考慮滾動(dòng)體尺寸誤差和徑向游隙時(shí)直線軸承的力學(xué)性能分析

吉 悅， 安 琦

（華東理工大學(xué)機(jī)械與動(dòng)力工程學(xué)院，上海 200237）

直線軸承是一種通過鋼球在內(nèi)部軌道進(jìn)行循環(huán)或往復(fù)滾動(dòng)實(shí)現(xiàn)直線運(yùn)動(dòng)的元件，直線軸承工作過程中一般承受橫向載荷，其內(nèi)部的滾動(dòng)體受力和變形十分復(fù)雜，對(duì)直線軸承工作過程力學(xué)性能進(jìn)行研究十分必要。

孫健利[1]建立了力學(xué)模型，計(jì)算出直線軸承的垂直位移、鋼球載荷、接觸角和最大接觸壓力。You 等[2]基于赫茲接觸理論對(duì)直線軸承受載時(shí)滾動(dòng)體的載荷和接觸應(yīng)力進(jìn)行了研究，探索了游隙對(duì)滾動(dòng)體受力的影響規(guī)律。田紅亮等[3]建立了滾珠直線導(dǎo)軌副的剛度公式，計(jì)算了滾動(dòng)體的接觸變形量，推導(dǎo)了導(dǎo)軌副重載時(shí)的各靜力學(xué)參數(shù)。高飛[4]根據(jù)赫茲接觸理論對(duì)滾動(dòng)體進(jìn)行了接觸力學(xué)性能分析，并利用ANSYS 軟件模擬分析了改善滾動(dòng)體載荷的分布狀態(tài)的方法。周怡帆等[5]結(jié)合赫茲接觸理論、Stribeck 曲線關(guān)系等理論，通過理論推導(dǎo)加試驗(yàn)臺(tái)驗(yàn)證的方法研究了預(yù)緊力大小對(duì)直線軸承綜合性能的影響關(guān)系。徐斌等[6]基于經(jīng)典力學(xué)理論和赫茲接觸理論分析了垂向載荷作用下直線導(dǎo)軌副滾動(dòng)體和滾道之間的接觸受力變形。Wu 等[7]研究了俯仰、傾斜和偏擺力矩對(duì)直線導(dǎo)軌副力學(xué)性能的影響，發(fā)現(xiàn)力矩載荷比橫向力更容易引起導(dǎo)軌副的形變。Kwon 等[8]建立了外載荷作用下直線導(dǎo)軌副的五個(gè)自由度靜態(tài)分析模型，計(jì)算了滾動(dòng)體和導(dǎo)軌接觸時(shí)的彈性變形，研究了預(yù)緊力對(duì)直線導(dǎo)軌副力學(xué)性能的影響。毛寬民等[9]基于赫茲接觸理論分析了滾動(dòng)體與滾道兩者之間接觸量和接觸力的關(guān)系，得到滑塊在五個(gè)自由度上的振動(dòng)位移量和接觸力。王會(huì)彬[10]基于赫茲接觸理論建立了導(dǎo)軌副內(nèi)部接觸模型，研究了GCr15 滾珠和Si3N4滾珠直線導(dǎo)軌副的力學(xué)性能。Tomovi?[11-12]研究了滾動(dòng)體處于對(duì)稱位置時(shí)載荷的分布情況，但沒有考慮一般位置、滾動(dòng)體尺寸誤差和游隙等情況，無法實(shí)現(xiàn)對(duì)滾動(dòng)體受力的精確計(jì)算。陳汀等[13]基于接觸力學(xué)和彈性變形協(xié)調(diào)條件建立了一種考慮滑塊裙部變形的滾珠直線導(dǎo)軌副垂直剛度模型，研究了導(dǎo)軌的剛度計(jì)算方法。徐起賀等[14]基于力學(xué)平衡和赫茲接觸理論對(duì)滾珠直線導(dǎo)軌副鋼球的受力進(jìn)行計(jì)算，建立了滾珠直線導(dǎo)軌副在一般載荷作用下的額定壽命計(jì)算公式。

