等腰取等三角形幾何不等式研究的若干新結(jié)果

劉保乾

（西藏自治區(qū)組織編制信息管理中心，西藏 拉薩 850000）

0 引言

當(dāng)三角形為等腰三角形時(shí)取等號(hào)的不等式簡(jiǎn)稱為等腰取等不等式.說到等腰取等不等式，首先想到的就是Bottema基本不等式[1]

除不等式（1）之外，是否還有其它等腰三角形時(shí)取等號(hào)的不等式呢？

1995年，楊學(xué)枝提出并證明了[2]：在ΔABC中，有關(guān)于中線的不等式

不等式（2）當(dāng)且僅當(dāng)三角形為等腰三角形時(shí)取等號(hào).注意不等式（2）等價(jià)于不等式[3]

上述不等式雖然是等腰取等的，但它們有一個(gè)共同的特點(diǎn)就是，當(dāng)給不等式兩邊直接平方并分解因式時(shí)會(huì)出現(xiàn)因式因而我們認(rèn)為它們是平凡的等腰取等不等式.

真正的不平凡的等腰取等不等式出現(xiàn)于文獻(xiàn)[4]中.文獻(xiàn)[4]中給出了關(guān)于三角形中線的不等式

不等式（4）當(dāng)且僅當(dāng)三角形為等腰三角形時(shí)取等號(hào).像（4）式這種不等式以根式形式出現(xiàn)，取等號(hào)條件不能通過簡(jiǎn)單的變形或分解因式得到，因而它們是不平凡的.從此以后，等腰取等不等式越來越多地出現(xiàn)在人們的視野中（參閱文獻(xiàn)[5-8]）.本文介紹筆者近幾年在等腰取等不等式研究方面的若干新成果.

以下約定：ΔABC三邊為 a，b，c，半周為 s，角平分線、中線、高分別為 wa，wb，wc、ma，mb，mc和ha，hb，hc，內(nèi)切圓和外接圓半徑分別為r和R.用∑和∏分別表示循環(huán)和與循環(huán)積.

1 等腰取等量及其運(yùn)算性質(zhì)

在ΔABC中，如果一個(gè)對(duì)稱表達(dá)式當(dāng)ΔABC為等腰三角形時(shí)取值為零或?yàn)?，則稱這個(gè)表達(dá)式是等腰取等量.在等腰取等量中，有兩個(gè)特殊的量需要特別注意，一是加強(qiáng)余項(xiàng)，它是指非負(fù)的等腰取等量，當(dāng)三角形為等腰三角形時(shí)其取值為零.顯然等腰取等不等式的式差（不等式兩邊的差）構(gòu)成的量就是一個(gè)加強(qiáng)余項(xiàng).二是加強(qiáng)因子，它是指不小于1的等腰取等量，當(dāng)三角形為等腰三角形時(shí)其取值為1.顯然等腰取等不等式的式商（即不等式兩邊相除）構(gòu)成一個(gè)加強(qiáng)因子.由于當(dāng)三角形為等腰三角形時(shí)加強(qiáng)余項(xiàng)取值為零，故給等腰取等不等式加上或者減去一個(gè)加強(qiáng)余項(xiàng)時(shí)不等式取等號(hào)條件不會(huì)變化，利用這個(gè)特點(diǎn)可以加強(qiáng)等腰取等不等式.同樣，當(dāng)三角形為等腰三角形時(shí)加強(qiáng)因子取值為1，故給等腰取等不等式某項(xiàng)乘上一個(gè)加強(qiáng)因子時(shí)不等式取等號(hào)條件也不會(huì)發(fā)生變化.不論是加強(qiáng)余項(xiàng)還是加強(qiáng)因子，它們?cè)诩訌?qiáng)等腰取等不等式或者使其反向中扮演著重要角色，在等腰取等不等式研究中有著特殊的地位和作用.

等腰取等量對(duì)加、減、乘、除運(yùn)算是封閉的，即任何兩個(gè)等腰取等量對(duì)加、減、乘、除運(yùn)算產(chǎn)生的結(jié)果仍是等腰取等量.根據(jù)這個(gè)性質(zhì)就可以對(duì)等腰取等不等式進(jìn)行加強(qiáng)，并發(fā)現(xiàn)新的等腰取等不等式.

結(jié)果發(fā)現(xiàn)了反向的等腰取等不等式

試證明不等式（5）.

由于等腰取等量的這些性質(zhì)，在對(duì)等腰取等不等式進(jìn)行放縮的過程中始終用等腰取等量，這樣能夠保證所得結(jié)果永遠(yuǎn)為等腰取等不等式，而不至于退化為普通的三角形幾何不等式.

