基于傅里葉分解合成的大學物理實驗常見信號產(chǎn)生原理分析

孫國威，劉忠民，徐元國，郭 琴

(江西師范大學,江西 南昌 330022)

級數(shù)展開的極限思想讓能夠從簡單易得的信號出發(fā)，通過選擇合適的信號基底進而合成一系列復雜的信號。信號合成對于周期性信號來說這幾乎是萬能的方法，其中蘇武潯、張渭濱、王建成便對運用傅里葉級數(shù)的逆變換運算來分析常見波形進行了討論。楊亞麗運用該方法在《工程實踐背景下的周期性方波信號分解與合成》一文中對方波信號進行了分析，并運用模擬電子技術(shù)、單片機原理等相關(guān)知識在一定精度上實現(xiàn)了方波信號的合成。本文總結(jié)已有研究成果并沿用信號合成的方法，結(jié)合部分電子電路知識分析了方波、鋸齒波、三角波信號，并同時對基底信號的發(fā)生與轉(zhuǎn)換進行了一定的分析。

1 正弦波信號

正弦波信號是接觸最多也是最容易獲得的信號，圖1所示是發(fā)電機的抽象模型，匝數(shù)為N的線圈在磁感應強度為B的磁場中以角速度ω旋轉(zhuǎn)時，得到E=ωNBSsin(ωt+φ0)的正弦信號。實際發(fā)電機中由于線圈匝數(shù)太多、重量過大，常常會采取旋轉(zhuǎn)磁場的方式來發(fā)電。改變線圈或磁場的角速度，能夠得到不同頻率的正弦信號。我國市電是頻率為50 Hz的正弦交流電，用戶要得到不同頻率的正弦波信號，需附加電路。

圖1 發(fā)電機抽象模型

通過一個變壓器可改變正弦信號的振幅。但要改變正弦信號的頻率，通常是將交流電經(jīng)整流濾波變?yōu)橹绷麟姾螅俳?jīng)開關(guān)電路把直流電變成交流電。圖2是一個全波整流電路，在輸入端輸入交流電后，在輸出端得到直流電，將直流電輸入到逆變電路，得到不同頻率的交流電。

圖2 整流濾波電路

圖3是逆變器的簡單模型，開關(guān)S1與S4為同時工作的第一組，開關(guān)S2與S3為同時工作的第二組，當?shù)谝唤M與第二組交替閉合、斷開時，輸出端得到交流電。

圖3 開關(guān)電路

2 方波信號

方波信號是最常見的脈沖信號，常常用于表示信息、作為載波等。要得到方波信號,從理論上可以通過合成的方式獲得，即選擇一組合適的信號基底，經(jīng)電路合成得到方波。基底信號選擇的重要標準之一是常見易得，正(余)弦波信號的一系列特點符合基底的要求，因此常被選為基底信號。

可對信號進行逆向運算，由目標信號出發(fā)，選擇正弦函數(shù)與余弦函數(shù)作為基底進行傅里葉級數(shù)展開，明確需要何種頻率和振幅的基底信號。方波信號可表示為：

(1)

(2)

(3)

其中

(4)

(5)

方波的圖像如圖4所示，其波函數(shù)為

圖4 方波信號

(6)

使用傅里葉級數(shù)分解展開為一系列的的正弦信號。為了處理簡便，人為將信號函數(shù)調(diào)整為奇函數(shù)，當I(t)為奇函數(shù)時級數(shù)中的系數(shù)a0與ak將為0，這將極大的簡便的運算。于是級數(shù)形式變?yōu)?/p>

(7)

對于方波信號而言

(8)

(9)

通過信號合成的方法合成方波信號，在理論上精度能夠無限趨近真實方波信號，現(xiàn)實中具有一定的可操作性，但無法避免一些問題，如：通常只能使用有限數(shù)量的正弦信號進行疊加，無法實現(xiàn)無限數(shù)量疊加。

實際操作中還有獲得方波的其他途徑，圖3所示電路中于輸入端輸入標準直流信號，開關(guān)S1、S4(同步工作)與開關(guān)S2、S3(同時工作)交替閉合斷開，輸出端可得所需方波信號。也可通過如圖5所示的限幅電路來得到方波。

圖5 限幅電路

在輸入端輸入正弦波信號，通過兩個二極管的限幅作用將正弦信號的兩端削平(如圖6所示)，輸出端可得到近似方波信號，再通過特定的積分電路便能提高所得信號的精度。

圖6 限幅構(gòu)想圖

3 鋸齒波信號

鋸齒信號常用作示波器以及老式CRT電視機的掃描信號。

實驗時也可通過合成的方法獲得鋸齒波信號。同方波的情形一樣，可以人為的將鋸齒波信號構(gòu)建成奇函數(shù)的形式，以便更加簡便地選擇基底信號進行合成。圖7所示的鋸齒波信號函數(shù)表達式為

圖7 鋸齒波信號

(10)

其中“[]”函數(shù)為向下取整函數(shù)。其傅里葉級數(shù)展開式可表示為

(11)

在一個周期內(nèi)

(12)

得

(13)

與合成方波信號一樣，合成法獲得鋸齒波信號在實際上存在著不足，該方法可用于理論演示或演示實驗。實際中常常運用圖8所示鋸齒波發(fā)生電路來獲得鋸齒波信號。在輸入端施加方波信號，通過三極管控制電容的充放電便能夠在輸出端得到一定精度的鋸齒波信號。

圖8 鋸齒波發(fā)生電路

4 三角波信號

三角波信號是如圖9所示的周期信號，其同鋸齒波一樣也常常被用作掃描信號。

圖9 三角波信號

三角波信號同樣屬于周期性信號，因此同樣可以以正弦信號為基底合成，從而獲得所需的不同頻率與振幅的三角波信號。若三角波振幅為a，其函數(shù)表達式為：

(14)

在一個周期內(nèi)

(15)

其中

得

(16)

即

(17)

通過振幅和頻率按以上規(guī)律變化的正弦波信號疊加便能得到三角波信號。實際電路中常通過圖10所示電路來獲得三角波，在輸入端輸入方波后通過電容的充放電，能夠在輸出端近似獲得三角波。圖4所示方波信號輸入圖10所示電路，電容充電過程中兩端暫態(tài)電壓應滿足

圖10 三角波發(fā)生電路

(18)

放電過程滿足

(19)

當時間常數(shù)τ遠大于方波周期時，電容兩端電壓可近似認為線性上升與下降，于是便在電容兩端輸出了三角波信號。

5 結(jié) 語

大學物理實驗是幫助學生加深理解物理知識的重要途徑，且對學生實踐能力的培養(yǎng)有著不可替代的作用。

本文從實驗中常見的信號出發(fā)，以級數(shù)展開為理論基礎(chǔ)，介紹了得到相關(guān)信號的幾種可行方法，以幫助學生理解相關(guān)信號的來源，使學生對涉及到相關(guān)信號的實驗從理論高度有更深刻理解，而不是面對冰冷的儀器只會調(diào)節(jié)幾個開關(guān)或旋鈕。