巧借乘法算理 理解分配本質(zhì)

屈婷 袁凌云

“乘法分配律”是運算律教學(xué)中最有挑戰(zhàn)性的內(nèi)容。乘法分配律內(nèi)容之后，人教版教材練習(xí)七安排了一組多位數(shù)乘兩位數(shù)的練習(xí)，并明確提出用乘法分配律計算。做這組題時，學(xué)生的錯誤率往往較高，究其原因，是學(xué)生對乘法分配律的本質(zhì)認(rèn)識不到位。如何引導(dǎo)學(xué)生從知識的源頭出發(fā)，找到解決問題的突破口？

一、整合學(xué)習(xí)經(jīng)驗，建立知識聯(lián)系

對于乘法分配律，學(xué)生在之前的學(xué)習(xí)中已經(jīng)有廣泛的接觸——多位數(shù)乘法的計算過程就是乘法分配律的直接體現(xiàn)。教師引導(dǎo)學(xué)生回顧多位數(shù)乘法計算的算理與算法，讓他們從運算定律的角度對計算過程進(jìn)行剖析與審視，溝通運算方法與乘法分配律之間的聯(lián)系。

新課伊始，筆者呈現(xiàn)“12×3”的口算過程圖（圖略），并借助口算橫式引導(dǎo)學(xué)生思考：計算12×3時，我們是怎樣口算的？12為什么沒有參與計算？學(xué)生回答：12其實參與了計算，只是12拆分成了10與2的和。接著，筆者出示“14×12”的筆算過程圖（如下圖），并提問：14×12豎式的每一部分分別表示什么意思？計算過程中是怎樣拆數(shù)的？

學(xué)生通過觀察發(fā)現(xiàn)：筆算兩位數(shù)乘兩位數(shù)可以將其中一個兩位數(shù)拆成整十?dāng)?shù)和一位數(shù)，分別與另一個乘數(shù)相乘，再把兩部分積相加。筆者進(jìn)一步追問：筆算145×12時，可以將哪個乘數(shù)拆開？如果不列豎式，你能寫出拆數(shù)過程嗎？通過多次聯(lián)系豎式計算過程進(jìn)行拆數(shù)，學(xué)生體會到：多位數(shù)乘兩位數(shù)的筆算方法實質(zhì)上都是利用乘法分配律將某個數(shù)拆開，先求積，再求和。

二、關(guān)注算式特點，明晰簡算本質(zhì)

兩個數(shù)相乘，如果不符合乘法分配律的結(jié)構(gòu)特點，在形式上無法直接套用，那么需將其中一個乘數(shù)進(jìn)行拆分，才能轉(zhuǎn)化成基本題。“如何拆分、為什么要這樣拆分”是解題的關(guān)鍵。教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)算式的數(shù)據(jù)特點以及數(shù)與數(shù)之間的關(guān)系對數(shù)進(jìn)行合理拆分，并思考拆數(shù)的目的，明晰簡算的本質(zhì)。

教學(xué)筆算“103×12”時，筆者問學(xué)生：可以將哪個乘數(shù)拆開與另一個乘數(shù)相乘？學(xué)生想到了如下方法：①103×12=103×（10+2）=103×10+103×2;②103×12=（100+3）×12=100×12+3×12。后續(xù)，筆者這樣教學(xué)。

師：不借助筆算，只用口算的方法，哪種拆分方法更容易算出結(jié)果？

生1：第②種方法更好，因為這樣拆分后兩部分的積都能口算，1200與36的和也能口算。

師：看來，拆數(shù)也是一門學(xué)問。你認(rèn)為“125×81”可以怎樣拆？

生2：125×81=（100+25）×81=100×81+25×81

生3：125×81=125×（80+1）=125×80+125×1

師：以上兩種拆數(shù)方法，哪種更容易口算出得數(shù)？

生4：將81拆開更好算，125與80這兩個數(shù)比較特殊，它們的積是10000，再加125，可以直接寫出得數(shù)。

師：98×12呢？你打算拆哪個數(shù)？怎樣拆？

生5：98×12=（90+8）×12=90×12+8×12

生6：98×12=98×（2+10）=98×2+98×10

生7：我發(fā)現(xiàn)無論用哪種拆分方法，都不簡便。

師：前面兩道題，我們是利用數(shù)的位值對一個數(shù)進(jìn)行拆分，比如將103拆成100與3的和，將81拆成80與1的和。乘法分配律的模型既有加法，也有減法。如果想利用乘法對減法的分配律讓計算變得簡便，可以怎樣拆？