2 尹華焱模型及其新探索

尹華焱模型首次出現(xiàn)于文獻(xiàn)[6]中，其內(nèi)容是：設(shè)Q是關(guān)于ΔABC線元或角元的零次幾何量，且當(dāng)b＝c時(shí)，Qa＝1，Qb＝Qc，則可構(gòu)造出一個(gè)等腰三角形時(shí)取等號(hào)的不等式

至于（6）式是否成立，要視Q所取表達(dá)式的具體情況通過驗(yàn)證來確定.文獻(xiàn)[6]中模型（6）提出后，尹華焱用其構(gòu)造了大量等腰三角形時(shí)取等號(hào)的不等式，楊學(xué)枝、褚小光證明了其中的若干不等式，這些結(jié)果收入到文獻(xiàn)[6]中.下面介紹筆者研究模型（6）的一些收獲和體會(huì).

從模型（6）的要求來看，只要能夠得到等腰三角形時(shí)取等號(hào)的局部對(duì)稱不等式，就可以得到相應(yīng)的Q表達(dá)式，而等腰三角形時(shí)取等號(hào)的局部對(duì)稱不等式是很多的，這樣就可以得到發(fā)現(xiàn)等腰取等不等式的比較實(shí)用的途徑.

2.1 模型（6）的內(nèi)和外

不僅可以通過模型（6）直接構(gòu)造等腰取等不等式，其它一些看似與（6）式相差甚遠(yuǎn)的等腰取等不等式也有可能化為（6）的形式.

例3由模型（6）可驗(yàn)證發(fā)現(xiàn)等腰取等不等式

容易證明不等式（7）等價(jià)于不等式（2）和（3），這說明尹華焱模型包含了這兩個(gè)有名的不等式.由此可見模型（6）的涵義是相當(dāng)深刻和廣泛的.

這里出現(xiàn)了一個(gè)問題，就是模型（6）的內(nèi)和外，即可轉(zhuǎn)化為模型（6）的等腰取等不等式與不可轉(zhuǎn)化為模型（6）的等腰取等不等式.文獻(xiàn)[8]中筆者提出并證明了若干模型（6）以外的等腰取等不等式.筆者認(rèn)為，固然利用模型（6）進(jìn)一步研究等腰取等不等式很有意義，但發(fā)現(xiàn)新的模型（6）以外的結(jié)果更有價(jià)值和意義.

2.2 模型（6）的常規(guī)使用

即嚴(yán)格地按照模型（6）的條件和要求構(gòu)造等腰取等不等式.

例4設(shè)三角形過Gergonne點(diǎn)的Ceva線為ga，gb，gc，則由模型（6）可發(fā)現(xiàn)等腰取等的不等式

例5由陳計(jì)證明的不等式2a2＋bc≥4mbmc（參閱文獻(xiàn)[9]）再結(jié)合模型（6），可得等腰取等的不等式

逐次增大指數(shù)t的值，驗(yàn)證所得不等式是否成立.當(dāng)t＝2時(shí)得反向不等式

不等式（10）是一個(gè)等腰取等的不等式，當(dāng)然還需要給出證明.

2.3 不等式不成立時(shí)可進(jìn)行調(diào)整，使其成立

如果按照模型（6）的要求構(gòu)造的不等式不成立，此時(shí)要進(jìn)行調(diào)整使其成立.注意調(diào)整時(shí)所用幾何量必須是等腰取等量，否則會(huì)改變?nèi)〉忍?hào)的條件，我們稱此為“取等號(hào)條件的封閉性”.

例6在ΔABC中，熟知有不等式

經(jīng)過驗(yàn)證知，這個(gè)不等式不成立，且反向也不成立.怎么辦？可以應(yīng)用文獻(xiàn)[10]的調(diào)整思想進(jìn)行調(diào)整.事實(shí)上，用不等式（2）對(duì)上面這個(gè)不等式進(jìn)行放縮（相當(dāng)于乘了加強(qiáng)因子），可得不等式

不等式（12）是等腰取等不等式，當(dāng)然還需要給出證明.

2.4 利用模型（6）發(fā)現(xiàn)非等腰取等的普通不等式

設(shè)P是關(guān)于ΔABC線元或角元的零次幾何量，且當(dāng)ΔABC為正三角形時(shí)P的取值為1（稱這個(gè)值為規(guī)范值），則模型（6）可變?yōu)?/p>

此時(shí)不等式（13）不再是等腰取等不等式了，而是一個(gè)普通的不等式.

這個(gè)不等式成立，且可加強(qiáng)為

但這個(gè)不等式不成立.經(jīng)過調(diào)整得（猜想）

裸角不等式（15）十分優(yōu)美.