綜上，直線軸承的力學(xué)性能研究大多是利用赫茲接觸理論，在不考慮直線軸承滾動(dòng)體尺寸誤差的前提下進(jìn)行的，難以實(shí)現(xiàn)精確的力學(xué)性能計(jì)算。此外，對(duì)載荷作用的位置、游隙、滾動(dòng)體幾何誤差等因素的影響鮮少進(jìn)行考慮，會(huì)造成滾動(dòng)體受力的計(jì)算誤差，影響對(duì)滾動(dòng)體力學(xué)性能判斷的準(zhǔn)確性。為此，本文以受橫向載荷的滾珠直線軸承為研究對(duì)象，構(gòu)建能對(duì)每一個(gè)滾動(dòng)體受力、變形進(jìn)行更為精確計(jì)算的力學(xué)模型，深入研究載荷大小及位置、滾動(dòng)體尺寸誤差、滾動(dòng)體與滾道之間的游隙等因素對(duì)直線軸承力學(xué)性能的影響規(guī)律。

1 力學(xué)模型構(gòu)建

1.1 直線軸承的力學(xué)分析

圖1 示出了直線軸承的結(jié)構(gòu)圖。如圖1 所示，滾珠直線軸承一般由軸承套、保持架、多列滾動(dòng)體和兩端環(huán)形密封擋板構(gòu)成。多列滾動(dòng)體密布在環(huán)形保持架內(nèi)，外圈內(nèi)表面兩端的環(huán)形密封擋板對(duì)保持架起固定作用。

圖1 直線軸承結(jié)構(gòu)圖Fig. 1 Structure of linear bearing

直線軸承在工作過程中，一般是外圈受橫向載荷。本文在建立力學(xué)模型時(shí)，假設(shè)如下：（1）各滾動(dòng)體和滾道接觸變形均在彈性范圍內(nèi)；（2）滾動(dòng)體的尺寸誤差僅為直徑誤差，仍然保持為球形；（3）不考慮與直線軸承配合的軸和軸承內(nèi)部軌道的幾何誤差[15]。

圖2（c）為直線軸承在圖2（b）的j-j截面處的剖視圖。如圖2(c)所示，假設(shè)截面j受到的外力為Fj，在Fj的作用下，外圈將產(chǎn)生徑向位移，使每個(gè)滾動(dòng)體受力。由于滾動(dòng)體存在尺寸誤差，尺寸大的滾動(dòng)體首先接觸，發(fā)生彈性變形，尺寸較小的滾動(dòng)體也逐漸產(chǎn)生受力變形。

圖2 直線軸承的受力分析Fig. 2 Force analysis of linear bearing

1.2 滾動(dòng)體與滾道接觸受力及變形計(jì)算方法

1.3 滾動(dòng)體受力計(jì)算方法

圖3 單個(gè)滾動(dòng)體的彈性變形Fig. 3 Deformation of single ball

工程中計(jì)算Js、Qs常運(yùn)用查表的方法。在此基礎(chǔ)上文獻(xiàn)[18]中Brewe、Harmrock 使用線性回歸方程得到近似表達(dá)式：

根據(jù)受力平衡和幾何關(guān)系，豎直方向上各鋼球所受的載荷分量之和與F平衡：

在豎直方向上各鋼球所受的載荷分量對(duì)F的作用點(diǎn)滿足力矩平衡：

水平方向上各鋼球所受的載荷互相抵消，即

1.4 數(shù)值計(jì)算方法

根據(jù)上述力學(xué)建模，制定了直線軸承滾動(dòng)體受力的數(shù)值計(jì)算方法，計(jì)算流程如圖4 所示。

圖4 直線軸承滾動(dòng)體受力計(jì)算流程圖Fig. 4 Calculation flow chart of force on rolling elements of the linear bearing

2 算例研究

以LM8UU 型直線軸承為例進(jìn)行計(jì)算研究，外圈、主軸及滾動(dòng)體材料為高碳鉻軸承鋼GCr15，其結(jié)構(gòu)參數(shù)見表1，其中：E1和E2分別為滾子和滾道的材料彈性模量；μ1和μ2分別為滾子和滾道的泊松比。

