在PSD中將反映波浪信息的峰域部分與其余部分進(jìn)行分離. 具體步驟如下：

1)對(duì)瞬時(shí)流速的時(shí)間序列值(u(t))進(jìn)行快速傅里葉變換，得到Fu(f)(f為頻率). 不同頻率下的信號(hào)強(qiáng)度As與相位φ分別表示為：

(3)

(4)

式中，R(Fu)與I(Fu)分別表示Fu的實(shí)部與虛部. 如圖1a所示，信號(hào)強(qiáng)度As(f)關(guān)于f=F/2(F為流速測(cè)量頻率)對(duì)稱. 因此，我們只需對(duì)f=0～F/2范圍內(nèi)的頻譜進(jìn)行處理，而后進(jìn)行對(duì)稱處理. 在雙對(duì)數(shù)坐標(biāo)系中繪制As(f)(f=0～F/2)散點(diǎn)圖，得到瞬時(shí)流速的PSD分布圖(圖1b)，且PSD中的峰域(圖1b中“+”號(hào)所示)反映了水體波浪信息，峰域以外(圖1b中黑色圓點(diǎn)所示)則反映了水體紊動(dòng)信息.

2)在f=0～F/2范圍內(nèi)，根據(jù)PSD中波峰的頻域人為設(shè)定反映波浪信息的頻率范圍(波浪窗口)，使得波浪窗口涵蓋整個(gè)峰域. 如圖1b所示，波浪窗口的邊界設(shè)為fl(低頻邊界)和fh(高頻邊界). 此外，選取頻率范圍(fL～fH)，使得該頻域包含整個(gè)波浪窗口(圖1b).

3)在雙對(duì)數(shù)坐標(biāo)系下，對(duì)區(qū)間(fL～fl)和(fh～fH)內(nèi)的As進(jìn)行線性擬合(圖1b中紅色直線所示). 在(fl～fh)范圍內(nèi)，線性擬合得到相應(yīng)頻率下的信號(hào)強(qiáng)度At反映了水體紊動(dòng)信息，擬合線以上部分則反映了波浪信息，且信號(hào)強(qiáng)度可表示為Aw=As-At. 波浪窗口以外部分，水體紊動(dòng)信號(hào)強(qiáng)度設(shè)為At=As，波浪信號(hào)強(qiáng)度設(shè)為Aw=0.

圖1 瞬時(shí)流速的能量譜分布((a)為線性坐標(biāo)系，(b)為雙對(duì)數(shù)坐標(biāo)系)Fig.1 Power spectral density (PSD) of instantaneous velocity plotted in linear coordinate system (a) and logarithmic coordinate system (b)

4)假設(shè)信號(hào)相位角φ不變，確定波浪軌道流速傅里葉參數(shù)Fw與紊動(dòng)流速傅里葉參數(shù)Ft：

Fw=Aw[cos(φ)+isin(φ)]

(5)

Ft=At[cos(φ)+isin(φ)]

(6)

5)對(duì)Fw和Ft進(jìn)行逆傅里葉變換(IFFT)，得到波浪軌道流速時(shí)間序列uw(t)與紊動(dòng)流速時(shí)間序列u′(t).

根據(jù)重建的uw(t)與u′(t)，我們采用波浪軌道流速與紊動(dòng)流速時(shí)間序列的標(biāo)準(zhǔn)差分別表征波浪流速大小uw,RMS與紊動(dòng)強(qiáng)度σ，即：

(7)

(8)

(9)

式中，σx、σy和σz分別表示3個(gè)方向上水體的紊動(dòng)強(qiáng)度.

