基于智能手機(jī)的均質(zhì)圓弧微振動(dòng)研究

楊祎圖，鄧招華，楊 琴，馮 潔，劉應(yīng)開*

(1.云南師范大學(xué) 物理與電子信息學(xué)院，云南 昆明 650500；2.龍陵縣河頭初級(jí)中學(xué)，云南 保山 678300)

微振動(dòng)與一般振動(dòng)相比振動(dòng)幅值較小，但是對(duì)精度較高的儀器和設(shè)備的影響卻不可忽略。微振動(dòng)的研究是振動(dòng)工程領(lǐng)域內(nèi)較為重要的一個(gè)方面，其研究的主要目的是要進(jìn)行振動(dòng)控制，以滿足機(jī)械生產(chǎn)工作時(shí)的性能指標(biāo)要求[1]。微振動(dòng)是一個(gè)相對(duì)的概念，不能一概而論，以工程學(xué)中的微振動(dòng)問題為例，一般較大振幅的振動(dòng)，如地震引起的房屋振動(dòng)、較大風(fēng)荷載引起的結(jié)構(gòu)振動(dòng)等，這些振動(dòng)有可能引發(fā)結(jié)構(gòu)構(gòu)件的變形甚至造成破壞，而微振動(dòng)一般振動(dòng)水平較低，引起的結(jié)構(gòu)響應(yīng)處于線性彈性階段，但會(huì)影響一些精密設(shè)備和儀器的正常工作，如地鐵運(yùn)行經(jīng)過周邊低矮建筑時(shí)，很容易引發(fā)振動(dòng)，這類振動(dòng)一般不足以造成破壞。從已有的文獻(xiàn)及相關(guān)報(bào)告來看，對(duì)微振動(dòng)的研究大多采用高精度光學(xué)儀器測量微振動(dòng)振幅或者利用高精度傳感器測量微振動(dòng)振幅。工程學(xué)中微振動(dòng)的研究采用激光干涉測量微振動(dòng)振幅。多數(shù)研究是對(duì)微振動(dòng)的振幅進(jìn)行測量。然而在物理教學(xué)或習(xí)題中，對(duì)微振動(dòng)研究主要體現(xiàn)在微振動(dòng)的周期，如秋千的研究[2]，且主要集中在垂直于圓弧方向的擺動(dòng)，對(duì)于沿圓弧方向的擺動(dòng)則研究的不多。本文主要研究均質(zhì)圓弧沿圓弧方向的一維微振動(dòng)問題?？紤]這一問題時(shí)，空氣阻力和轉(zhuǎn)軸處的摩擦對(duì)周期的影響較大。但是在擺角很小的情況下，空氣阻力和轉(zhuǎn)軸處的摩擦力對(duì)周期的影響極小，可以把均質(zhì)圓弧的微振動(dòng)看作一維的無阻尼振動(dòng)。理論研究表明了：微振動(dòng)周期與物體的質(zhì)量、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和物體質(zhì)心到轉(zhuǎn)軸的距離以及當(dāng)?shù)刂亓铀俣扔嘘P(guān)，因?yàn)槲⒄駝?dòng)振幅較小，不易觀察，所以用智能手機(jī)的可視化來研究這一微振動(dòng)的周期，從而對(duì)這一問題進(jìn)行深入的研究和討論。

1 理論原理

將一段半徑為R的均質(zhì)圓弧兩端用細(xì)線連接，在其圓心位置O點(diǎn)處固定一鐵釘，使圓弧繞過O點(diǎn)并與弧面垂直的軸擺動(dòng)，研究其微振動(dòng)周期。

設(shè)l為均質(zhì)圓弧質(zhì)心到轉(zhuǎn)軸處的距離，I為均質(zhì)圓弧的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，M為轉(zhuǎn)動(dòng)力矩，ω為角頻率。由力矩公式得

(1)

M=-mglsinθ

(2)

由轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與力矩的關(guān)系得

(3)

由于均質(zhì)圓弧微振，擺角很小，sinθ≈θ

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

2 設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)

2.1 實(shí)驗(yàn)儀器

實(shí)驗(yàn)儀器由均質(zhì)圓弧(實(shí)驗(yàn)用的均質(zhì)圓弧是圓的1/3)、磁性小球、鐵釘、細(xì)線、智能手機(jī)組成(圖1)。均質(zhì)圓弧兩端用細(xì)線連接，兩段細(xì)線長度與圓弧半徑相等，圓弧懸掛在固定好的鐵釘上，用石蠟打磨細(xì)線和細(xì)線懸掛的鐵釘部分，圓弧中心放置磁性小球并固定。選用316不銹鋼制作均質(zhì)圓弧，由于均質(zhì)圓弧質(zhì)量要比磁性小球質(zhì)量大得多，其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)才符合復(fù)擺的運(yùn)動(dòng)，而其他材料，如塑料、鋁合金，存在質(zhì)量不能遠(yuǎn)大于磁性小球質(zhì)量或者成本過高的問題，因而不宜采納。