生8：98×12=（100-2）×12=100×12-2×12

生9：98×12=（98+2）×12=100×12

師：以上兩種方法都對嗎？

生10：第二種方法不對，這種拆法把98×12的結(jié)果算大了，拆成的數(shù)必須與原來的數(shù)大小相等。

師：98除了是100與2的差，也是99與1的差，為什么不把它拆成99與1的差？

生11：這樣拆不好計算。把98拆成100與2的差，是因為100乘12、2乘12都可以口算，再將這兩個差相減也很好算。

經(jīng)歷以上過程，學(xué)生對“運用乘法分配律計算多位數(shù)乘兩位數(shù)”簡算的目的和方法有了更清晰的認(rèn)識，“湊整”的思想也在不經(jīng)意間滲透。

三、巧辨乘法“兩律”，掌握運算技巧

乘法分配律和乘法結(jié)合律在表現(xiàn)形式上比較接近，當(dāng)題目沒有明確要求時，學(xué)生即使能將數(shù)進(jìn)行合理拆分，也容易被“兩律”的“形同表象”所蒙蔽，產(chǎn)生混淆。教學(xué)中，教師可設(shè)計一些對比題讓學(xué)生辨析，進(jìn)而掌握運算技巧，強化簡算的意識。在練習(xí)環(huán)節(jié)，筆者設(shè)置了兩組對比題。

1.先用乘法分配律計算下面各題，再思考以下問題。

①250×14?????? ②24×205?? ????③24×198 ????????????? （1）與103×12、125×81、98×12的拆數(shù)方法相比，以上哪道題目的拆數(shù)方法與103×12的方法類似？

（2）你能找到與125×81、98×12類似的題目嗎？

2.④20×55??? ⑤125×72???? ⑥125×73

（1）上面這些題目可以用乘法分配律進(jìn)行簡便計算嗎？

（2）A、B兩名學(xué)生用以下方法來計算題④，你認(rèn)為對嗎？用乘法分配律和用乘法結(jié)合律進(jìn)行拆分有什么不同？

A：20×55=20×（11×5）=20×11+20×5

B：20×55=20×（11×5）=20×11×5

（3）⑤、⑥兩題能用乘法結(jié)合律使計算簡便嗎？

第1題，從學(xué)生的答題情況來看，大部分學(xué)生能根據(jù)算式的特點對算式進(jìn)行靈活拆分，并利用乘法分配律算出結(jié)果。對于問題（1）和問題（2），學(xué)生能通過類比總結(jié)規(guī)律：當(dāng)乘法算式中有一個乘數(shù)比整百數(shù)大一點或小一點時，可將這個乘數(shù)拆成整百數(shù)與一位數(shù)的和（或差）;當(dāng)算式中有25、125這些特殊數(shù)時，要想辦法將另一個乘數(shù)拆成4（或40）、8（或80）與某個數(shù)的和，從而使計算變得簡便。

第2題，對于問題（1），學(xué)生通過交流得出，題④可以使用乘法分配律進(jìn)行簡便計算，題⑤、題⑥則不行，從而體會到并不是所有的多位數(shù)乘兩位數(shù)都能使用乘法分配律進(jìn)行簡便計算。對于問題（2），學(xué)生通過分析發(fā)現(xiàn)：乘法結(jié)合律和乘法分配律可以適用于同一道題，只是拆數(shù)方法不同，拆成兩個數(shù)的“積”的形式與“和”的形式雖然看似很像，但實質(zhì)不同，拆成“積”的形式只能“結(jié)合”，不能“分配”。教師通過對“20×55”的分析，使問題（3）中“125×72”的簡算方法迎刃而解。還有個別會變通的學(xué)生將“125×73”變?yōu)椤?25×72+125×1”，借助上一題的計算結(jié)果，使計算變得更加簡便。

（作者單位：宜城市窯灣小學(xué)）

責(zé)任編輯? 張敏