創(chuàng)設(shè)教材中的數(shù)學(xué)探究“實驗”情景，讓深度學(xué)習(xí)可見

福建省廈門市第二外國語學(xué)校 陳建楷

隨著課程改革的深入，課程目標(biāo)、課程體系結(jié)構(gòu)、課程內(nèi)容的變化最終要體現(xiàn)在課堂上，傳統(tǒng)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)經(jīng)常出現(xiàn)如教學(xué)過程僵化，技術(shù)融合生硬，教學(xué)設(shè)計呆板等現(xiàn)象將逐步克服，教師不再只關(guān)注學(xué)生是否掌握比百度更多的知識，運算速度是否快如計算機(jī)，而更多關(guān)注學(xué)生是否學(xué)會了，是否會學(xué)了，而不是教師自己是否教到。那么，在課堂中教師如何進(jìn)行深度教學(xué)，讓學(xué)生深度學(xué)習(xí)，以達(dá)到深度育人，個人認(rèn)為，教師應(yīng)研讀教材，用好教材，創(chuàng)設(shè)教材中的數(shù)學(xué)探究“實驗”情景，進(jìn)行深度教與學(xué)，以學(xué)定教，讓思維發(fā)生，讓學(xué)習(xí)可見，讓學(xué)科素養(yǎng)落地課堂。

所謂數(shù)學(xué)探究實驗，是指在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中運用有關(guān)工具(如紙張、模型、測量工具、作圖工具以及信息技術(shù)等) ,教師提出有挑戰(zhàn)性的數(shù)學(xué)探究問題，創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)實驗教學(xué)情境，學(xué)生在教師的指導(dǎo)下，教師協(xié)助學(xué)生設(shè)計實驗方案，以學(xué)生的動手操作、動腦思維為基點，在實驗觀察、猜想、試錯、分析、歸納等思維活動中，自己發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的驗證或探究過程，學(xué)生以研究者的身份進(jìn)行研究性學(xué)習(xí)，將知識內(nèi)化于心的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式。這種學(xué)習(xí)方式能使學(xué)生體驗數(shù)學(xué)建構(gòu)，逐步理解數(shù)學(xué)，發(fā)現(xiàn)真理，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，調(diào)動學(xué)生探究學(xué)習(xí)的主動性，培養(yǎng)學(xué)生獨立探究、創(chuàng)造性分析問題、解決問題、獲得知識的能力。

2019年11 月，教育部發(fā)布了關(guān)于加強(qiáng)和改進(jìn)中小學(xué)實驗教學(xué)的意見，指出，要著力提升學(xué)生的觀察能力、動手實踐能力、創(chuàng)造性思維能力和團(tuán)隊合作能力。數(shù)學(xué)探究性實驗是學(xué)生通過觀察、猜想、試錯、分析、歸納等方法獲得數(shù)學(xué)知識和經(jīng)驗，逐步建構(gòu)和發(fā)展自己的數(shù)學(xué)認(rèn)知的過程。數(shù)學(xué)探究實驗不同于物理化學(xué)等其他學(xué)科，它涉及數(shù)量關(guān)系和空間形式等材料，學(xué)生通過這些材料進(jìn)行探究、觀察、猜想、討論、驗證、總結(jié)等活動與體驗，與抽象的數(shù)學(xué)知識生動相遇。本文是在教學(xué)實踐中創(chuàng)設(shè)教材中的數(shù)學(xué)探究“實驗”情景的幾點做法及思考。

一、提煉學(xué)生身邊的的數(shù)學(xué)素材，創(chuàng)設(shè)生活化的實驗探究情景

數(shù)學(xué)源于生活又高于生活，教學(xué)中，借助學(xué)生身邊的一些幾何模型，如觸手可及的筆、紙、文具盒、水杯、書桌、教室等，從具體模型中抽象出直線、平面、棱柱、圓柱、長方體等模型，創(chuàng)設(shè)生活化的實驗探究學(xué)習(xí)情境，引起學(xué)生主動探究的學(xué)習(xí)熱情，同時還能讓學(xué)生在數(shù)學(xué)知識的產(chǎn)生、發(fā)展的過程中真正達(dá)成對數(shù)學(xué)概念、法則、原理的概念建構(gòu)和內(nèi)化，讓抽象的數(shù)學(xué)概念變得具體變得更接地氣，讓課堂教學(xué)有較低的起點又能有較高立意，

案例1：8.4.2 空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系

選自人教版普通高中數(shù)學(xué)必修第二冊《立體幾何初步》，可以讓學(xué)生自己動手制作實驗材料，創(chuàng)設(shè)空間幾何模型演繹的實驗情境。