2 結(jié)果驗(yàn)證與討論

2.1 實(shí)驗(yàn)室數(shù)據(jù)驗(yàn)證

首先，本文將頻譜分析法用于實(shí)驗(yàn)室水槽中制造的規(guī)則波浪的水體波浪-紊動(dòng)流速分離，并將分離結(jié)果與相位平均法進(jìn)行對(duì)比，以驗(yàn)證分離效果. 水槽實(shí)驗(yàn)在美國(guó)麻省理工學(xué)院(MIT)環(huán)境流體力學(xué)實(shí)驗(yàn)室(Nepf Lab)中的波浪水槽中進(jìn)行. 水槽長(zhǎng)24 m，寬0.38 m，高0.38 m；造浪儀安裝于水槽最上游位置，它通過(guò)液壓傳動(dòng)控制槳板前后移動(dòng)，由程序控制以產(chǎn)生具有特定波高和周期的表面波；水槽最下游有一斜坡(坡度為1∶5)以減小波浪反射. 為模擬淺水區(qū)波浪，設(shè)置2組水深(h)與周期(T)參數(shù)(即h=0.4 m、T=2 s以及h=0.45 m、T=1 s). 根據(jù)線性波理論中波長(zhǎng)(λ)、周期以及水深間的關(guān)系(即ω2=(k·g)tanh(k·h)，其中ω(=2π/T)為角頻率，k(=2π/λ)為波數(shù)，g為重力加速度)，2種設(shè)置下波浪波長(zhǎng)分別為λ=6.1 m與13.1 m. 采用三維聲學(xué)多普勒流速儀(ADV，Nortek Vectrino)對(duì)水體流速進(jìn)行高頻測(cè)量. 測(cè)量選用xyz坐標(biāo)系，其中x為順?biāo)鞣较?波浪傳播方向)，y為橫向水流方向，z為垂向水流方向，且3個(gè)方向水體瞬時(shí)流速可分別表示為ux、uy和uz. 流速垂線剖面測(cè)量范圍為z=1.3～25.3 cm(z=0表示床底)，垂向分辨率為1 cm，測(cè)量頻率F=200 Hz，單點(diǎn)測(cè)量時(shí)間6 min. 實(shí)驗(yàn)設(shè)置詳見(jiàn)文獻(xiàn)[10].

圖2a與b分別給出了文獻(xiàn)[10]中S3組次z=24.3 cm處瞬時(shí)流速ux的PSD分布以及采用頻譜分析法分離后的波浪與紊動(dòng)流速時(shí)間序列. 由于該組次波浪設(shè)計(jì)周期T=2 s(表1)，ux的頻譜分布中在f=0.3～0.7 Hz 存在明顯峰域，且由于波浪非線性作用的影響，在2倍頻率范圍f=0.9～1.1 Hz也出現(xiàn)顯著能量(圖2a). 為涵蓋2個(gè)峰域，我們將波浪窗口設(shè)置為fl～fh=0.2～1.5 Hz. 按照上文所述步驟對(duì)瞬時(shí)流速進(jìn)行分離，瞬時(shí)流速(黑色圓點(diǎn))以及分離后的紊動(dòng)流速、波浪軌道流速以及時(shí)均流速時(shí)間序列如圖2b所示. 從圖中可以看出，分離后的紊動(dòng)流速時(shí)間序列中不含有水體周期性運(yùn)動(dòng)；波浪軌道流速變化平滑，剔除了水體不規(guī)則運(yùn)動(dòng).

圖2 文獻(xiàn)[10]中S3組次z=24.3 cm處瞬時(shí)流速ux的PSD分布(a)與分離后的紊動(dòng)、 波浪流速時(shí)間序列(b)以及分別采用頻譜分析法與相位平均法計(jì)算的波浪流速(uw,RMS) 與紊動(dòng)能(TKE)垂向分布(c,d)Fig.2 PSD of instantaneous velocity (ux) at z=24.3 cm for case S3 in reference [10] (a), time series of the decomposed wave and turbulent velocities (b) and vertical distributions of the wave velocity (uw,RMS, (c)) and turbulent kinetic energy (TKE, (d)) calculated by both the spectral analysis method and the phase averaging method

表1 水槽實(shí)驗(yàn)各組次波浪參數(shù)信息以及頻譜分析法與相位平均法計(jì)算下的波浪流速(uw,RMS) 與紊動(dòng)能(TKE)的差異Tab.1 Wave parameters for each flume experimental scenario and deviations of uw,RMS and TKE between calculations using spectral analysis method and phase-averaging method

2.2 野外數(shù)據(jù)驗(yàn)證

野外觀測(cè)在東平湖(山東)展開(kāi). 東平湖是我國(guó)南水北調(diào)工程?hào)|線的主要調(diào)節(jié)湖泊以及山東省西水東調(diào)的水源地，由于北部出湖口受閘門控制，湖泊水體運(yùn)動(dòng)主要受風(fēng)浪影響. 選擇風(fēng)力較大天氣，采用聲學(xué)多普勒流速儀(ADV，Nortek Vector)對(duì)水體流速進(jìn)行定點(diǎn)測(cè)量. 測(cè)量時(shí)水深h=2.55 m，流速測(cè)量位置距床底15 cm處，測(cè)量頻率為F=64 Hz，單點(diǎn)測(cè)量時(shí)間為T=5 min. 測(cè)量選用ENU坐標(biāo)系統(tǒng)，且在ENU坐標(biāo)系下，水質(zhì)點(diǎn)在正東(E)、正北(N)以及垂直向上(U)方向上的流速可表示為ue、un和uu.