圖1 實(shí)驗(yàn)儀器

2.2 實(shí)驗(yàn)方案

將智能手機(jī)安裝好phyphox軟件，將其放置在準(zhǔn)備好的均質(zhì)圓弧的正下方。然后讓均質(zhì)圓弧擺動(dòng)，擺角在6°～10°。開始時(shí)圓弧的運(yùn)動(dòng)并非一維振動(dòng)，存在著垂直圓弧方向的前后振動(dòng)。經(jīng)過30～40 min后，擺角小于等于5°時(shí)，圓弧的運(yùn)動(dòng)近似為一維振動(dòng)。此時(shí)，打開手機(jī)中的phyphox軟件，用內(nèi)置的磁力計(jì)功能測量磁性小球的磁感應(yīng)強(qiáng)度周期，取25個(gè)周期為一組，利用origin軟件繪制周期圖像，計(jì)算出均質(zhì)圓弧微振動(dòng)的周期數(shù)值，作誤差分析。根據(jù)系統(tǒng)誤差對(duì)理論值進(jìn)行修正，最后將均質(zhì)圓弧微振動(dòng)周期的測量值與理論值比較，計(jì)算出相對(duì)誤差，得出最后的結(jié)論。

3 實(shí)驗(yàn)步驟

3.1 測量均質(zhì)圓弧和磁性小球的半徑

3.2 測量均質(zhì)圓弧和磁性小球質(zhì)量

用電子秤測得均質(zhì)圓弧質(zhì)量為M=273.31 g，磁性小球質(zhì)量為m=3.86 g。

3.3 測量當(dāng)?shù)刂亓铀俣萭

用智能手機(jī)phyphox軟件界面上的“含(g)的加速度”可以直接顯示出當(dāng)?shù)刂亓铀俣萭的數(shù)值。其原理是：重力傳感器不會(huì)扣除手機(jī)自身的重力，所以手機(jī)靜止放置時(shí)，也能測量出當(dāng)?shù)刂亓铀俣鹊闹礫3]。取3個(gè)重力加速度數(shù)值，如圖2。計(jì)算平均值，獲得當(dāng)?shù)刂亓铀俣取?/p>

(a)

經(jīng)查閱，實(shí)驗(yàn)室通過精確實(shí)驗(yàn)測量得的本地重力加速度為9.728 m/s2，與之對(duì)比，手機(jī)軟件測得的本地重力加速度數(shù)值可取。

3.4 推導(dǎo)均質(zhì)圓弧微振動(dòng)周期理論式

3.4.1 均質(zhì)圓弧對(duì)圓心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

積分求解：

(9)

(10)

(11)

代入M得

(12)

置于均質(zhì)圓弧上的磁性小球不可忽略，磁性小球?qū)A心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為

i2=m(R1-r)2

(13)

均質(zhì)圓弧和磁性小球?qū)?yīng)同一轉(zhuǎn)軸，據(jù)平行軸定理，均質(zhì)圓弧和磁性小球整體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為

(14)

3.4.2 均質(zhì)圓弧質(zhì)心到轉(zhuǎn)軸的距離

質(zhì)心定義法得

(15)

代入數(shù)據(jù),均質(zhì)圓弧質(zhì)心到轉(zhuǎn)軸處的距離rc1=0.299 6 m

磁性小球質(zhì)心到轉(zhuǎn)軸處的距離，由均勻的規(guī)則物體的質(zhì)心即為幾何中心直接得到rc2=R1-r

均質(zhì)圓弧和磁性小球整體的質(zhì)心到轉(zhuǎn)軸的距離

(16)

代入數(shù)據(jù)rC=0.2992 m

將(14)式和rC代入(8)式中，得到均質(zhì)圓弧微振動(dòng)周期理論式

(17)

3.5 用磁力計(jì)測量磁性小球磁感應(yīng)強(qiáng)度周期

用智能手機(jī)軟件phyphox內(nèi)的磁力計(jì)功能進(jìn)行測量。將手機(jī)如圖1水平放置，磁力計(jì)中的X軸、Y軸、Z軸分別對(duì)應(yīng)手機(jī)的窄邊方向、長邊方向和垂直于手機(jī)平面的方向。其中Z軸的磁感應(yīng)強(qiáng)度與時(shí)間的圖像只與磁性小球豎直方向的位移有關(guān)，與運(yùn)動(dòng)路徑無關(guān)。由于磁力計(jì)本身存在于手機(jī)自身的磁場中，對(duì)測量外部磁場均有影響，使用前需要先校準(zhǔn)磁力計(jì)。操作步驟為：打開磁力計(jì)，點(diǎn)擊右上方的3個(gè)小點(diǎn)，再點(diǎn)擊“使用已校準(zhǔn)的磁力計(jì)”，再開始測量[5]。測量磁場時(shí)注意將手機(jī)遠(yuǎn)離容易產(chǎn)生磁場的儀器和設(shè)備，如通電線圈等，以避免產(chǎn)生較大的測量誤差。從均質(zhì)圓弧擺角小于等于5°，做一維振動(dòng)時(shí)打開磁力計(jì)開始記錄，取Z軸圖像導(dǎo)入數(shù)據(jù)，得到磁感應(yīng)強(qiáng)度周期。