實驗材料：筆，紙、書桌、教室。

實驗主題一：探究直線與直線的位置關(guān)系。

實驗步驟：

（1）觀察、分析：學(xué)生借助具體的模型如筆、紙、書桌、教室等，觀察直線與直線的位置關(guān)系。

（2）猜想、試誤：提出問題，空間兩條直線的位置關(guān)系有幾種？除了相交、平行，還有嗎？兩條直線既不相交也不平行是什么位置關(guān)系？

（3）動手、探究、討論：學(xué)生獨立操作或者學(xué)習(xí)小組內(nèi)學(xué)生與同伴一起合作，想象一下，筆抽象為直線，桌面抽象為平面，要求學(xué)生動手操作演示直線的各種位置關(guān)系，其他同學(xué)提問或者糾正。

（4）合作、歸納，填寫實驗報告：只有兩條直線相交或平行才能放置在同一平面上，即共面直線。同樣，兩條既不相交又不平行的直線，無論它們?nèi)绾胃淖兾恢?，都不能放在同一平面上，學(xué)生們一起抽象出不同在任何一個平面內(nèi)的兩條直線的概念，叫做異面直線。

（5）遷移與應(yīng)用：引導(dǎo)學(xué)生共同歸納數(shù)學(xué)對象的研究路徑，先概括直線研究的問題、線索和基本方法：定義（組成元素、分類）→直線的性質(zhì)（變化中的不變性、規(guī)律性，從度量關(guān)系和位置關(guān)系入手）→共面直線（平行、相交），異面直線（異面直線所成的角和距離）→直線特殊位置的研究（平行直線、垂直直線）……類似地，拓展為空間立體幾何基本研究路徑：背景→概念→判定、性質(zhì)→聯(lián)系（結(jié)構(gòu)）→應(yīng)用。師生共同總結(jié)數(shù)學(xué)對象研究路徑使學(xué)生知道研究問題的基本套路，類比的方法，再讓學(xué)生繼續(xù)動手做第二個實驗主題：探究直線與平面的位置關(guān)系，聯(lián)結(jié)數(shù)學(xué)的結(jié)構(gòu)本源。

【設(shè)計意圖】選取學(xué)生身邊的實驗素材，創(chuàng)設(shè)空間幾何模型實驗情情景，給出富有挑戰(zhàn)性的實驗主題，學(xué)生動手、猜想、試錯、探索、分析、歸納等活動與體驗，視覺展示空間中直線與直線的直觀的位置關(guān)系及變化，從位置關(guān)系和度量關(guān)系入手，讓學(xué)生感受和體驗異面直線的概念由具體到抽象的形成過程。該實驗過程利用學(xué)生現(xiàn)有的平面幾何知識，即聯(lián)想和結(jié)構(gòu)，進(jìn)行轉(zhuǎn)化，并重新建構(gòu)為新的知識結(jié)構(gòu)，使學(xué)生對異面直線的概念就有了更深度的學(xué)習(xí)體驗。數(shù)學(xué)概念是抽象的，但抽象概念來源于現(xiàn)實生活實踐，因此，在概念數(shù)學(xué)中，通常借助于感覺和想象來描述，即回歸到直觀和具體的生活實踐中，通過創(chuàng)設(shè)適合學(xué)情的實驗探究情景，利用實物模型或演示實驗，使數(shù)學(xué)的抽象回歸到具體，讓數(shù)學(xué)概念更好理解，回歸到數(shù)學(xué)的生活本源，讓學(xué)生知其然更知其所以然，觸發(fā)深度學(xué)習(xí)，滲透核心素養(yǎng)，幫助學(xué)生體驗和理解數(shù)學(xué)概念。

二、設(shè)計實地考察與測量，創(chuàng)設(shè)體驗性的實驗情景

教材是我們教好數(shù)學(xué)的根本，很多教師往往只是教教材，圍繞著教材上的內(nèi)容對學(xué)生教學(xué)填鴨或者灌輸,更多地運用死記硬背等學(xué)習(xí)方式，使課堂技術(shù)大多徘徊在低階思維水平上，而高階思維不是教師教出來的,而是學(xué)生主動學(xué)習(xí)出來的。因而，讀好教材，教好教材，活用教材，比如設(shè)計實地考察與測量活動，創(chuàng)設(shè)體驗性的實驗情景，把教師灌輸、填鴨式的教學(xué)轉(zhuǎn)化為學(xué)生主動的學(xué)習(xí)，讓深度學(xué)習(xí)發(fā)生,讓批判性思維等高階思維會發(fā)生。

案例2：探究學(xué)校的橢圓形操場的跑道是不是橢圓

選自人教版普通高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊《圓錐曲線的方程》的橢圓，教師可以設(shè)計與實地考察測量實驗情境，并利用幾何畫板制作教學(xué)課件，創(chuàng)設(shè)直觀、可視化的實驗情境。