2.5 向多元不等式進(jìn)行推廣

模型（6）還可向多元不等式進(jìn)行推廣.設(shè)Q是一個(gè)四元表達(dá)式，且Q的規(guī)范值為1，則可構(gòu)造出不等式

不等式（16）是否成立要進(jìn)行驗(yàn)證，如果不成立，可以調(diào)整使其成立.

例 9 設(shè) x1，x2，x3，x4＞0，規(guī)范值為1，故由（16）可得待驗(yàn)不等式

這個(gè)不等式成立，且可加強(qiáng)為

模型（6）還可向四面體進(jìn)行推廣，限于篇幅，這里不進(jìn)一步討論了.

3 驗(yàn)證等腰取等不等式最佳系數(shù)的一種方法

確定三角形幾何不等式最佳系數(shù)時(shí)往往需借助于一些軟件，但對(duì)不少問題機(jī)器解決不了，對(duì)于等腰取等不等式遇到的困難則更多.經(jīng)過探討，筆者得到了一種驗(yàn)證等腰取等不等式最佳系數(shù)的方法，這個(gè)方法的步驟是：

b.對(duì)剩下的含有待定參數(shù)的式子用正三角形的數(shù)據(jù)驗(yàn)證求值，即把三角形中的元素用下面的集合代換

然后令表達(dá)式為零，求得參數(shù)的值.

c.對(duì)所得最佳值進(jìn)行驗(yàn)證.

例10在ΔABC中，求最佳k，使不等式

成立.

解 不等式（19）等價(jià)于

由上述推證知，要證（20）式，只需證

即可，而這容易證明.不等式（20）的反向不等式是

例11在ΔABC中，求最佳k，使不等式

成立.

解 不等式（22）等價(jià)于

作角代換A→ －2A，B→ －2B，C→ －2C，得銳角三角形中的等價(jià)不等式

將不等式（23）兩邊同時(shí)平方（注意在證明不等式時(shí)這一步需要討論），約去因子后，含有參數(shù)k的剩余式是

不等式（24）用Bottema軟件[11]驗(yàn)證成立.注意，為了證明不等式（24），除過證明外，還需要結(jié)合一些條件，例如對(duì)（23）式兩邊同時(shí)平方時(shí)討論的情況，這預(yù)示著不等式（24）的證明是比較困難的.用類似的方法可以驗(yàn)證發(fā)現(xiàn)不等式上述不等式尤其是不等式（25）和（26），如果用其它軟件或方法來確定不等式的最佳系數(shù)是很困難的，甚至是不可能的.

4 與等腰取等不等式不分強(qiáng)弱的不等式

一直以來，從經(jīng)驗(yàn)上人們總認(rèn)為等腰取等不等式是最強(qiáng)的，可以推出其它相應(yīng)的不等式.但下面這些不等式的出現(xiàn)改變了這個(gè)看法，這就是與等腰取等不等式不分強(qiáng)弱的不等式.

例12由排序不等式易證，在ΔABC中，有不等式

又熟知有等腰取等的不等式（參閱文獻(xiàn)[4]）

容易驗(yàn)證不等式（29）與不等式（30）不分強(qiáng)弱.

例13容易證明不等式

不等式（31）不能由等腰取等不等式（4）推出.

5 綜合應(yīng)用舉例

容易證明不等式（32）成立.事實(shí)上，如果我們把尹華焱模型寫為

的形式時(shí)，可得如下加強(qiáng)模型

或者

按照這個(gè)思路，可得不等式[5]

優(yōu)美的加強(qiáng)式

不等式鏈（34）是等腰取等不等式.也可發(fā)現(xiàn)不等式（4）的加強(qiáng)式

例15在ΔABC中，有等腰取等的三角形規(guī)范幾何量不等式

當(dāng)xa，xb，xc取為中線時(shí)，得到的不等式是

對(duì)不等式（37）按照不等式（30）進(jìn)行調(diào)整，得到優(yōu)美的反向不等式

不等式（38）是等腰取等不等式，試證明（38）式.

注意，當(dāng)（xa，xb，xc）→（ha，hb，hc）時(shí)，不等式（36）變?yōu)楹愕仁?當(dāng) xa，xb，xc取為角平分線、類似中線等線元時(shí)限于篇幅這里不再討論.

例16根據(jù)模型（6），寫出待驗(yàn)式

雖然這個(gè)待驗(yàn)式是等腰取等的，但并不成立.不成立沒有關(guān)系，我們可以調(diào)整使其成立.用（2）式對(duì)待驗(yàn)式進(jìn)行調(diào)整得不等式

不等式（40）是等腰取等不等式，試證明不等式（40）.同理，用模型（6）可得待驗(yàn)式

用（2）式調(diào)整得

不等式（41）是等腰取等不等式，試證明不等式（41）.