圖3 3個(gè)方向瞬時(shí)流速PSD分布圖(a～c)以及分離后的流速時(shí)間序列(d～f)Fig.3 PSDs of instantaneous velocity in three directions (i.e., subplots (a-c)) and time series of the instantaneous velocity and the wave-turbulent velocity after decomposition (i.e., subplots d～f)

3個(gè)方向瞬時(shí)流速的PSD如圖3a～c所示. 從圖中可以看出，ue、un和uu的頻譜分布中均存在明顯峰域，峰域中信號(hào)強(qiáng)度最大值對(duì)應(yīng)頻率為0.5 Hz，波浪主周期T=2 s. 根據(jù)線性波理論，此次測(cè)量過(guò)程中波浪波長(zhǎng)λ=13.0 m，且由于λ>2h，波浪為淺水波. 由于峰域?qū)?yīng)的頻率范圍為0.3～0.7 Hz，我們將波浪窗口的邊界設(shè)為fl～fh=0.3～0.7 Hz. 圖3d～f分別給出了3個(gè)方向瞬時(shí)流速(黑色圓點(diǎn)所示)、波浪軌道流速(紅色實(shí)線)、紊動(dòng)流速(綠色實(shí)線)以及時(shí)均流速(藍(lán)色實(shí)線)的時(shí)間序列. 從圖中可以看出，分離后的波浪流速剔除了水體脈動(dòng)成分，變化平滑，反映了水體的周期性運(yùn)動(dòng)；紊動(dòng)流速時(shí)間序列中去除了低頻的周期變動(dòng)，反映了水體脈動(dòng)變化. 由于波浪為淺水波，且流速測(cè)量位于近床底處，水質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)受床底影響而發(fā)生扭曲，使得測(cè)量處水質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡扁平，水平方向波浪軌道流速(如N方向uw=-0.1～0.1 m/s，圖3e)明顯大于垂向波浪流速(如U方向uw=-0.01～0.01 m/s，圖3f). 波浪軌道流速的差異，使得三個(gè)方向瞬時(shí)流速的頻譜分布存在差異，其中un的峰域強(qiáng)度最大，uu的峰域強(qiáng)度最小，且較小的波浪流速使得uu的波浪-紊動(dòng)流速分離效果在3個(gè)方向流速中較差.

2.3 討論

根據(jù)流速分離步驟，采用頻譜分析法對(duì)水體波浪-紊動(dòng)流速分離過(guò)程中需要設(shè)置波浪窗口. 然而，通常情況下波浪窗口界限模糊，使用者往往不能夠?qū)ζ溥吔邕M(jìn)行準(zhǔn)確確定. 為研究不同波浪窗口頻域設(shè)置對(duì)分離結(jié)果的影響，以野外實(shí)驗(yàn)中瞬時(shí)流速un的時(shí)間序列為例，通過(guò)設(shè)置5組波浪窗口頻域?qū)λ矔r(shí)流速進(jìn)行分離. 5組波浪窗口頻域自寬向窄依次設(shè)置為fl～fh=0.1～1.8、0.2～1.5、0.3～0.7、0.4～0.6以及0.4～0.5 Hz. 如圖4a所示，組次0.4～0.6與0.4～0.5 Hz的窗口頻域設(shè)置均明顯位于峰域內(nèi)部，其余3個(gè)組次的頻域設(shè)置均位于峰域外部，即組次0.4～0.6與0.4～0.5 Hz波浪窗口的頻域設(shè)置并沒(méi)有完全包含整個(gè)峰域. 各頻域設(shè)置下，瞬時(shí)流速以及分離后的波浪流速和紊動(dòng)流速如圖4b～f所示. 為更好地展示分離效果，對(duì)瞬時(shí)流速時(shí)間序列進(jìn)行去均值化，即圖4b～f中瞬時(shí)流速的時(shí)均值為0. 從圖中可以看出，當(dāng)頻域設(shè)置位于峰域外部時(shí)(圖4b～d)，分離后的紊動(dòng)流速時(shí)間序列中不再含有水體低頻的周期運(yùn)動(dòng)，分離效果較好；當(dāng)頻域設(shè)置位于峰域以內(nèi)時(shí)(圖4e～f)，分離后的紊動(dòng)流速時(shí)間序列中仍然含有周期性變化，流速分離效果較差，且頻域設(shè)置范圍越小，分離效果越差. 對(duì)比組次0.1～1.8、0.2～1.5以及0.3～0.7 Hz分離后的波浪軌道流速時(shí)間序列，3種設(shè)置下波浪軌道流速差異在0.5%以內(nèi)，故當(dāng)波浪窗口頻域設(shè)置位于峰域以外時(shí)，不同的頻域設(shè)置對(duì)分離結(jié)果影響較小. 因此，在波浪窗口的頻域設(shè)置中，頻域設(shè)置應(yīng)明顯位于峰域以外，以獲取最佳的分離效果.

