涉及單形內(nèi)點幾個不等式的穩(wěn)定性

孫玉婷，王 文，楊世國

（1.安徽文達信息工程學院 通識教育學院，安徽 合肥 231201；2.合肥師范學院，安徽 合肥 230601;3.安徽新華學院，安徽 合肥 230088）

1 引言

當Ω為正則單形時等號成立.文獻［2-4］中推廣了不等式（1.1），得到如下一些不等式.

G.S.Leng，L.H.Tang［2］獲得了不等式

G.S.Leng，T.Y.Ma［3］獲得了另一不等式

L.Gerber［4］建立了不等式

其中m是任意正整數(shù)，當Ω為正則單形且D為其中心時，（1.2）-（1.4）等號成立.

在不等式（1.2）- （1.4）中取點D為單形Ω 的內(nèi)心I，此時di=r(i= 0,1,…,n)，便得到不等式（1.1）的實質(zhì)性推廣.

不等式（1.2）- （1.4）又可寫成以下形式

本文研究上述三個幾何不等式的穩(wěn)定性，得到相應的穩(wěn)定性版本，實質(zhì)上對它們做了進一步的推廣.

幾何不等式的穩(wěn)定性這一概念最早是由H.Minkowski和T.Bounesen提出，后期H.Groemer［5］做了詳細描述，其中關于歐氏空間單形的幾何不等式穩(wěn)定性反映的是正則單形與一般單形的偏差估計.

因單形的徑向函數(shù)或支撐函數(shù)表達式不易找到，故使得關于其幾何不等式的穩(wěn)定性研究困難重重.介于單形的棱長對單形的確定起重要作用，何斌吾在其論文［6］引入“偏正度量”概念，自此單形幾何不等式的穩(wěn)定性得到廣泛而系統(tǒng)的研究.

2 主要結果

本文給出（1.2）- （1.4）不等式的穩(wěn)定性版本：

當Ω為正則單形且D為中心時等號成立.其中τ≤n+ 1 -k

下給出( 1.4') 的兩個穩(wěn)定性版本.

定理2.5 設σ( Ω,Ωˉ)是單形Ω的“偏正度量”，則對任意的ε＞0，當

3 引理與定理的證明

先介紹以下引理，從而輔助定理的證明

引理3.1［7］設n維單形Ω，有

當Ω是正則單形時等號成立.

引理3.2［8-9］設n維單形Ω，有

等號成立當且僅當Ω為正則單形.

引理3.3［10］設n維單形Ω，自然數(shù)k∈[ ]2,n，有

等號成立當且僅當Ω為正則單形.

引理3.4［11］設n維單形Ω，τ≤n+ 1 -k,，有

引理3.5［11］設n維單形Ω，有

等號成立當且僅當Ω為正則單形.

證明 利用文獻［12］中不等式

等號成立當且僅當Ω為正則單形.

將不等式（3.2）代入式3.7右端分母，得

等號成立當且僅當Ω為正則單形.

利用文獻［13］中不等式

等號成立當且僅當Ω為正則單形.

由式3.9和式3.8即可得式3.6.

定理2.1和定理2.2的證明 利用文獻［2］中的不等式（20）式即式（3.10），有

等號成立當且僅當Ω為正則單形且D為中心.

利用式3.10、式3.11、式3.6及算術幾何平均不等式，得

利用文獻［2］中式（16）即（3.13）式，有

等號成立當且僅當Ω為正則單形.

由式3.12和式3.13得

利用文獻［9］中不等式

等號成立當且僅當Ω為正則單形.

利用冪平均不等式，引理3.3及式3.15，得

由式3.14、式3.16得

由式3.15、式3.1和式3.3得

利用代數(shù)恒等式

由式3.18和式3.19得

由式3.17和式3.20得

不難得出當Ω為正則單形且D為其中心時等號成立，故定理2.1成立.

由 式3.15、式3.4、式3.5及式3.3得

由式3.17和式3.21得

易知當Ω為正則單形且D為其中心時等號成立，故定理2.2成立.

定理2.3和定理2.4的證明：利用文獻［3］中式3.8即（3.22）式，有

即

當Ω為正則單形且D為其中心時等號成立.

由式3.2

由式3.23和式3.24得

式3.20代入式3.25可證定理2.3.

對式3.25兩邊k次方后，對R2k應用不等式3.21可證定理2.4.

定理2.5和定理2.6的證明：利用式3.11得

由式3.6和式3.27得

利用文獻［9］不等式

當Ω為正則單形時等號成立.

對式3.30兩邊k次方后，應用式3.21可證定理2.6，當Ω為正則單形且D為其中心時等號成立.

3 小結

本文通過研究歐氏空間單形的穩(wěn)定性，為后期進一步研究其他凸體如C60 的幾何結構奠定基礎，從而讓C60更好地在工業(yè)生產(chǎn)中發(fā)揮重要作用.