實驗材料：筆，紙、尺規(guī)、幾何畫板教學(xué)課件。

實驗主題：學(xué)校的橢圓形操場的跑道是不是橢圓。

實驗步驟：

（1）觀察、猜想：學(xué)生觀察生活中的橢圓形曲線，橢圓有何形與數(shù)的性質(zhì)，能否探究一下學(xué)校的橢圓形操場的跑道是不是橢圓。

（2）分析、試誤：有人說，學(xué)校的橢圓形操場的跑道看起來像橢圓型曲線，請問：這些曲線是如何曲？是不是橢圓？為什么是橢圓？如何驗證？橢圓的定義是什么？橢圓的焦點去哪兒了？橢圓的圓與扁即形狀如何數(shù)量化？能說明一下嗎？

（3）合作探究、動手實踐：學(xué)生通過探究學(xué)校的橢圓形操場的跑道究竟是不是橢圓，進(jìn)行合作研究討論，制定探究方案。

（4）討論、歸納，得出實驗報告：通過學(xué)生自主合作，展開聯(lián)想與想象，有同學(xué)用直接排除法，有同學(xué)求助專業(yè)，有同學(xué)用反證法，有同學(xué)回歸定義，得出了不同方案，并進(jìn)行操作，形成實驗報告。

方案一：操場兩旁有一百米跑道是直線段不是曲線，故不是橢圓。

方案二：求助他人，如體育老師或者上網(wǎng)查找，得出操場曲線是由兩線段和兩半圓組合，故不是橢圓。

方案三：假設(shè)橢圓形操場的跑道是橢圓，學(xué)生小組合作，利用尺規(guī)和a,b,c 之間的勾股定理，定位橢圓的焦點位置，測量后發(fā)現(xiàn)不滿足橢圓的定義，即曲線上的任意一點到兩定點距離相等。

（5）提升拓展：學(xué)生歸納出研究一個數(shù)學(xué)對象的基本路徑：背景（現(xiàn)實需要、數(shù)學(xué)發(fā)展的需要）→概念（研究對象）→要素（對象、表示、分類）→性質(zhì)（要素特征、要素、相關(guān)要素之間的關(guān)系，變化規(guī)律等）→結(jié)構(gòu)（相關(guān)知識的聯(lián)系）→應(yīng)用

【設(shè)計意圖】通過創(chuàng)設(shè)“學(xué)校的橢圓形操場的跑道是不是橢圓”實驗問題情境，重現(xiàn)了橢圓的發(fā)現(xiàn)、驗證、證明的過程。學(xué)生通過探究橢圓形跑道曲線是不是橢圓，動手測量動腦分析，以“做”實驗為支架，通過實際操作，自主探究，小組合作，互動交流等活動，經(jīng)歷了發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的過程。我們關(guān)注學(xué)生經(jīng)歷了什么，感受了什么，體會了什么，注重學(xué)生的活動與體驗，讓學(xué)生可個性化地自主學(xué)習(xí)，學(xué)生在觀察、操作、猜測、試誤、驗證推理、反思等過程中，逐步體會數(shù)學(xué)知識的發(fā)生、發(fā)展與應(yīng)用，讓學(xué)生在多向交流、合作探究中學(xué)會學(xué)習(xí)。整個課堂大部分時間讓學(xué)生參與思考、參與討論、參與質(zhì)疑，教師主要起到的是引導(dǎo)、點撥、釋疑的作用，學(xué)生在合作討論、交流碰撞中沉浸式學(xué)習(xí)，體驗學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)之樂，體現(xiàn)了學(xué)生主體地位。同時，課堂中，學(xué)生有機(jī)會和一定的時間進(jìn)行展示自我，其他學(xué)生也可找出疑難，再進(jìn)行合作探究，討論釋疑，學(xué)生在課堂上敢于表達(dá)疑難以及展示如何解決困難，小組其他同學(xué)也能夠進(jìn)行補充、歸納解題策略，教師加以啟發(fā)，教學(xué)過程就是理解數(shù)學(xué)知識、驗證數(shù)學(xué)結(jié)論的思維活動，課堂翻轉(zhuǎn)成學(xué)堂，課堂有思辨就有了深度，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程也變得有趣有料有效，教與學(xué)就有了深度。

