探究聲音可視化的克拉尼板的改進(jìn)

胡 靜，周甜甜，李心悅，李子豪，毛紫怡，何晚晴，陳沁霞，張 慧，楊金虎

(杭州師范大學(xué) 物理學(xué)院，浙江 杭州 311121)

傳統(tǒng)的克拉尼裝置是由金屬板、頻率發(fā)生器與振蕩器組成，金屬板受振蕩器激勵(lì)形成振動(dòng)，并以波動(dòng)的形式傳播。波動(dòng)在金屬板邊界反射，形成的反射波與前進(jìn)波相疊加形成細(xì)砂形成的穩(wěn)定的駐波。此時(shí)在板上鋪上均勻的細(xì)砂，可以觀察到穩(wěn)定的圖案，克拉尼圖案是駐波的可視化[1-2]。

傳統(tǒng)的克拉尼實(shí)驗(yàn)是將一定頻率的波形成可視化的駐波圖案，但在實(shí)驗(yàn)中，只使用了特定的頻率，在課堂教學(xué)中互動(dòng)性明顯不足。本實(shí)驗(yàn)以克拉尼圖案的產(chǎn)生原理為基礎(chǔ)，使用喇叭代替振蕩器，利用智能手機(jī)中的phyphox軟件控制聲音的頻率，從而簡(jiǎn)化實(shí)驗(yàn)裝置。實(shí)驗(yàn)過(guò)程中探索了聲音頻率、鋁板規(guī)格等方面對(duì)克拉尼圖案形狀的影響，提高了實(shí)驗(yàn)的互動(dòng)性。

1 實(shí)驗(yàn)原理

在理想的情況下，均質(zhì)二維方形平板可以忽略重力和厚度，只有其中心處被固定。以該方形平面所在面建立xoy平面，固定中心為原點(diǎn)，垂直平面方向?yàn)閦軸，建立空間直角坐標(biāo)系。在該坐標(biāo)系下，自由波動(dòng)方程可寫(xiě)為：

(1)

設(shè)波動(dòng)函數(shù)Z具有分離變量的形式解：

Z(x,y,t)=X(x)Y(y)T(t)。將函數(shù)代入波動(dòng)方程并化簡(jiǎn)易得：

(2)

該方程在任意條件下成立，方程左右兩邊皆為常數(shù)。

T(t)=Acosωt+Bsinωt

(3)

其中A和B為與初始條件相關(guān)的常數(shù)。

原波動(dòng)方程等式左側(cè)通過(guò)分離變量，引入分離常數(shù)：

(4)

類(lèi)似的，有

X(x)=Ccoskxx+Dsinkxx

(6)

Y(y)=Ecoskyy+Fsinkyy

(7)

其中C,D,E,F是由邊界條件決定的常數(shù)[3,4]。

本文討論的是二維平面上的駐波，根據(jù)制作的實(shí)際情況，喇叭位于平板中心，此處為波節(jié)，二維方形平板自由振動(dòng)的邊緣處也可視為波節(jié)。滿(mǎn)足邊界條件，確定函數(shù)X,Y之后,總能找到若干x與y使得函數(shù)X或Y值為零，在這些位置振動(dòng)幅度始終為零。這些位置是二維振動(dòng)平面的波節(jié)位置，是細(xì)砂出現(xiàn)的區(qū)域。

2 實(shí)驗(yàn)過(guò)程及結(jié)果分析

2.1 探究聲音頻率對(duì)圖案形成的影響

實(shí)驗(yàn)儀器整體圖見(jiàn)圖1。

圖1 實(shí)驗(yàn)儀器整體圖

本文使用了規(guī)格為30cm×30 cm×0.05 cm的正方形鋁板進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。將一個(gè)額定功率為4 W的亮盆全頻小喇叭置于正方形鋁板底面的中心，保證板的水平和穩(wěn)定，并將橙色細(xì)砂均勻撒在鋁板表面。按下電源開(kāi)關(guān)后打開(kāi)藍(lán)牙，音箱發(fā)出語(yǔ)音提示,LED燈快閃；打開(kāi)移動(dòng)設(shè)備(手機(jī)、電腦)的藍(lán)牙功能，搜索配對(duì)，連接成功后，利用Phyphox中音頻發(fā)生器的功能，設(shè)置不同頻率，觀察正方形鋁板上細(xì)砂形成的圖案。

板上的細(xì)砂會(huì)聚集成線，將板分為若干個(gè)區(qū)域，改變頻率，用攝像設(shè)備記錄了從440～950 Hz之間共9個(gè)頻率所對(duì)應(yīng)的克拉尼圖案，部分圖案如圖2。

圖2 克拉尼圖案

2.2 探究聲音頻率對(duì)圖案形成的影響(二)