表1 直線軸承參數(shù)Table 1 Parameters of linear bearing

2.1 載荷大小對(duì)滾動(dòng)體受力的影響

圖5 示出了不考慮滾動(dòng)體誤差和游隙情況下載荷大小對(duì)滾動(dòng)體受力的影響?？梢钥闯?，圓周第1 列和第4 列滾動(dòng)體從軸向第9 列開始受力，隨載荷的增大，每一個(gè)滾動(dòng)體的受力都在增大；圓周第2 列和第3 列滾動(dòng)體從軸向第1 列至第9 列滾動(dòng)體受力，且隨載荷增大而增大，軸向第9 列之后的滾動(dòng)體不受力。

圖5 不同載荷下直線軸承各列滾動(dòng)體受力（x=1 mm）Fig. 5 Force on balls of linear bearing under different loads（x=1 mm）

2.2 載荷作用位置對(duì)滾動(dòng)體受力的影響

圖6 示出了不考慮滾動(dòng)體尺寸誤差和游隙情況下載荷作用位置對(duì)滾動(dòng)體受力的影響。從圖6 可以看出，當(dāng)載荷位置作用于軸向中點(diǎn)對(duì)稱位置(x=8.25 mm)時(shí)，僅有圓周第2 列和第3 列滾動(dòng)體受力，且軸向列滾動(dòng)體受力均勻。隨著橫向載荷向兩端偏移，軸向列滾動(dòng)體受力變得不均勻，當(dāng)載荷偏離中心較大時(shí)，圓周第1 列和第4 列滾動(dòng)體也開始受力，且軸向列滾動(dòng)體受力分布也不均勻。

圖6 不同載荷作用位置下各列滾動(dòng)體受力（F=40 N）Fig. 6 Force on balls with different load positions (F=40 N)

2.3 游隙大小對(duì)滾動(dòng)體受力的影響

圖7 示出了不考慮滾動(dòng)體尺寸誤差情況下游隙大小對(duì)滾動(dòng)體受力的影響，在不同的游隙下滾動(dòng)體受力的曲線具有相似性。由圖7(a)、7(d)可知，圓周第1 列和第4 列的滾動(dòng)體在軸向上都從第9 列之后開始受力，受力的大小隨著游隙的增大而減小；當(dāng)游隙繼續(xù)增大，軸向上受力的滾動(dòng)體變少。由圖7(b)、7(c)可知，圓周第2 列和第3 列受力的滾動(dòng)體均為軸向1～8 號(hào)滾動(dòng)體，其中軸向1、2 號(hào)滾動(dòng)體受力隨著游隙的增大而增大，4～8 號(hào)滾動(dòng)體受力隨著游隙的增大而減小，3 號(hào)滾動(dòng)體受力幾乎不隨游隙變化。

圖7 不同游隙下的直線軸承滾動(dòng)體受力（F=40 N; x=1 mm）Fig. 7 Force on balls of linear bearings with different clearances (F=40 N; x=1 mm)

2.4 滾動(dòng)體尺寸誤差對(duì)滾動(dòng)體受力的影響

圖8 和圖9 分別為圓周第3 列在軸向的2 號(hào)滾動(dòng)體存在3 μm 負(fù)誤差和正誤差時(shí)直線軸承各滾動(dòng)體受力圖。從圖8(a)、8(c)可知，當(dāng)2 號(hào)滾動(dòng)體存在負(fù)誤差時(shí)，該滾動(dòng)體受力減小，同一圓周列中與之相鄰的滾動(dòng)體受力略微增大，圓周第一列滾動(dòng)體軸向9～12 號(hào)滾動(dòng)體受力略微增大；從圖9(a)、9(c)可知，當(dāng)圓周第3 列在軸向的2 號(hào)滾動(dòng)體存在正誤差時(shí)，其受力增大，同一圓周列與之相鄰的滾動(dòng)體受力略微減小，第一列滾動(dòng)體軸向9～12 號(hào)滾動(dòng)體受力略微減小，以保證和外載荷平衡。通過圖8(b)、圖8(c)、9(b)、9(c)可知，不存在滾動(dòng)體尺寸誤差的圓周列滾動(dòng)體的受力幾乎不受影響。

