低功耗設備常用儲能元件的Peukert模型適用性分析

代紅麗，張 瀟，謝 健，劉 偉，胡順仁

(重慶理工大學電氣與電子工程學院，重慶 400054)

近年來，隨著半導體、計算機和無線通信等技術(shù)的不斷進步，無線傳感器網(wǎng)絡和物聯(lián)網(wǎng)技術(shù)的應用日益廣泛[1]。這類網(wǎng)絡的節(jié)點通常由低功耗、低成本的無線收發(fā)器、微控制器和傳感器等元件構(gòu)成，具有計算能力低、能量開銷小等特點。這些低功耗設備可以由儲能元件提供正常運行所需的電量，因此更能滿足大規(guī)?，F(xiàn)場部署的需求，特別是在一些難以維護的應用場景[2]。此外，這類設備的工作電流較低，通常小于100 mA，同時為了有效延長使用時間，設備需要在工作/休眠狀態(tài)之間頻繁切換，因此其工作電流并不是恒定的[3]。

低功耗設備常用的儲能元件包括堿性電池、鋰亞電池和超級電容等。文獻[3]指出考慮到部署成本，以堿性電池為主要代表的一次電池往往是無線傳感器節(jié)點供電的首選。對于環(huán)境較為惡劣且對工作時間要求較高(通常以年為單位)的應用場景，鋰亞電池更有優(yōu)勢，因為這種電池具有極低的自放電率和極寬的工作溫度范圍[4]。此外，對于能夠從環(huán)境中收集太陽能、風能等的應用場景，超級電容由于在充放電次數(shù)上的優(yōu)勢已成為可充電電池不可或缺的補充[5]。

為了降低與儲能元件維護相關(guān)的成本，需要確保每個節(jié)點具有盡可能長的工作壽命。為了實現(xiàn)上述目標，有必要根據(jù)剩余電量對節(jié)點工作進行調(diào)度，以充分利用儲能元件，從而降低系統(tǒng)的維護開銷[6]。常用的剩余電量估計方法包括開路電壓法、安時積分法、卡爾曼濾波法以及神經(jīng)網(wǎng)絡法等。然而，這些方法不是需要中斷節(jié)點的正常工作，就是計算量較大，難以滿足節(jié)點的實際需求。由于Peukert 模型能夠建立儲能元件使用時間與放電速率之間的關(guān)系，經(jīng)過適當變形和處理，其亦可用于剩余電量的估計[7-9]。同時，由于Peukert 模型較為簡單，這類估計方法非常適合無線傳感器節(jié)點等低功耗設備。

目前，基于Peukert 模型的估計方法已經(jīng)被推廣到各種儲能技術(shù)中，比如鉛酸電池、氫鎳電池[7]、鋰電池[8]、超級電容器等[10]。文獻[7-9]分別針對氫鎳電池、鋰電池和超級電容進行了基于Peukert 模型的恒流放電時間估計。在適用性研究的基礎(chǔ)上，文獻[11]分析了超級電容Peukert 常數(shù)與端電壓、老化條件和工作溫度的依賴關(guān)系。然而，現(xiàn)有研究存在三個比較明顯的問題：(1)主要面向電動汽車等大電流應用場景和恒定電流(或恒定功率)工況，未考慮低功耗設備所面對的工作模式頻繁切換的小電流工況；(2)未考慮堿性電池、鋰亞電池等常用的一次儲能元件，特別是鋰亞電池這種在惡劣環(huán)境中常用的儲能元件，現(xiàn)有研究幾乎沒有涉及；(3)主要面向單一類型的儲能元件研究Peukert 模型的估計準確性，沒有針對常用儲能元件進行橫向?qū)Ρ确治觥?/p>

基于此，本文以小電流工況下Peukert 模型對于常用儲能元件的適用性為研究目標，通過實驗，對比分析了堿性電池、鋰亞電池和超級電容的Peukert 模型適用性，所得結(jié)果對進一步研究Peukert 模型在小電流工況下的性能具有重要的指導意義。

1 Peukert 模型

Peukert 模型最早用來描述鉛酸電池的放電容量隨放電電流的變化趨勢[9]，指出當放電電流減小時，所釋放的電荷量增加。Peukert 模型描述了電池有效工作時間隨等效放電電流的變化過程，在放電過程中，等效放電電流I的k次方與有效工作時間t的乘積是一個常數(shù)，如公式(1)所示：

式中：I為等效放電電流；t為從初始電壓放電至截止電壓所用的放電時間；k為Peukert 常數(shù)，其取值與儲能元件的電化學體系、材料和結(jié)構(gòu)有關(guān)；C為一個經(jīng)驗常數(shù)。為了得到Peukert常數(shù)k與經(jīng)驗常數(shù)C，對公式(1)取對數(shù)并適當處理，可得：

這意味著，放電時間的對數(shù)和等效放電電流的對數(shù)成線性關(guān)系。因此，通過實際測量儲能元件的等效放電電流和放電時間，就可以通過線性回歸方法擬合得到Peukert 常數(shù)k和經(jīng)驗常數(shù)C，從而得到目標儲能元件的Peukert 模型。已知經(jīng)驗常數(shù)C和Peukert 常數(shù)k后，即可根據(jù)等效放電電流計算出目標儲能元件的有效放電時間。

2 實驗

考慮到低功耗設備所面對的工作模式頻繁切換的小電流工況，本文選擇將儲能元件串聯(lián)不同阻值的電阻進行恒阻放電實驗，如圖1 所示，利用NI USB-6361 數(shù)據(jù)采集儀進行數(shù)據(jù)采集，采樣率設置為1 Hz。NI USB-6361 是一款具有16 位精度且支持多通道輸入的數(shù)據(jù)采集儀，其在單通道輸入時的最大采樣率能達到1 MHz[12]。