在實(shí)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)，大功率的喇叭能夠使細(xì)砂更快地形成穩(wěn)定的圖案，使用頻響范圍90～20 000 Hz，額定功率20 W的喇叭,輸出功率在20～60 W的藍(lán)牙電路板。不改變鋁板規(guī)格，將喇叭用泡沫膠固定在鋁板中心位置，保證板的水平和穩(wěn)定，使用泡沫板為儀器制作底座，用來(lái)固定喇叭的位置并收集實(shí)驗(yàn)過(guò)程中的細(xì)砂，同時(shí)減少喇叭與桌面之間的振動(dòng)。

將直流穩(wěn)壓電源調(diào)到12 V，接通電源后，使用Phyphox中的音頻發(fā)生器設(shè)置任意頻率，觀察鋁板上的細(xì)砂在對(duì)應(yīng)頻率下形成的克拉尼圖案，記錄頻率在700～1 650 Hz間共11種頻率所對(duì)應(yīng)的克拉尼圖案，部分圖案如圖3。

圖3 實(shí)驗(yàn)圖像

2.3 探究鋁板對(duì)稱(chēng)性對(duì)圖案的影響

使用邊長(zhǎng)為15 cm、厚度0.05 cm的正六邊形鋁板和半徑為17 cm、厚度0.05 cm的圓板進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。探索細(xì)砂在不同形狀鋁板上形成的克拉尼圖案形狀的差別，實(shí)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)鋁板的對(duì)稱(chēng)性越高，形成圖案的對(duì)稱(chēng)性越好。

用六邊形鋁板代替正方形鋁板來(lái)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，如圖4所示。

圖4 700 Hz頻率對(duì)應(yīng)的圖案

用圓形鋁板代替正方形鋁板來(lái)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖5所示。

圖5 邊長(zhǎng)17 cm、厚0.05 cm圓形鋁板

2.4 實(shí)驗(yàn)裝置的互動(dòng)性

本文用鋼琴APP作為音頻發(fā)生器，鋼琴上的不同琴鍵對(duì)應(yīng)不同的頻率，按下琴鍵時(shí)鋁板上會(huì)形成不同的克拉尼圖案。本文記錄了一些較為顯著的圖案及其所對(duì)應(yīng)的琴鍵的頻率，如表1所示。

表1 克拉尼圖案及其所對(duì)應(yīng)的琴鍵的頻率

某些鋼琴曲片段如《叮當(dāng)貓》、《菊花臺(tái)》等也能使鋁板上的細(xì)砂形成較為明顯的克拉尼圖案，增強(qiáng)了裝置的互動(dòng)性和趣味性。

2.5 實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析

由于邊界條件不同，在同一聲音頻率下，不同規(guī)格的鋁板上細(xì)砂形成的圖案不相同(本實(shí)驗(yàn)以正方形鋁板、圓形鋁板、正六邊形鋁板作對(duì)比)，如圖6、圖7所示。

圖6 矩形薄板的圖案

圖7 其他形狀薄板的圖案

圖案的形狀和喇叭功率沒(méi)有關(guān)系，本實(shí)驗(yàn)是使用細(xì)砂來(lái)顯示圖案的，細(xì)砂的移動(dòng)需要一定的能量。如果喇叭的功率不高，板的振動(dòng)幅度太小，細(xì)砂沒(méi)有足夠的動(dòng)能移到波節(jié)處，形成的穩(wěn)定的圖案就需要更多時(shí)間，在實(shí)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)圖案的邊界不夠清晰。大功率的喇叭能夠使鋁板上的細(xì)砂更快地形成穩(wěn)定而清晰的圖案，如圖8所示。

圖8 4 W喇叭和20 W喇叭在800 Hz聲音頻率下對(duì)應(yīng)的克拉尼圖案

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)論

用外界振源在一定頻率下于一點(diǎn)激發(fā)一個(gè)固體薄板，當(dāng)達(dá)到某些頻率時(shí)，板上的細(xì)砂會(huì)聚集成線，將板分為若干個(gè)區(qū)域，形成特定的圖案即克拉尼圖案。本文使改進(jìn)后的實(shí)驗(yàn)裝置能夠展現(xiàn)400～2 000 Hz之間清晰而穩(wěn)定的圖案。實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，克拉尼圖案與鋁板的規(guī)格、聲音頻率、喇叭功率有關(guān)，智能手機(jī)中Phyphox軟件設(shè)置的聲音頻率越高，所形成的圖案越復(fù)雜。在彈奏鋼琴曲片段時(shí)板上的細(xì)砂能夠逐漸形成有規(guī)律的圖案，提高課堂教學(xué)的互動(dòng)性和趣味性。

改進(jìn)克拉尼實(shí)驗(yàn)，既具有理論研究的意義，又具有實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。本文制作出的克拉尼實(shí)驗(yàn)儀器成本低、操作簡(jiǎn)易，便于在教學(xué)活動(dòng)中推廣。將該實(shí)驗(yàn)儀器應(yīng)用于物理課堂教學(xué)中或科普館，可以使學(xué)生對(duì)于波有更直觀的了解，激發(fā)學(xué)生對(duì)物理知識(shí)的學(xué)習(xí)熱情。