圖8 1 個(gè)滾動(dòng)體存在3 μm 負(fù)誤差時(shí)各列滾動(dòng)體受力（F=40 N; x=1 mm）Fig. 8 Force on balls with 3 μm negative error for a ball (F=40 N; x=1 mm)

圖9 1 個(gè)滾動(dòng)體存在3 μm 正誤差時(shí)各列滾動(dòng)體受力（F=40 N; x=1 mm）Fig. 9 Force on balls with 3 μm positive error for a ball (F=40 N; x=1 mm)

為了研究滾動(dòng)體尺寸隨機(jī)誤差的影響，作者利用Matlab 中的函數(shù)隨機(jī)生成一組滾動(dòng)體直徑的誤差值，模擬實(shí)際加工過程中滾動(dòng)體的誤差分布。圖10示出了隨機(jī)生成的誤差范圍為±2 μm 的每一個(gè)滾動(dòng)體直徑誤差值。

圖10 滾動(dòng)體直徑誤差序列Fig. 10 Diameter error series of balls

圖11 所 示 為 橫 向 載 荷F為40 N、x為1 mm、不考慮游隙時(shí)直線軸承所有滾動(dòng)體受力。圖12將考慮隨機(jī)誤差下各列滾動(dòng)體受力與尺寸無誤差時(shí)滾動(dòng)體受力進(jìn)行對(duì)比，可知考慮滾動(dòng)體直徑的隨機(jī)誤差時(shí)，每一個(gè)滾動(dòng)體的受力將發(fā)生較大的變化。

圖11 每 個(gè) 滾 動(dòng) 體 存 在 隨 機(jī) 尺 寸 誤 差 時(shí) 滾 動(dòng) 體 受 力（F=40 N; x=1 mm）Fig. 11 Force on balls while each ball has random size error(F=40 N; x=1 mm)

圖12 每個(gè)滾動(dòng)體存在隨機(jī)誤差時(shí)直線軸承滾動(dòng)體受力（F=40 N; x=1 mm）Fig. 12 Force on balls of linear bearing while each ball has random size error (F=40 N; x=1 mm)

3 結(jié) 論

（1）結(jié)合具體算例，研究了橫向載荷作用位置對(duì)直線軸承滾動(dòng)體受力的影響規(guī)律。在不考慮滾動(dòng)體誤差和游隙的情況下，橫向載荷作用于直線軸承中心對(duì)稱位置時(shí)沿軸向方向每一列中每一個(gè)滾動(dòng)體受力相同。當(dāng)載荷偏離中心對(duì)稱位置時(shí)，滾動(dòng)體受力變得不均勻，偏離一定程度后，軸向列只有部分滾動(dòng)體受力。

（2）研究了直線軸承徑向游隙對(duì)滾動(dòng)體受力的影響規(guī)律。不考慮滾動(dòng)體尺寸誤差的情況下，隨著游隙增大，直線軸承軸向每一列滾動(dòng)體受力各不相同，有的列受力隨游隙的增大而增大，有的列受力隨游隙的增大而減小。

（3）計(jì)算了只有1 個(gè)滾動(dòng)體存在誤差和所有滾動(dòng)體都存在隨機(jī)性誤差時(shí)各個(gè)滾動(dòng)體受力的情況。在不考慮游隙的情況下，只有1 個(gè)滾動(dòng)體的尺寸出現(xiàn)正誤差會(huì)使該滾動(dòng)體受力增大，同一圓周列其他滾動(dòng)體受力會(huì)略微減小。只有1 個(gè)滾動(dòng)體尺寸出現(xiàn)負(fù)誤差會(huì)使該滾動(dòng)體受力減小，其周圍的同一圓周列的滾動(dòng)體受力會(huì)略微增大，以保持受力平衡。當(dāng)考慮所有滾動(dòng)體出現(xiàn)隨機(jī)誤差時(shí)，每一個(gè)滾動(dòng)體的受力將與不考慮誤差時(shí)有明顯不同。本文結(jié)論與文獻(xiàn)[17]和文獻(xiàn)[19]相符合。