為研究流速測(cè)量過(guò)程中測(cè)量頻率對(duì)分離效果的影響，設(shè)置2種較低采樣頻率(F=32、4 Hz)對(duì)野外條件下的水體流速進(jìn)行測(cè)量，并分別采用頻譜分析法對(duì)水體波浪流速與紊動(dòng)流速進(jìn)行分離. 2種采樣頻率設(shè)置下水體的瞬時(shí)流速、波浪流速、紊動(dòng)流速以及時(shí)均流速如圖5所示. 從圖中可以看出，當(dāng)F=32 Hz時(shí)，頻譜分析法仍能對(duì)波浪-紊動(dòng)流速進(jìn)行有效分離(圖5a). 然而，當(dāng)流速測(cè)量頻率較小時(shí)(如F=4 Hz)，瞬時(shí)流速不能準(zhǔn)確反映水體脈動(dòng)信息，頻譜分析法對(duì)流速的分離效果較差(圖5b). 因此，采用頻譜分析法對(duì)波浪-紊動(dòng)流速進(jìn)行分離時(shí)，應(yīng)采用流速儀對(duì)水體流速進(jìn)行高頻測(cè)量才能獲取最佳分離效果.

圖5 不同流速測(cè)量頻率下采用頻譜分析法對(duì)水體波浪-紊動(dòng)流速的分離結(jié)果Fig.5 Results of the wave-turbulent velocity decomposition using spectral analysis method under different sampling-rate settings

3 結(jié)論

為對(duì)天然條件風(fēng)浪作用下的水體紊動(dòng)進(jìn)行分析，本文根據(jù)瞬時(shí)流速頻譜分布特征，提出了一種水體波浪-紊動(dòng)流速分離方法，且該方法僅需通過(guò)一臺(tái)流速儀對(duì)水體流速進(jìn)行測(cè)量，便可實(shí)現(xiàn)對(duì)波浪流速與紊動(dòng)流速的分離. 本文給出了基于頻譜分析的水體波浪-紊動(dòng)流速分離方法的具體實(shí)施步驟，并分別采用實(shí)驗(yàn)室水槽數(shù)據(jù)以及野外實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)對(duì)該方法的分離效果進(jìn)行驗(yàn)證. 驗(yàn)證結(jié)果表明，頻譜分析法不僅能夠用于實(shí)驗(yàn)室中規(guī)則波浪條件下水體波浪-紊動(dòng)流速的分離，還能夠?qū)σ巴獠灰?guī)則波浪條件下水體流速進(jìn)行分離. 本文采用文獻(xiàn)[10]中無(wú)植被組次以及部分含植被組次的水槽實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，利用頻譜分析法以及相位平均法分別計(jì)算水體波浪流速(uw,RMS)與紊動(dòng)能(TKE)，并進(jìn)行對(duì)比分析. 分析結(jié)果顯示，對(duì)所有組次而言，2種方法對(duì)uw,RMS與TKE計(jì)算結(jié)果的平均差異分別控制在1%和20%以內(nèi)，且隨著波浪流速以及紊動(dòng)能的增加，2種計(jì)算方法間的差異逐漸減小. 波浪窗口的頻域設(shè)置是分離過(guò)程中的關(guān)鍵步驟，本文通過(guò)不同的波浪窗口頻域設(shè)置研究了頻域設(shè)置對(duì)分離效果的影響. 結(jié)果表明，當(dāng)頻域設(shè)置位于峰域以外時(shí)，頻譜分析法能夠?qū)Σɡ?紊動(dòng)流速進(jìn)行有效分離，且頻域大小對(duì)流速分離結(jié)果影響較??；當(dāng)頻域設(shè)置明顯位于峰域以內(nèi)時(shí)，頻譜分析法對(duì)流速的分離效果較差. 此外，流速測(cè)量頻率對(duì)流速分離效果產(chǎn)生影響. 當(dāng)流速測(cè)量頻率較低時(shí)，瞬時(shí)流速不能反映水體紊動(dòng)信息，頻譜分析法不能對(duì)波浪-紊動(dòng)流速進(jìn)行有效分離.