4 結(jié) 果

4.1 用磁性小球磁感應(yīng)強(qiáng)度周期計(jì)算均質(zhì)圓弧微振動(dòng)周期

從均質(zhì)圓弧擺角小于等于5°時(shí)開始計(jì)時(shí)，將智能手機(jī)phyphox軟件中磁力計(jì)的測量數(shù)據(jù)導(dǎo)出，取25個(gè)周期為一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，使用origin軟件繪制磁性小球磁感應(yīng)強(qiáng)度周期圖像，如圖3，圖4，圖5。

時(shí)間/s

時(shí)間/s

時(shí)間/s

由于磁性小球的磁感應(yīng)強(qiáng)度周期反映的是均質(zhì)圓弧的微振動(dòng)周期，計(jì)算各組實(shí)驗(yàn)的平均值，即磁感應(yīng)強(qiáng)度周期圖中相鄰兩個(gè)峰值的時(shí)間差值，就是均質(zhì)圓弧微振動(dòng)的周期。取多個(gè)周期為一組數(shù)據(jù)，再計(jì)算周期，可以減小取峰值時(shí)出現(xiàn)的隨機(jī)誤差，實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)列入如表1。

表1 均質(zhì)圓弧微振動(dòng)周期

4.2 誤差分析

4.2.1 均質(zhì)圓弧微振動(dòng)理論周期數(shù)值

根據(jù)公式(17)，可得均質(zhì)圓弧理論值為T0=1.335 5 s

4.2.1 對(duì)均質(zhì)圓弧微振動(dòng)周期理論值進(jìn)行修正

本實(shí)驗(yàn)研究產(chǎn)生誤差主要有系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差，根據(jù)本實(shí)驗(yàn)測量均質(zhì)圓弧微振動(dòng)周期的理論公式和實(shí)驗(yàn)條件以及測量方法。重點(diǎn)分析均質(zhì)圓弧的擺角、空氣阻力和轉(zhuǎn)軸處的摩擦(復(fù)合阻力)對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果的影響[6]。

再利用origin軟件擬合數(shù)據(jù)，從25個(gè)周期中取幾個(gè)周期的峰值來繪擬合直線，如圖6所示。

時(shí)間/s

從圖6可看出，在25個(gè)周期時(shí)間范圍內(nèi)，磁感應(yīng)強(qiáng)度沒有發(fā)生明顯的衰減，而磁感應(yīng)強(qiáng)度周期反映了均質(zhì)圓弧微振動(dòng)周期，故可視為均質(zhì)圓弧微振動(dòng)在所取周期時(shí)間范圍內(nèi)的振幅沒有明顯的衰減，因此忽略空氣阻尼和轉(zhuǎn)軸處摩擦，在25個(gè)周期時(shí)間范圍內(nèi)，均質(zhì)圓弧做無阻尼微振動(dòng)。

影響均質(zhì)圓弧微振動(dòng)周期的因素中，擺角對(duì)周期的影響通過理論計(jì)算，在時(shí)間的測量精度10-4s就能明顯得到體現(xiàn)。通過以上實(shí)際測量和理論計(jì)算，以及擬合圖像分析，實(shí)驗(yàn)中影響均質(zhì)圓弧微振動(dòng)周期的因素是擺角大小，空氣阻力和轉(zhuǎn)軸處摩擦力可不予考慮。

考慮擺角的均質(zhì)圓弧微振動(dòng)周期修正[9]。

(18)

(19)

將(19)式代入(3)式得

(20)

(20)式兩邊積分得

(21)

(22)

(23)

(24)

(25)

(26)

除去后面的高次項(xiàng),得到修正后的均質(zhì)圓弧微振動(dòng)周期為

(27)

代入數(shù)據(jù)，計(jì)算得到均質(zhì)圓弧微振動(dòng)周期理論數(shù)值T=1.336 1 s。

計(jì)算相對(duì)誤差

=0.11%

可見，實(shí)驗(yàn)中測量值接近于理論值，表明本實(shí)驗(yàn)的實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)與理論推導(dǎo)及測量方法是可行的，是對(duì)微振動(dòng)可視化的有效手段。

5 結(jié) 語

本文推導(dǎo)了均質(zhì)圓弧和磁性小球組合系統(tǒng)的微振動(dòng)周期公式，并設(shè)計(jì)基于智能手機(jī)的磁感應(yīng)強(qiáng)度變化測量方法，對(duì)該系統(tǒng)的微振動(dòng)周期進(jìn)行測量。得出結(jié)果表明：均質(zhì)圓弧和磁性小球組成的系統(tǒng)的微振動(dòng)周期為1.334 6 s，修正后的理論值為T=1.336 1 s，相對(duì)誤差為0.11%，二者非常接近。這一研究結(jié)果表明利用智能手機(jī)安裝適當(dāng)?shù)能浖Y(jié)合其內(nèi)置的高精度傳感器研究力學(xué)、電磁學(xué)、光學(xué)等物理問題是可行的，而且測量精度遠(yuǎn)高于實(shí)驗(yàn)室傳統(tǒng)的測量方法，這對(duì)有效開展物理研究是非常有益的。