圖1 恒阻放電實驗電路設置

堿性電池、鋰亞電池和超級電容三類常用儲能元件的主要參數(shù)如表1 所示。堿性電池和超級電容的截止電壓均設置為0.9 V，以滿足節(jié)點正常工作的電壓要求[3]?？紤]到鋰亞電池的安全性要求，其截止電壓按照數(shù)據(jù)手冊的要求設置為2.0 V[13]。對于超級電容，在每次放電實驗之前，使用直流穩(wěn)壓源對其進行足夠長時間的充電[9]。

表1 各電路結(jié)構(gòu)的關(guān)鍵指標

為了減小儲能元件制造容差的影響，所測試的每類儲能元件均選擇同一廠家生產(chǎn)的同一批次產(chǎn)品。在放電過程中，NI USB-6361 數(shù)據(jù)采集儀記錄儲能元件的端電壓變化并傳輸至PC 端。使用LabView 軟件實時顯示采集數(shù)據(jù)，并以TDMS格式的文件進行保存。

對于每類儲能元件，選擇8 種不同阻值的電阻進行放電實驗。由于這三類儲能元件的標稱起始電壓和最大放電電流不同，因此所選擇的阻值亦不相同，如表2 所示。鋰亞電池可承受的最大持續(xù)放電電流為50 mA，因此選取的放電電阻不能低于72 Ω，而超級電容和堿性電池并無此條件限制。在8 組恒阻放電數(shù)據(jù)中，選擇5 組數(shù)據(jù)用于模型訓練，擬合得到對應儲能元件的Peukert 常數(shù)k和經(jīng)驗常數(shù)C，而剩余3 組數(shù)據(jù)用于對擬合得到的Peukert 模型進行驗證。

表2 用于擬合和驗證的恒阻放電電阻 Ω

3 實驗結(jié)果與分析

分別對超級電容、堿性電池和鋰亞電池的恒阻放電數(shù)據(jù)進行處理，得到其等效放電電流與放電時間的關(guān)系，如圖2 所示，對于三種儲能元件而言，隨著等效放電電流的增大，放電時間均呈指數(shù)下降趨勢。

圖2 三類儲能元件等效放電電流與放電時間的關(guān)系

使用Matlab 對所選擇的訓練數(shù)據(jù)取對數(shù)后進行線性回歸，超級電容、堿性電池、鋰亞電池的Peukert 模型參數(shù)擬合結(jié)果如圖3 所示，對所得線性模型的斜率取反即可得到Peukert常數(shù)k，而線性模型的截距即為經(jīng)驗常數(shù)C的自然對數(shù)。

圖3 三類儲能元件的Peukert模型參數(shù)擬合

為了量化擬合效果，分別計算上述線性回歸的擬合優(yōu)度R2。擬合優(yōu)度R2表示回歸方程對觀測值的擬合程度，可以取0～1 的任何值，其值越接近1，表示擬合效果越好。超級電容、堿性電池和鋰亞電池的擬合優(yōu)度分別為0.996 0、0.999 4 和0.993 5，均非常接近1，表明擬合效果均很好。根據(jù)式(1)和擬合得到的參數(shù)，可得超級電容、堿性電池和鋰亞電池的Peukert 模型，分別如式(3)～(5)所示：

使用剩余3 組數(shù)據(jù)對擬合得到的Peukert 模型進行驗證，即根據(jù)Peukert 模型和等效放電電流計算得到放電時間的估計值，并與實測值進行對比。通過絕對誤差和相對誤差來評價Peukert 模型的適用性，其計算公式如式(6)～(7)所示，其中，tp是放電時間估計值，tm是放電時間實測值。此外，還計算了兩種誤差的平均值，如表3 所示，其中，#1、#2 和#3 分別對應表2 中用于Peukert 模型驗證的三種放電電阻的阻值。

由表3 可知，就單一儲能元件而言，雖然訓練數(shù)據(jù)的等效放電電流范圍涵蓋了驗證數(shù)據(jù)的等效放電電流范圍，但Peukert 模型對不同放電電流的估計誤差仍存在較大的差異。從整體來看，在目標工況下，Peukert 模型對這三類儲能元件均是適用的。然而，對于超級電容，使用Peukert 模型的估計準確性要低于堿性電池和鋰亞電池，其平均相對誤差為5.891%，而后兩者的平均相對誤差分別只有2.898% 和2.931%。超級電容的誤差較大，主要是由于自放電的影響。與堿性電池和鋰亞電池相比，超級電容的自放電更為顯著[11]。當放電電流較大時，放電時間較短，因此自放電的影響可以忽略不計。然而對于小電流恒阻放電工況，由于放電時間較長，因此放電階段由于自放電而產(chǎn)生的能量損失明顯增加。由于Peukert 模型無法描述自放電效應，因此必然會帶來較大的估計誤差。

表3 Peukert 模型的驗證誤差

4 結(jié)論

本文通過在小電流工況下對超級電容、堿性電池和鋰亞電池進行恒阻放電實驗，研究并對比了Peukert 模型對這三種儲能元件的適用性。實驗結(jié)果表明，對三種儲能元件進行恒阻放電時，放電時間和等效放電電流之間存在較為明顯的指數(shù)關(guān)系。進一步驗證可以發(fā)現(xiàn)，使用擬合得到的Peukert 模型對放電時間進行估計時，堿性電池的平均相對誤差最小，為2.898%，鋰亞電池次之，為2.931%，而超級電容的稍大，為5.891%。這意味著在目標工況下，Peukert 模型對超級電容、堿性電池和鋰亞電池均適用。所得結(jié)果對進一步研究Peukert模型在小電流工況下的性能具有重要的指導意義。