三、借助幾何畫板等信息技術(shù)手段，創(chuàng)設(shè)直觀、可視化的實驗情景

隨著課堂技術(shù)的發(fā)展，中學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)和教學(xué)過程中，借助易學(xué)易用的第三方軟件如幾何畫板、超級畫板、3D 數(shù)學(xué)教學(xué)平臺、GeoGebra(動態(tài)數(shù)學(xué)軟件)等學(xué)科軟件，創(chuàng)設(shè)直觀、可視化的實驗情景，除了圖文并茂地幻燈片展示，還能根據(jù)學(xué)生實際情況和具體的教學(xué)環(huán)境將難以理解的知識直觀化、可視化，讓隱性思維變得顯性化。以幾何畫板為例，其作圖方法步驟和教師在黑板上尺規(guī)作圖基本相同，能快速、準(zhǔn)確、便捷地在屏幕上完成尺規(guī)作圖，且圖形可變大小可移動且保持幾何性質(zhì)和圖形間的關(guān)系，同時，可以在圖形上輕松地測算出圖形對象的相應(yīng)數(shù)值(如點的坐標(biāo)、線段的長度、圓的方程、直線的方程以及函數(shù)表達(dá)式等),并能把數(shù)和形的隱性關(guān)系及其變化規(guī)律動態(tài)地顯現(xiàn)出來，呈現(xiàn)形與數(shù)的同步化和幾何圖形的動態(tài)化，更形象生動的展示數(shù)學(xué)知識的產(chǎn)生過程，無論在學(xué)習(xí)還是教學(xué)中都會起到事半功倍的效果，構(gòu)建以學(xué)習(xí)者為中心的生態(tài)課堂，拓展學(xué)生對知識認(rèn)知水平,讓學(xué)生對自己學(xué)習(xí)的知識脈絡(luò)和所處層次有更清楚的了解,讓學(xué)習(xí)深度發(fā)生。

案例3：函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象及變換

選自人教版普通高中數(shù)學(xué)必修第一冊《三角函數(shù)》，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）圖象及變換，圖像變換，如何變，如何換？若采用傳統(tǒng)的黑板，作圖量大，耗時耗力，因而專門設(shè)計了一節(jié)數(shù)學(xué)探究實驗。

實驗材料：幾何畫板教學(xué)課件，學(xué)生學(xué)習(xí)課件，計算機(jī)教室。

實驗步驟：

（1）分組，各組設(shè)計方案。設(shè)置恰當(dāng)?shù)膶嶒炋骄科瘘c，由于函數(shù)y=Asin(ωx+φ)，（A>0、ω>0）受到三個參數(shù)A、ω、φ 的影響，將問題分解為各個參數(shù)對函數(shù)圖像的影響，使復(fù)雜問題簡單化。

（2）學(xué)生確立實驗探究方向，小組合作探究，教師有必要技術(shù)支持和圖像變換指導(dǎo)。

（3）動手操作計算機(jī)，觀察，分析參數(shù)A、ω、φ 對函數(shù)圖像的影響。

（4）小組討論、歸納形成實驗報告，小組派代表進(jìn)行展示，營造濃厚的實驗探究氛圍

（5）遷移與應(yīng)用，能否推廣到一般函數(shù)如y=Af(ωx+φ) 的圖像變換。

【設(shè)計意圖】：當(dāng)函數(shù)圖像變換遇見幾何畫板軟件，深度的學(xué)習(xí)從遇見到預(yù)見，學(xué)生動手操作，運用計算機(jī)中幾何畫板軟件探究函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換，借助其強(qiáng)大的作圖和分析功能，操作改變?nèi)齻€參數(shù)A、ω、φ 進(jìn)行數(shù)學(xué)實驗，觀察各個參數(shù)對圖象的影響，獨立探究，動腦分析,小組合作，把圖形的直觀感受與已知的經(jīng)驗相互轉(zhuǎn)化，培養(yǎng)學(xué)生探究和解決實際問題的能力，充分體現(xiàn)數(shù)學(xué)源于實踐,源于生活；充分體現(xiàn)“以學(xué)生發(fā)展為本”的新課標(biāo)要求。在教學(xué)中，當(dāng)完成函數(shù)圖像變換的學(xué)習(xí)后，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行回顧，引導(dǎo)學(xué)生對各個函數(shù)的關(guān)系與圖象的結(jié)構(gòu)進(jìn)行對比分析，通過整理上述探究所得的信息，使學(xué)生全面認(rèn)識與理解函數(shù)圖象的變換關(guān)系，從而升華實驗探索，學(xué)習(xí)更有深度。

創(chuàng)設(shè)教材中的數(shù)學(xué)探究“實驗”情景，以生為本，以學(xué)定教，創(chuàng)造性地使用教材而不僅僅是教教材，讓學(xué)生有機(jī)會進(jìn)行實驗探究，親身體驗數(shù)學(xué)知識的形成，參與數(shù)學(xué)知識的探究活動，在猜想、試錯、探究、分析、歸納等活動與體驗中，讓思維發(fā)生，讓學(xué)生與抽象的數(shù)學(xué)知識生動相遇，達(dá)到深度的教與學(xué)，讓深度學(xué)習(xí)變得可見。